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Elettrotecnica con LaTeX

Indice

Cos'è LaTeX

LaTeX (si pronuncia latec) è uno speciale word processor in cui si possono anche definire espressioni che, all'atto della visualizzazione, sono trasformate in formule matematiche. Tex ha la stessa radice di tecnica che deriva dal greco τεχνη (arte). Esistono molti tutorial presenti on-line. Ne citeremo uno per tutti: Aiuto:Formule Matematiche TeX Qui scriveremo un sintetico prontuario di Elettrotecnica.

Ricordo che nel Nostro Forum è possibile scrivere le formule proprio usando questa tecnica. Le formule LateX, in tal caso caso vanno racchiuse tra i tag [tex] [/tex]: si seleziona la formula scritta e si clicca sul pulsante sopra tex a destra

Bipoli e reti

Sono di seguito raccolte le più frequenti formule usate nell'elettrotecnica per mostrare come si vedono e come si scrivono in LaTeX.

Leggi di Ohm

LeggeVisualizzazioneGrandezze e unità di misuraCodice LaTex
Prima U=R \cdot I U: tensione (V:volt)

I:intensità di corrente (A:ampere)

R: resistenza (Ω: ohm)

<math>U=R \cdot I</math>
Seconda R=\rho \cdot \frac l A ρ: resistività: (\Omega \cdot m)

l: lunghezza (m: metro)

A: sezione (m2: metro quadro)


<math>R=\rho \cdot \frac l A</math>

Dipendenza della resistenza dalla temperatura

LeggeVisualizzazioneCodice LaTex
formula generale

α: coefficiente di temperatura

R_{\theta_2}=R_{\theta_1}\cdot \frac{\frac{1}{\alpha}+\theta_2}{\frac{1}{\alpha}+\theta_1} |<math>R_{\theta_2}=R_{\theta_1}\cdot \frac{\frac{1}{\alpha} +\theta_2}{\frac{1}{\alpha}+\theta_1} </math>
per il rame

θ1 = 20

R_\theta =R_{20}\cdot \frac{234,5+\theta}{254,5} <math>R_\theta =R_{20}\cdot \frac{234,5+\theta}{254,5}</math>
per l'alluminio

θ1 = 20

R_\theta =R_{20}\cdot \frac{230+\theta}{250} <math>R_\theta =R_{20}\cdot \frac{230+ \theta}{250}</math>

Leggi di Kirchhoff

Legge VisualizzazioneCodice LaTex
I: per ogni nodo \sum i(t)=0

i1 + i2 + ...in = 0

<math>\sum i(t)=0</math>
II: per ogni maglia \sum u(t)=0

u1 + u2 + ... + un = 0

<math>\sum u(t)=0</math>


Tensione ai capi di un generatore

VisualizzazioneGrandezzeCodice LaTex
U=E-R_i \cdot I E: forza elettromotrice (V)

Ri:resistenza interna (Ω)

<math>U=E-R_i \cdot I</math>

Legge di Ohm per un circuito chiuso

VisualizzazioneGrandezzeCodice LaTex
I=\frac {\sum E}{\sum R}=\frac {\sum E-\sum E_c}{\sum R} E: forze elettromotrici

Ec:forze controelettromotrici R:resistenze in serie

<math>I=\frac {\sum E}{\sum R}=\frac {\sum E-\sum E_c}{\sum R}</math>

Equivalenze

Resistenze in serie ed in parallelo

Collegamento FormulaCodice LaTex
serie R_s=\sum R <math>R_s=\sum R</math>
parallelo R_p=\frac 1 {\sum{\frac 1 R}} <math>R_p=\frac 1 {\sum{\frac 1 R}}</math>


Partitore di tensione e di corrente
Grandezza FormulaCodice LaTex
tensione U_{R_1}=U \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2} <math>U_{R_1}=U \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2}</math>
corrente I_{R_1}=I \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} <math>I_{R_1}=I \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2}</math>


Trasformazione stella(Y)-triangolo(D)

Trasformazione FormulaCodice LaTex
Y->D R_{AB}=\frac {R_A \cdot R_B} {R_Y}

R_{BC}=\frac {R_B \cdot R_C} {R_Y}

R_{AC}=\frac {R_A \cdot R_C} {R_Y}

R_Y=\frac 1 {\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_C}}

<math>R_{AB}= \frac {R_A \cdot R_B} {R_Y}</math>


<math>R_{BC}=\frac {R_B \cdot R_C} {R_Y}</math>


<math>R_{AC}=\frac {R_A \cdot R_C} {R_Y}</math>


<math>R_Y=\frac 1 {\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B} +\frac{1}{R_C}}</math>

