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I magici numeri complessi - 1

Indice

Premessa

Il titolo dell'articolo è quello del capitolo 4 del libro di Roger Penrose, "La strada che porta alla realtà" ed il contenuto, oltre agli spunti offerti dal libro di Penrose, contiene qualche mio ricordo personale come studente e come insegnante.

Come ex studente desidero ricordare il professor Ubaldo Richard ordinario di Analisi matematica per il corso di Ingegneria dell'Università di Padova, ai miei tempi. Le sue erano lezioni sempre affascinanti ed i numeri complessi vi aggiungevano proprio qualcosa di magico. Le parole scelte con cura e precisione, il modo elegante di spiegare e raccontare, sapevano trascinare lo studente dentro il mondo matematico popolato dai grandi che lo hanno edificato. Le aule del Paolotti erano affollatissime e quando iniziava la lezione, come per incanto, ogni rumore spariva: lo spettacolo iniziava.
Per l'occasione sono andato a rivedere i miei antichi appunti di Analisi I dalle sue lezioni.

Come insegnante, agli albori di questo sito, avevo pubblicato una breve riflessione sull'uso dei numero complessi nell'elettrotecnica che insegnavo agli allievi di terza di un istituto tecnico.

Presentavo loro l'unità immaginaria come un'invenzione matematica, definita con un simbolo ( j) che, moltiplicato per un numero reale, permetteva di effettuare la rotazione di 90° in senso antiorario del segmento orientato che lo rappresentava sulla retta delle ascisse di un piano cartesiano, portandone l'estremo sull'asse delle ordinate.

Mostravo allora la conseguenza algebrica a cui l'invenzione portava che però, come dimostrato in recenti discussioni nel forum, riunite nell'articolo di simo85, i matematici non possono accettare. L'avevo intitolata

Disagio e rifiuto

Ogni volta che ho introdotto il concetto di numero complesso, ho sempre ottenuto, dagli allievi (..quelli attenti..) delle terze un coro di proteste. Nonostante le premesse che, dal mio punto di vista, avrebbero dovuto stimolare la loro fantasia, inducendoli ad apprezzare la nostra capacità di costruire strumenti mentali in grado di interpretare il mondo fisico, non appena arrivavo ad enunciare: "…allora dobbiamo concludere che
\text{j}^2=-1 \quad [1]
cioè
\text{j}=\sqrt{-1} \quad [1a]
è sempre salito dai banchi un coro di proteste repentino e vivace:
"Nooo…! !… la radice quadrata dei numeri negativi non esiste!"
E pensare che avevo fatto di tutto perché il numero complesso apparisse non la scoperta di una entità esistente di per sé, come le Idee in Platone, ma uno strumento inventato e costruito per intervenire quantitativamente su grandezze di grande interesse per l'elettrotecnica: quelle variabili nel tempo con legge sinusoidale.
Se lo strumento lo abbiamo inventato e costruito noi, perché sostenere che non esiste?
E' un oggetto mentale, forse potrebbe non essere utile allo scopo, scomodo, come tanti altri arnesi materiali che a volte incautamente acquistiamo, spesso illusi da una pubblicità ingannevole, ma non si può dire che non esiste.
Ora, quando tratto l'argomento, anticipo che arriveremo ad una conclusione sorprendente, nella speranza che nel momento cruciale i ragazzi se ne ricordino e la pulsione contestatrice risulti inibita ed indirizzata a riflettere sulla strana potenza delle nostre costruzioni concettuali.
Per chi cercherà comunque di rifiutare la conclusione, ho già pronta la domanda:
"Come mai ad un certo punto del tuo percorso scolastico hai accettato i numeri negativi? Hai almeno protestato, a suo tempo, proclamando la loro inesistenza? La maestra non ti aveva forse insegnato che non si può fare l'operazione 2 - 3?"
Spero che ciò induca ciascuno di loro a pensare:
"..Vero!.. Come mai e quando ho accettato la possibilità di questa operazione impossibile?"
"Il fatto è, " li incalzerei ", che non ci si rende conto che i numeri sono definiti dalle operazioni che su di essi decidiamo di fare."
Sarò allora costretto ad avventurarmi in alcune riflessioni sul significato dei numeri. Dal punto di vista filosofico potrei perfino arrivare ad un rifiuto molto più radicale del loro, sostenendo che non solo non esistono i numeri complessi ma non esistono tutti gli altri numeri, i reali, i razionali, gli interi addirittura, non essendo altro, tutte queste entità che noi chiamiamo numeri, delle operazioni di aggregazione che partono dal concetto di unità, il numero 1, l'insieme costituito da un solo elemento, l'unica entità veramente esistente
…...Parmenide ..?

I miei allievi avevano dunque ragione ad opporsi alla [1a], ma per motivi che non conoscevano, come me che matematico non ero e non sono e che, per la spiegazione, mi riferivo al mio testo-bibbia dell'elettrotecnica: Elettrotecnica Generale di Giovanni Someda, che su quella identità formale non sottilizzava.
Bisogna riconoscere, almeno credo, che l'errore non poteva che essere conseguente allo studio più approfondito del nuovo corpo numerico storicamente nato, tra l'altro, proprio con la formula risolutiva dell'equazione di terzo grado, dove compaiono radici quadrate con argomento negativo.
Per gli elettrotecnici resta il fatto che l'unità immaginaria j è uno strumento inventato, indispensabile nello studio delle grandezze sinusoidali, e che ha la proprietà algebrica che il suo quadrato è -1. Non è necessario trarre l'ulteriore conclusione che essa è anche la radice quadrata di meno uno perché la radice quadrata, in campo complesso, non è una funzione, cioè un'applicazione che associa ad un numero un altro ed unico numero. Trasferire le proprietà della radice in campo reale al campo complesso è fonte di insidie e porta, come mostrato nell'articolo citato , ad uguaglianze inammissibili.

Inquadramento: numeri e fisica

I numeri complessi, fondamentali nella trattazione matematica dell'elettrotecnica, già sono trattati in questo spazio. L'idea di un nuovo articolo è originata da un topic in cui un utente chiedeva:
"Cosa sono? Hanno qualche significato fisico, oppure sono "soltanto" degli oggetti matematici utili a continuare i calcoli?"
Tale domanda è ricorrente sui complessi, mentre potrebbe essere relativa a qualsiasi tipo di numeri, naturali compresi. Roger Penrose, nel libro già citato, lo mette in evidenza, illustrando le correlazioni tra matematica e mondo fisico, più o meno in questo modo.

I numeri naturali nascono quando dobbiamo contare le cose, e ciò sembra dipendere dal fatto che nell'universo vi siano <cose> durature e distinguibili. Ma nella matematica possono essere introdotti in modo completamente indipendente dal mondo fisico, ad esempio ricorrendo alla nozione astratta di insieme. Non c'è poi alcun limite per i numeri naturali, mentre, forse, le cose del mondo fisico non sono infinite.
I numeri reali poi forniscono la possibilità di misurare distanze infinitamente piccole, oltre che infinitamente grandi, ma tali distanze trovano una giustificazione nel mondo fisico? L'evoluzione della fisica ha dilatato i limiti in entrambe le direzioni, non solo, ma il calcolo infinitesimale che sta alla base di nozioni fisiche come velocità ed energia, li richiedono.
Ma la domanda è: il mondo fisico ha la continuità dei numeri reali?
La fisica quantistica ne ha posto in evidenza la natura discreta nelle sue scale più ridotte, tanto che, a Schrödinger, la continuità dei reali appariva del tutto eccessiva, un'enorme estrapolazione di ciò che ci è accessibile.
Il fatto è, ad ogni modo, che l'intero sistema dei numeri reali, come Dedekind ha mostrato, può essere edificato, come i naturali, senza alcun riferimento al mondo reale.
Nello sviluppo delle idee matematiche, c'è spesso uno stimolo iniziale prodotto dalla necessità di interpretare il mondo fisico. Poi tali idee si sviluppano indipendentemente da esso ed impongono estensioni che sembrerebbero questioni di pura coerenza matematica. Ma spesso si scopre che esse permettono di interpretare il mondo fisico in modo più completo.

I numeri complessi sono "nati" all'interno della matematica, come un espediente per uscire da una strana situazione algebrica, che richiedeva un calcolo impossibile per i numeri noti. Ma una volta inventati sono progressivamente diventati un ingrediente indispensabile, perfino magico, del pensiero matematico, nonché utilissimi in campo tecnico e scientifico, come nell'elettrotecnica, fino a scoprire che svolgono un ruolo fondamentale addirittura nell'interpretazione del funzionamento dell'universo fisico nella sue scale più ridotte.

L'origine storica classica: equazione di terzo grado

Il mistero di questi numeri misteriosi storicamente era sorto con la formula risolutiva dell'equazione di terzo grado.

{x^3} + px + q = 0 \quad [1a]

Posto
x = u + v
si ha
{x^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)
dal confronto con la [1]
x3 = − pxq ricavata dall'equazione di partenza, si può porre
\left\{ \begin{array}{l}
3uv =  - p\\
{u^3} + {v^3} =  - q
\end{array} \right.
Osservando che
\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2}
ponendo
\begin{array}{l}
{z_1} = {u^3}\\
{z_2} = {v^3} \quad [1b]
\end{array}
avremo
\begin{array}{l}
{z_1}{z_2} = {u^3}{v^3} =  - \frac{{{p^3}}}{{27}}\\
{z_1} + {z_2} =  - q
\end{array}
z1 e z2 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado
{z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0
cioè di
{z^2} + qz - \frac{{{p^3}}}{{27}} = 0
quindi sarà
\begin{array}{l}
{z_1} =  - \frac{q}{2} + \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} \\
{z_2} =  - \frac{q}{2} - \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} 
\end{array}
Quindi sarà anche per le [2]
\begin{array}{l}
u = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} }}\\
v = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} }}
\end{array}