D->Y R_A=\frac{R_{AB}\cdot R_{AC}}{R_D}

R_B=\frac {R_{BC} \cdot R_{AB}} {R_D}

R_C=\frac {R_{AC} \cdot R_{BC}} {R_D}


RD = RAB + RBC + RAC


<math>R_A=\frac{R_{AB}\cdot R_{AC}} {R_D}</math>


<math>R_B=\frac{R_{BC}\cdot R_{AB}}{R_D}</math>


<math>R_C=\frac{R_{AC}\cdot R_{BC}}{R_D}</math>


<math>R_D=R_{AB}+R_{BC} +R_{AC}</math>

Il condensatore

LeggeVisualizzazioneGrandezze e unità di misuraCodice LaTex
legge del condensatore C=\frac Q U C: capacità (F: farad)

Q: carica (C: coulomb)

U: tensione (V:volt)

<math>C=Q \frac U</math>
Capacità C=\epsilon \cdot \frac {A}{d} ε: costante dielettrica assoluta Fm − 1

A: superficie dell'armatura (m2)

d: distanza tra le armature (m)

<math>C=\epsilon \cdot \frac {A}{d}</math>

L'induttore

LeggeVisualizzazioneGrandezze e unità di misuraCodice LaTex
legge dell'induttore L=\frac {\Phi_c} I L: coefficiente di autoinduzione (H : henry)

Φc: flusso magnetico concatenato(Wb: weber)

I: intensità di corrente (A:ampere)

<math>L=\frac \Phi_c I</math>
Induttanza L=N^2 \cdot \frac {\mu \cdot l}{A} μ: permeabilità magnetica assoluta Hm − 1

A: superficie dell'armatura (m2)

l: lunghezza della linea media del flusso (m)

<math>L=N^2 \cdot \frac {\mu \cdot l}{A}</math>

Grandezze alternate sinusoidali

GrandezzaVisualizzazioneParametri e unità di misuraCodice LaTex
pulsazione \omega=2 \pi f=\frac {2 \pi} T f:frequenza

(Hz=s − 1)

T:periodo (s)

<math>\omega=2 \pi f=\frac {2 \pi} T</math></math>
intensità di corrente i(t)=I_M \cdot \sin (\omega t + \alpha) IM: corrente massima (A :ampere)

α : fase (radianti)

<math>i(t)=I_M \cdot \sin (\omega t + \alpha)</math>
tensione u(t)=U_M \cdot \sin (\omega t + \beta) UM:tensione massima (V :volt)

β : fase (radianti)

<math>i(t)=U_M \cdot \sin (\omega t + \beta)</math>

Fasori

espressione analiticaFasoreParametri del fasoreCodici LaTex
I_M \cdot \sin (\omega t + \alpha) \mathbf{I}=I_R + j \cdot I_X j2 = − 1

I_R=I \cdot \cos \alpha

I_X=I \cdot \sin \alpha

I = \frac {I_M}{\sqrt 2}

valore efficace (A)

1:

<math> \mathbf{I} = I_R + j \cdot I_X </math>


2: <math>j^2=-1</math>


3: <math> I_R=I \cdot \cos \alpha </math>


4: <math> I_X = I \cdot \sin \alpha </math>


5: <math>I = \frac {I_M}{\sqrt 2} </math>


U_M \cdot \sin (\omega t + \beta) \mathbf{U}=U_R + j \cdot U_X j2 = − 1

U_R=U \cdot \cos \beta

U_X=U \cdot \sin \beta

U = \frac {U_M}{\sqrt 2}

valore efficace (V)

1:

<math> \mathbf{U} = U_R + j \cdot U_X </math>


2: <math>j^2=-1</math>


3: <math> U_R = U \cdot \cos \beta </math>

4: <math> U_X = U \cdot \sin \beta </math>


5: <math> U = \frac {U_M}{\sqrt 2} </math>

Impedenza

denominazioneEspressioneParametriCodici LaTex
Impedenza \mathbf{Z}= \frac {\mathbf{U}}{\mathbf{I}}=R+jX R: resistenza(Ω)

X: reattanza(Ω)

<math>\mathbf{Z}= \frac {\mathbf{U}}{\mathbf{I}} =R+jX</math>
Modulo dell'impedenza Z=\frac U I 