ed infine
x = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} }} \quad[1c]

formula risolutiva dell'equazione di terzo grado (formula di Cardano).
Se ora costruiamo una equazione di terzo grado con radici reali note pari a 1,2, − 3, cioè
(x-1)(x-2)(x+3)=0 \to x^3-7x+6=0
abbiamo
p = − 7 , q = 6
valori per i quali si ha
\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}} = 9 - \frac{{343}}{{27}} = \frac{{243 - 343}}{{27}} =  - \frac{{100}}{{27}}
per cui nella [1c] compare la radice quadrata di un numero negativo, che non esiste in campo reale. Dobbiamo quindi entrare in un campo numerico non reale per ricavare numeri reali!
L'idea tutto sommato è semplice: basta non lasciarci sconcertare dal segno meno sotto radice quadra, ricavare la radice quadrata del valore assoluto accompagnandola con un simbolo che ricordi che c'era il segno meno sotto radice. Se questo simbolo lo consideriamo un coefficiente della radice aritmetica del valore assoluto, elevando il tutto al quadrato per ritrovare il radicando, quel coefficiente deve diventare − 1. Bombelli matematico italiano del XVI secolo non si lasciò intimorire ed attuò questo espediente. In pratica invece di dire che x2 + 1 = 0 non ha soluzioni, basta specificare che non ha soluzioni in campo reale, ma che possiamo "immaginare" che la sua soluzione sia x = i se i è il simbolo che abbiamo scelto.
Possiamo anche osservare che dopo questa "immaginazione" c'è anche un'altra soluzione all'equazione considerata: − i.

Possiamo cioè ritenere che il campo numerico, oltre ai numeri reali, comprenda anche i numeri che abbiamo immaginato che sono reali moltiplicati per il simbolo i e i nuovi numeri possano essere scritti con la notazione \dot z=a+\text{i}b, con a parte reale e b parte immaginaria.

I numeri complessi allora non sono altro che coppie ordinate di numeri reali: \dot z=(a\,,\,b).
Si definiscono quindi le proprietà formali e le operazioni fondamentali su tali coppie, scoprendo l'elemento nullo (0\,,\,0), l'elemento neutro (1\,,\, 0) e l'unità immaginaria (0\,,\, 1) posta, convenzionalmente uguale a i per la quale si dimostra, in base alla definizione del prodotto (a\,,\,b)(c\,, \,d)=(ac-bd\,,\, ad+bc) che (0\,,\,1)^2=(0\,,\,1)(0\,,\,1)=(-1\,,\,0) cioè i2 = − 1 essendo le coppie con secondo elemento nullo, i numeri reali.

Operazioni algebriche

Nota: i matematici usano il simbolo i per l'unità immaginaria, gli elettrotecnici, almeno quelli della mia generazione, sono più abituati ad usare invece j, per cui userò tale simbolo nelle successive formule.

Introdotto dunque il simbolo j con la proprietà che j2 = − 1 , combiniamo con esso due qualsiasi numeri reali formando un'espressione del tipo a + jb che indichiamo con \dot z chiamandola numero complesso.
Si può verificare che somme, differenze, prodotti e divisioni tra espressioni di questo tipo producono sempre espressioni dello stesso tipo, cioè una coppia di reali dove uno di essi è moltiplicato per j. Si seguono le regole dell'algebra ricordando che j2 = − 1

[2a] \, \text{somma} \left( {a + {\rm{j}}b} \right) + \left( {c + {\rm{j}}d} \right) = \left( {a + c} \right) + {\rm{j}}(b + d)
[2b] \, \text{differenza} \left( {a + {\rm{j}}b} \right) - \left( {c + {\rm{j}}d} \right) = \left( {a - c} \right) + {\rm{j}}(b - d)
[2c] \, \text{prodotto} \left( {a + {\rm{j}}b} \right)\left( {c + {\rm{j}}d} \right) = \left( {ac - bd} \right) + {\rm{j}}(ad + bc)
[2d] \, \text{divisione} \frac{{a + {\rm{j}}b}}{{c + {\rm{j}}d}} = \frac{{a + {\rm{j}}b}}{{c + {\rm{j}}d}} \cdot \frac{{c - {\rm{j}}d}}{{c - {\rm{j}}d}} = \left( {\frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}}} \right) + {\rm{j}}\left( {\frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}} \right)
Nota: nella divisione si è moltiplicato numeratore e denominatore per il numero complesso coniugato del denominatore. Il numero complesso coniugato di un numero complesso è il numero che ha la stessa parte reale e la parte immaginaria cambiata di segno. Il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato è il numero reale dato dalla somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria

Radici

Il simbolo introdotto è dunque il numero complesso il cui quadrato è − 1; inversamente si può dire che, dato il numero complesso − 1 + j0 = − 1 esiste un numero complesso che elevato al quadrato dà proprio − 1 e questo è j: quello che in campo reale chiamiamo radice quadrata. Sarà vero per qualsiasi numero complesso che possiamo scrivere? Cioè dato un qualsiasi \dot z= a+ \text{j}b esiste un altro numero complesso il cui quadrato è proprio \dot z? In altre parole noti a e b esiste un'altra coppia di reali c e d tali che (\dot z')^2=(c+\text{j}d)^2=\dot z = a+\text{j}b?
La risposta è affermativa: basta porre
\begin{array}{l}
c = \sqrt {\frac{1}{2}\left( {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)} \\
d = \sqrt {\frac{1}{2}\left( { - a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}
\end{array}
Infatti
\begin{array}{l}
{\left( {\dot z'} \right)^2} = {\left( {c + {\rm{j}}d} \right)^2} = {\left[ {\sqrt {\frac{1}{2}\left( {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}  + {\rm{j}}\sqrt {\frac{1}{2}\left( { - a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)} } \right]^2} = \\
\\
 = \frac{1}{2}\left( {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) - \frac{1}{2}\left( { - a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) + \\
 + {\rm{j}}2\sqrt {\frac{1}{2}\left( {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)} \sqrt {\frac{1}{2}\left( { - a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}  = \\
\\
 = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + {\rm{j2}}\sqrt {\frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}^2} - {a^2}} =\\ 
= a + {\rm{j}}b = \dot z\\
\\
\end{array}
E se invece del quadrato consideriamo altre potenze? Ebbene qualunque sia il numero complesso esistono sempre altri numeri complessi che elevati alla potenza considerata forniscono il numero di partenza. E questo qualunque sia l'esponente della potenza: intero, razionale, reale, complesso.

Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica

Per come è stato definito, il numero complesso può essere rappresentato come un punto del piano cartesiano. Gli assi coordinati sono chiamati asse reale, quello delle ascisse, in cui punti sono multipli dell'unità reale; asse immaginario quello delle ordinate, verticale, i cui punti sono multipli dell'unità immaginaria j. Il punto \dot z=a+\text{j}b è dunque rappresentabile con le coordinate cartesiane a,b.
Il piano cartesiano che rappresenta i numeri complessi è detto piano di Gauss-Argand (o di Wessel).

E' naturalmente possibile rappresentarlo in coordinate polari indicando con ρ la distanza del punto dall'origine e con θ l'angolo che la semiretta che congiunge l'origine con il punto forma con l'asse reale, considerando positivo l'angolo per una rotazione antioraria a partire dall'asse reale.

\rho   = \sqrt {{a^2} + {b^2}} è detto modulo del numero complesso
\theta = \arctan \frac b a è detto argomento (od anche fase)

Note
  1. L'argomento del numero complesso è, in realtà, l'angolo θ + 2kπ con k numero intero positivo o negativo.
  2. La scrittura del numero complesso usando il modulo, il seno ed il coseno dell'argomento è detta forma trigonometrica del numero complesso.
\dot z = \rho \left( {\cos \theta  + {\rm{j}}\sin \theta } \right) \quad [3a]

Addizione e sottrazione

La rappresentazione nel piano cartesiano mostra che somma e sottrazione sono vettoriali. 0, \dot z_1, \dot z_2, \dot z_1+ \dot z_2 e 0, \dot z_1, -\dot z_2, \dot z_1- \dot z_2 sono i vertici di un parallelogramma. Sommare ad un qualsiasi numero complesso \dot z del piano un dato numero complesso \dot w corrisponde ad una traslazione del piano che porta l'origine in \dot w

Moltiplicazione e divisione

Usiamo la forma trigonometrica
\begin{array}{l}
{\rho _1}\left( {\cos {\vartheta _1} + {\rm{j}}\sin {\vartheta _1}} \right){\rho _2}\left( {\cos {\vartheta _2} + {\rm{j}}\sin {\vartheta _2}} \right) = \\
 = {\rho _1}{\rho _2}\left( {\cos {\vartheta _1}\cos {\vartheta _2} - \sin {\vartheta _1}\sin {\vartheta _2} + {\rm{j}}\left( {\sin {\vartheta _2}\cos {\vartheta _1} + \sin {\vartheta _1}\cos {\vartheta _2}} \right)} \right) = \\
 = {\rho _1}{\rho _2}\left( {\cos \left( {{\vartheta _1} + {\vartheta _2}} \right) + {\rm{j}}\sin \left( {{\vartheta _1} + {\vartheta _2}} \right)} \right)
\end{array}