= \sqrt{R^2+X^2} <math>Z=\frac U I = \sqrt{R^2+X^2}</math>
argomento dell'impedenza \phi=\arctan \frac X R = \beta - \alpha α,β:

fase dei fasori tensione e corrente

<math>\phi=\arctan \frac X R = \beta - \alpha</math>
resistenza serie R=Z \cdot \cos \phi <math>R=Z \cdot \cos \phi</math>
reattanza induttiva serie X_L=\omega \cdot L L:

induttanza serie

<math>X_L= \omega \cdot L</math>
reattanza capacitiva serie X_C=\frac 1 {\omega \cdot C} C:

capacità serie

<math>X_C= \frac 1 {\omega \cdot C}</math>
reattanza serie X=X_L-X_C=Z \cdot \sin \phi XL:

reattanza induttiva serie

XC:

reattanza capacitiva serie

<math>X=X_L-X_C= Z \cdot \sin \phi</math>

Potenza ed energie

In continua

denominazioneEspressioneParametri ed unità di misuraCodici LaTex
potenza P=U \cdot I P: watt (W)

U: volt (V)

I: ampere (A)

<math>P=U \cdot I</math>
leggi di Joule P=R \cdot I^2


P=\frac {U^2} R

R: resistenza (ohm)

1:

<math>P=R \cdot I^2</math>

2:

<math>P=\frac {U^2} R</math>

energia elettrostatica E=\frac 1 2 \cdot Q \cdot U


E=\frac 1 2 \cdot C \cdot U^2


E=\frac 1 2 \cdot \frac {Q^2} C

E: energia immagazzinata: joule (J)

Q:carica: coulomb (C)

U:tensione: volt (V)

C: capacità: farad (F)

1:

<math>E=\frac 1 2 \cdot Q \cdot U</math>

2:

<math>E=\frac 1 2 \cdot C \cdot U^2</math>

3:

<math>E=\frac 1 2 \cdot \frac {Q^2} C</math>

energia magnetica E=\frac 1 2 \cdot \Phi_c \cdot I


E=\frac 1 2 \cdot L \cdot I^2


E=\frac 1 2 \cdot \frac {\Phi_c^2} L

E: energia immagazzinata: joule (J)

Φc: flusso magnetico concatenato: coulomb (C)

I: corrente: ampere (A)

L: induttanza: henry (H)

1:

<math>E=\frac 1 2 \cdot \Phi_c \cdot I</math>

2:

<math>E=\frac 1 2 \cdot L \cdot I^2</math>

3:

<math>E=\frac 1 2 \cdot \frac {\Phi_c^2} L</math>

In alternata sinusoidale monofase

denominazioneEspressioniParametri ed unità di misuraCodici LaTex
potenza apparente S=U \cdot I


S=Z \cdot I^2


S=\frac {U^2}Z

S: voltampere (VA)

U: valore efficace della tensione: volt (V)

I: valore efficace della corrente: ampere (A)

Z: impedenza: ohm (Ω)

1:

<math>S=U \cdot I</math>

2:

<math>S=Z \cdot I^2</math>


3:

<math>S=\frac {U^2}Z</math>

potenza attiva P=U \cdot I \cdot \cos \phi


P=S \cdot \cos \phi


P=R \cdot I^2


P: watt (W)

S: potenza apparente (VA)

cosφ: fattore di potenza

φ: angolo di sfasamento tra tensione e corrente

( argomento dell'impedenza): radianti

R: resistenza serie: ohm (Ω)

1:

<math>P=U \cdot I \cdot \cos \phi</math>

2:

<math>P=S \cdot \cos \phi</math>

3:

<math>P=R \cdot I^2</math>

potenza reattiva Q=U \cdot I \cdot \sin \phi


Q=S \cdot \sin \phi


Q=X \cdot I^2

Q: voltampere reattivi (var)

S: potenza apparente (VA)

φ: angolo di sfasamento tra tensione e corrente

( argomento dell'impedenza): radianti

X:reattanza serie: ohm (Ω)

1:

<math>Q=U \cdot I \cdot \sin \phi</math>

2:

<math>Q=S \cdot \sin \phi</math>

3:

<math>Q=X \cdot I^2</math>

In alternata sinusoidale trifase

denominazioneEspressioniParametri ed unità di misuraCodici LaTex
potenza apparente S=\sqrt {3} \cdot U \cdot I


S=3 \cdot Z_Y \cdot I^2


S=3 \cdot \frac {U^2} {Z_D}


S: voltampere (VA)

U: valore efficace della tensione concatenata: volt (V)

I: valore efficace della corrente di linea: ampere (A)

ZY: impedenza di una fase a stella

ZD:impedenza di una fase a triangolo

Z_D=3 \cdot Z_Y

1:

<math>S=\sqrt {3} \cdot U \cdot I</math>

2:

<math>S=3 \cdot Z_Y \cdot I^2</math>

3:

<math>S=3 \cdot \frac {U^2} {Z_D}</math>

potenza attiva P=\sqrt {3} \cdot U \cdot I \cdot \cos \phi


P=S \cdot \cos \phi


P=3 \cdot  R_Y \cdot I^2


P: watt (W)

S: potenza apparente (VA)

cosφ: fattore di potenza

φ: angolo di sfasamento tra tensione stellata e corrente di linea

( argomento dell'impedenza): radianti

RY: resistenza di ZY

1:

<math>P=\sqrt {3} \cdot U \cdot I \cdot \cos \phi</math>


2:

<math>P=S \cdot \cos \phi</math>


3:

<math>P=3 \cdot R_Y \cdot I^2</math>

potenza reattiva Q=\sqrt {3} \cdot U \cdot I \cdot \sin \phi


Q=S \cdot \sin \phi


Q=3 \cdot  X_Y \cdot I^2

Q: voltampere reattivi (var)

S: potenza apparente (VA)

XY: reattanza di ZY

φ: angolo di sfasamento tra tensione di fase e corrente di linea

( argomento dell'impedenza): radianti

1:

<math>Q=\sqrt {3} \cdot U \cdot I \cdot \sin \phi</math>

2:

<math>Q=S \cdot \sin \phi</math>

3:

<math>Q=3 \cdot X_Y \cdot I^2</math>

Relazioni e teoremi

denominazioneEspressioniParametri ed unità di misuraCodici LaTex
teorema di Boucherot Ptot = P1 + P2 + ... + Pn

Qtot = Q1 + Q2 + ... + Qn

Ptot: potenza attiva totale (W)

Pi:potenze attiva del componente i-esimo</math>)

Qtot: potenza reattiva totale (var)

Qi:potenze reattiva del componente i-esimo)

<math>P_{tot}=P_1+P_2+ ... +P_n</math>

<math>Q_{tot}=Q_1+Q_2+... +Q_n</math>

triangolo delle potenze S=\sqrt {P^2+Q^2} S:potenza apparente (VA)

P:potenza attiva (W)

Q:potenza reattiva (var)

<math>S=\sqrt {P^2+Q^2}</math>
potenza complessa \mathbf{S}=\mathbf{U} \cdot \mathbf{I^*}

\mathbf{S}=P+jQ

\mathbf{U}: fasore della tensione

\mathbf{I^*}: fasore coniugato della corrente

<math>\mathbf{S} = \mathbf{U} \cdot \mathbf{I^*}</math></math>

<math>\mathbf{S}=P+jQ</math>

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Commenti e note

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di ,

LaTeX è LaTeX, e chi ha fatto la tesi di Ing. Elettronica al Poli di Torino (ma non solo li) non può non ricordarlo con un po' di nostalgia ;) Saluti

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di ,

io vi consiglio TeXnicCenter un editor gratis ed intuitivo. Per non star sempre a scrivere gli accenti si può anche impostare l'italiano

Rispondi

di ,

Grazie, lillo, per la segnalazione. Ho corretto e ne ho approfittato per correggere altri errori. Le unità di misura vanno scritte dritte, cioè, in LaTeX, bisogna racchiuderle tra parentesi graffe precedute da \text, per evitare che siano interpretate e rappresentate come variabili di formule. Quindi, ad esempio, \text{var} e non semplicemente var per avere var e non var

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di ,

nell'ultima tabella, "Relazioni e teoremi", in corrispondenza del teorema di Boucherot, nella formula della potenza reattiva totale ci sono due piccoli errori: l'unità di misura W al posto di var, e un piccolo bug nell'implementazione del pedice tot (solo la t è riconosciuta come pedice). Non sono un perfezionista ma ho concluso gli esami e qualcosa la dovrò pur fare :) Comunque oltre alla trattazione sul tema principale, in questo articolo vedo anche uno stupendo formulario. Come sempre, grazie.

Rispondi

di ,

Volendo si puo' anche usare MathType scaricabile da: http://www.dessci.com/en/products/mathtype/trial.asp che dopo il periodo di prova (30gg) si trasforma in una ancora utilissima versione "Lite". Uso: Dopo avere settato su "Preferences-Translators" il tipo di traduttore ( Tex, Wiki ecc.) Basta scrivere la formula -> evidenziarla -> Copy -> Paste nel documento. Se si desidera editarla in un secondo momento controllare che sia selezionato "Include MathType data in translation" questa selezione aggiungera' una serie di righe di codice che copiate nella finestra di Mathtype ridara' origine alla formula. Esiste ancora in rete la "vecchia" versione free per Latex (Texaide) http://www.maecla.it/File_download/texaide.zip ------------------

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