\begin{array}{l}
\frac{{{\rho _1}\left( {\cos {\vartheta _1} + {\rm{j}}\sin {\vartheta _1}} \right)}}{{{\rho _2}\left( {\cos {\vartheta _2} + {\rm{j}}\sin {\vartheta _2}} \right)}} = \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\frac{{\left( {\cos {\vartheta _1} + {\rm{j}}\sin {\vartheta _1}} \right)\left( {\cos {\vartheta _2} - {\rm{j}}\sin {\vartheta _2}} \right)}}{{{{\cos }^2}{\vartheta _2} + {{\sin }^2}{\vartheta _2}}} = \\
 = \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\left( {\cos {\vartheta _1}\cos {\vartheta _2} + \sin {\vartheta _1}\sin {\vartheta _2} + {\rm{j}}\left( {\sin {\vartheta _1}\cos {\vartheta _2} - \sin {\vartheta _2}\cos {\vartheta _1}} \right)} \right) = \\
 = \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\left( {\cos \left( {{\vartheta _1} - {\vartheta _2}} \right) + {\rm{j}}\sin \left( {{\vartheta _1} - {\vartheta _2}} \right)} \right)
\end{array}

Nota
avremmo potuto utilizzare anche la [2c] per la moltiplicazione e la [2d] per la divisione
\begin{array}{l}a + {\rm{j}}b = {\rho _1}\left( {\cos \alpha  + {\rm{j}}\sin \alpha } \right)\\c + {\rm{j}}d = {\rho _2}\left( {\cos \beta  + {\rm{j}}\sin \beta } \right)
\end{array}
Per l'argomento del prodotto, ad esempio
\arctan \frac{{ad + bc}}{{ac - bd}}
dividendo numeratore e denominatore per il prodotto ac e tenendo presenti le definizioni di seno, coseno e tangente si ha
\begin{array}{l}
 = \arctan \frac{{\frac{d}{c} + \frac{b}{a}}}{{1 - \frac{b}{a}\frac{d}{c}}} = \arctan \frac{{\tan \beta  + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \\
 = \arctan \frac{{\frac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }} + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{1 - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\frac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }}}} = \arctan \frac{{\sin \beta \cos \alpha  + \sin \alpha \cos \beta }}{{\cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta }} = \\
 = \arctan \frac{{\sin \left( {\beta  + \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\beta  + \alpha } \right)}} = \arctan \left( {\tan \left( {\beta  + \alpha } \right)} \right) = \beta  + \alpha 
\end{array}
Per il modulo invece
\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {ac - bd} \right)}^2} + {{\left( {ad + bc} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2}{c^2} - 2acbd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + 2acbd + {b^2}{c^2}}  = \\\sqrt {{a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2}}  = \sqrt {{a^2}\left( {{c^2} + {d^2}} \right) + {b^2}\left( {{c^2} + {d^2}} \right)}  \\= \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)}  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{c^2} + {d^2}} \end{array}

Le espressioni trovate ci permettono di affermare che:

il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti e che il rapporto è un numero complesso che ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti del numeratore e del denominatore.

E' molto interessante il comportamento degli argomenti: è come quello dei logaritmi che trasformano un prodotto in una somma ed una divisione in una differenza. Un comportamento che troverà completa giustificazione con la definizione della funzione esponenziale complessa.

La moltiplicazione e la divisione producono, nel piano, triangoli simili.
Lo sono, ad esempio (0,1,\dot z_1) e (0, \dot z_2, \dot z_1 \dot \dot z_2) in quanto l'angolo θ1 è formato da segmenti proporzionali: (1,ρ1) e (\rho_2, \rho_1 \dot \rho_2)
Anche i triangoli (0,1,\dot z_1) e (0, \dot z_1/ \dot z_2, 1/ \dot z_2) sono simili. I segmenti che formano l'angolo θ1 sono infatti proporzionali: (1,ρ1) e (1 / ρ21 / ρ2)

La moltiplicazione (o la divisione) di tutti i numeri complessi \dot z di un piano per un numero complesso \dot w, fornisce una rotazione ed una espansione (o una contrazione) del piano complesso che manda 1 in \dot w

Formula di De Moivre

Dalla definizione di prodotto tra numeri complessi segue la formula di De Moivre che fornisce la potenza n.esima con n intero e positivo di un numero complesso \dot \alpha=\rho \left( {\cos \theta  + {\rm{j}}\sin \theta } \right)

{\left[ {\rho \left( {\cos \theta  + {\rm{j}}\sin \theta } \right)} \right]^n} = {\rho ^n}\left( {\cos n\theta  + {\rm{j}}\sin n\theta } \right) \quad [3b]

Convenendo poi che sia \dot \alpha^{-n}=\frac{1}{\dot \alpha^{n}} e α0 = 1, la formula di De Moivre vale qualunque sia n intero, positivo, nullo o negativo.

Con tale formula possiamo agevolmente ricavare le radici n-esima di un numero complesso con n intero positivo.
Se \dot \alpha=\rho \left( {\cos \theta  + {\rm{j}}\sin \theta } \right) è un numero complesso, la sua radice n-esima, che possiamo convenzionalmente indicare con \sqrt[n]{\dot \alpha } è il numero complesso \dot z tale per cui {{\dot z}^n} = \dot \alpha

Posto \dot z = r\left( {\cos \phi  + {\rm{j}}\sin \phi } \right),
possiamo scrivere usando De Moivre
{{\dot z}^n} = {r^n}\left( {\cos n\phi  + {\rm{j}}\sin n\phi } \right) = \dot \alpha  = \rho \left( {\cos \theta  + {\rm{j}}\sin \theta } \right)

Due numeri complessi sono uguali se hanno stesso modulo e stesso argomento. L'equazione precedente si traduce pertanto nel sistema
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r^n} = \rho }\\
{n\phi  = \theta  + 2k\pi }
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{r = \sqrt[n]{\rho }}\\
{\phi  = \frac{{\theta  + 2k\pi }}{n}}
\end{array}} \right.
\end{array}
{\sqrt[n]{\rho }} è la radice aritmetica del modulo, k è un numero intero qualsiasi al cui variare si ottengono valori diversi per l'argomento. I valori distinti sono n con k = 0,1..n − 1
\frac{\theta }{n},\frac{{\theta  + 2\pi }}{n},\frac{{\theta  + 2 \times 2\pi }}{n},...,\frac{{\theta  + 2(n - 1)\pi }}{n}.
Per k \ge n si ottengono i valori precedenti che differiscono per multipli di


Radici dell'unità

Per \dot \alpha =1 si ha ρ = 1 e θ = 0
Per \dot \alpha =-1 si ha ρ = 1 e θ = π
NB: nel disegno che segue la parte reale della radice è in blu e quella immaginaria in rosso

La funzione esponenziale

Nel paragrafo precedente l'esponente n è un numero intero. Vediamo cosa succede se invece è un numero complesso qualsiasi.

Se \dot z=x+\text{j}y e se fossero valide le regole note dell'elevamento a potenza in campo reale (l'esponente del prodotto di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli sponenti) potremmo scrivere

{e^{\dot z}} = {e^{x + {\rm{j}}y}} = {e^x}{e^{{\rm{j}}y}}
Per come è scritto l'ultimo membro viene un sospetto: ex è un numero reale che potrebbe essere il modulo del numero complesso prodotto; ejy potrebbe avere a che fare solo con l'argomento ed essere quindi un numero complesso di modulo unitario, che giace sulla circonferenza di raggio unitario con il centro nell'origine del piano complesso con argomento pari ad y.
Il sospetto deve però essere confermato da qualche dimostrazione.

Formula di Eulero

La più in voga è la prima basata sullo sviluppo in serie delle funzioni seno, coseno, esponenziale estese dal campo reale a quello complesso, notata a quanto pare dallo stesso Eulero. Si hanno infatti

\sin \dot z = \dot z - \frac{{{{\dot z}^3}}}{{3!}} + \frac{{{{\dot z}^5}}}{{5!}} - \frac{{{{\dot z}^7}}}{{7!}} +  \cdots
\cos \dot z = 1 - \frac{{{{\dot z}^2}}}{{2!}} + \frac{{{{\dot z}^4}}}{{4!}} - \frac{{{{\dot z}^6}}}{{6!}} +  \cdots
{e^{\dot z}} = 1 + \dot z + \frac{{{{\dot z}^2}}}{{2!}} + \frac{{{{\dot z}^3}}}{{3!}} +  \cdots
In quest'ultima, posto \dot z=\text{j}y si ottiene

\begin{array}{l}
{e^{{\rm{jy}}}} = 1 + {\rm{j}}y - \frac{{{y^2}}}{{2!}} - \frac{{{\rm{j}}{y^3}}}{{3!}} + \frac{{{y^4}}}{{4!}} + \frac{{{\rm{j}}{y^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} - \frac{{{\rm{j}}{y^7}}}{{7!}} + \frac{{{y^8}}}{{8!}} +  \cdots = \\
 = \left( {1 - \frac{{{y^2}}}{{2!}} + \frac{{{y^4}}}{{4!}} - \frac{{{y^6}}}{{6!}} + \frac{{{y^8}}}{{8!}} +  \ldots } \right) + {\rm{j}}\left( {y - \frac{{{y^3}}}{{3!}} + \frac{{{y^5}}}{{5!}} - \frac{{{y^7}}}{{7!}} +  \cdots } \right)

\end{array}
e^{\text{j}y}= \cos y + {\rm{j}}\sin y \quad [4a]

Possiamo accontentarci per quanto desideravano ottenere

 \quad {e^{\dot z}} = {e^{x + {\rm{j}}y}} = {e^x}\left( {\cos y + {\rm{j}}\sin y} \right) \quad [4b]

Però abbiamo ipotizzato che fossero valide le regole dell'elevamento a potenza, quindi, anche per esercizio un po' nostalgico, riscrivo la dimostrazione della funzione esponenziale tratta dai miei antichi appunti (scannerizzati nella bibliografia)

Premettiamo la dimostrazione
\lim \limits _{{x\to 0 }}\frac{{\ln \left( {1 + ax + b{x^2}} \right)}}{x} = a
Infatti applicando de l'Hopital otteniamo

\lim \limits _{{x\to 0 }}\frac{a+2bx}{1+ax+bx^2} = a
Poniamo x = 1 / n
\lim \limits _{{n\to +\infty}}\ln \left( {1 + \frac a n + \frac b {n^2}} \right)^n= a
cioè

\lim \limits _{{n\to +\infty}}\left( {1 + \frac a n + \frac b {n^2}} \right)^n= e^a

Dimostriamo che se x è un qualunque numero reale è

\lim \limits _{{n\to +\infty}}\left( 1 + \frac x n \right)^n= e^x

Infatti

 \left ( 1 + \frac x n \right)^n=\left[ \left( 1 + \frac x n \right)^{\left (\frac n x \right )} \right ]^x
ed è

\lim \limits _{{n\to +\infty}}\left( 1 + \frac x n \right)^{\left (\frac n x \right )}= e
Poniamo allora, per definizione,

\lim \limits _{{n\to +\infty}}\left( 1 + \frac {x+\text{j}y} {n} \right)^n= e^{x+\text{j}y}

Scriviamo l'espressione tra parentesi in forma polare
1 + \frac{{x + {\rm{j}}y}}{n} = \left( {1 + \frac{x}{n}} \right) + {\rm{j}}\frac{y}{n} = \rho \left( {\cos \theta  + {\rm{j}}\sin \theta } \right)
e calcoliamo, separatamente, i limiti del modulo e dell'argomento
il quadrato del modulo è
{\rho ^2} = 1 + \frac{{2x}}{n} + {\left( {\frac{x}{n}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{n}} \right)^2} = 1 + \frac{{2x}}{n} + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{n^2}
mentre per l'argomento abbiamo l'equazione
\tan \theta  = \frac{{\frac{y}{n}}}{{1 + \frac{x}{n}}}
Applicando De Moivre abbiamo
{\left( {1 + \frac{{x + {\rm{j}}y}}{n}} \right)^n} = {\rho ^n}\left( {\cos n\theta  + {\rm{j}}\sin n\theta } \right)

Per il modulo

\lim \limits _{{n\to +\infty}} \rho^n=\left [ \left ( 1 + \frac{2x}{n} + \frac{x^2 + y^2}{n^2} \right )^{\frac 1 2} \right ]^n=

\lim \limits _{{n\to +\infty}} \rho^n=\left [ \left ( 1 + \frac{2x}{n} + \frac{x^2 + y^2}{n^2} \right )^n \right ]^
{\frac 1 2}= \left (e^{2x} \right )^{\frac 1 2}=e^x
Per l'argomento

\lim \limits _{n\to +\infty} n \theta=\lim \limits_{n\to +\infty} \frac{\theta}{\tan \theta} n \tan \theta=
\lim \limits_{n\to +\infty} \frac{\theta}{\tan \theta} \lim \limits_{n\to +\infty} n \tan \theta=

Poiché

\lim \limits_{n\to +\infty} \theta=\lim \limits_{n\to +\infty}\arctan \frac{\frac y n}{1+ \frac x n}=0 Si ha<br / \lim \limits_{n\to +\infty} \frac{\theta}{\tan \theta}=\lim \limits_{\theta \to 0} =1

e

\lim \limits_{n\to +\infty} n \tan \theta=\lim \limits_{n\to +\infty} n \frac{\frac y n}{1+ \frac x n}=y

abbiamo che

\lim \limits _{n\to +\infty} \left( 1 + \frac {x+\text{j}y} {n} \right )^n= e^x \left ( \cos y + \text{j} \sin y \right )=e^{x+\text{j}y}
c.v.d
Per x= 0 abbiano la formula di Eulero.
In definitiva ejy rappresenta un qualsiasi punto del piano complesso che giace sulla circonferenza con centro nell'origine e di raggio unitario.

Possiamo anche affermare che si tratta di una funzione periodica di periodo 2πj per cui si ha
ex + jy = ex + j(y + k2π) con k intero qualsiasi
E' la formula di Eulero che dà luogo a quella che è considerata l'identità più bella della matematica. In essa sono presenti i 5 numeri più importanti della matematica: e,1,0,π,j nonché il simbolo dell'operazione di base, l'addizione oltre a quello di uguaglianza. Sembra esserci qualcosa di mistico oltre che di magico.

e + 1 = 0

Le formula du Eulero ci permette di mostrare meglio le radici dell'unità viste in precedenza in quanto sono punti giacenti sulla circonferenza di raggio unitario con centro nell'origine. Avremo allora \sqrt[n]{1} \Rightarrow 1,{e^{{\rm{j}}\frac{{2\pi }}{n}}},{e^{{\rm{j}}\frac{{4\pi }}{n}}},..,{e^{{\rm{j}}\frac{{\left( {n - 1} \right)2\pi }}{n}}}
Poniamo
\omega  = {e^{{\rm{j}}\frac{{2\pi }}{n}}}
\sqrt[n]{1} \Rightarrow 1,\omega ,{\omega ^2},...,{\omega ^{n - 1}}
Queste n grandezze costituiscono un gruppo moltiplicativo finito: moltiplicando tra loro due qualsiasi di esse si ottiene un'altra di queste grandezze. La seguente tabella di moltiplicazione mostra tale proprietà

\begin{array}{*{20}{c}}
 \times &1&\omega &{{\omega ^2}}&{...}&{{\omega ^{n - 1}}}\\
1&1&\omega &{{\omega ^2}}&{...}&{{\omega ^{n - 1}}}\\
\omega &\omega &{{\omega ^2}}&{{\omega ^3}}&{...}&1\\
{{\omega ^2}}&{{\omega ^2}}&{{\omega ^3}}&{{\omega ^4}}&{...}&\omega \\
{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\
{{\omega ^{n - 1}}}&{{\omega ^{n - 1}}}&1&\omega &{...}&{{\omega ^{n - 2}}}
\end{array}

NB: si tenga presente che {\omega ^n} = {\left( {{e^{{\rm{j}}\frac{{2\pi }}{n}}}} \right)^n} = {e^{2\pi {\rm{j}}}} = 1

I punti che rappresentano le radici ennesime dell'unità sono i vertici di un ennagono regolare. Si vedano i casi rappresentati in precedenza per n = 3,n = 4,n = 5. La moltiplicazione per ω fa ruotare l'ennagono dell'angolo 2π / n in senso antiorario. Questo suggerisce che i numeri complessi siano particolarmente adatti a trattare le simmetrie e le simmetrie giocano un ruolo importante nella fisica moderna

Le funzioni circolari ed iperboliche

La formula di Eulero [4a] non solo ha un notevole fascino ma legando l'elevamento a potenza con numero immaginario alle funzioni trigonometriche permette di trovare per tali funzioni nuove espressioni in genere molto più semplici per i calcoli.
Dalla formula di Eulero scritta per y e y si ha

\begin{array}{l}
{e^{{\rm{j}}y}} = \cos y + {\rm{j}}\sin y\\
{e^{ - {\rm{j}}y}} = \cos y - {\rm{j}}\sin y
\end{array}

Prima sommandole e poi sottraendole, si ottengono

\begin{array}{l}
\cos y = \frac{{{e^{{\rm{j}}y}} + {e^{ - {\rm{j}}y}}}}{2}\\
\sin y = \frac{{{e^{{\rm{j}}y}} - {e^{ - {\rm{j}}y}}}}{{2{\rm{j}}}}
\end{array}
[5a]

espressioni con cui possiamo, ad esempio, verificare note formule trigonometriche come

\begin{array}{l}
\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{{e^{{\rm{j}}\left( {\alpha  + \beta } \right)}} + {e^{ - {\rm{j}}\left( {\alpha  + \beta } \right)}}}}{2} = \frac{{{e^{{\rm{j}}\alpha }}{e^{{\rm{j}}\beta }} + {e^{ - {\rm{j}}\alpha }}{e^{ - {\rm{j}}\beta }}}}{2} = \\
 = \frac{{\left( {\cos \alpha  + {\rm{j}}\sin \alpha } \right)\left( {\cos \beta  + {\rm{j}}\sin \beta } \right) + \left( {\cos \left( { - \alpha } \right) + {\rm{j}}\sin \left( { - \alpha } \right)} \right)\left( {\cos \left( { - \beta } \right) + {\rm{j}}\sin \left( { - \beta } \right)} \right)}}{2} = \\
 = \frac{{\cos \alpha \cos \beta  + {\rm{j}}\sin \beta \cos \alpha  + {\rm{j}}\sin \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta  + \cos \alpha \cos \beta  - {\rm{j}}\sin \beta \cos \alpha  - {\rm{j}}\sin \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta }}{2} = \\
 = \frac{{2\left( {\cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta } \right)}}{2} = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta 
\end{array} oppure ricavarne di meno note come quella di triplicazione dell'argomento del coseno
\begin{array}{l}
\cos \left( {3\alpha } \right) = \frac{{{e^{{\rm{j3}}\alpha }} + {e^{ - {\rm{j3}}\alpha }}}}{2} = \frac{{{{\left( {{e^{{\rm{j}}\alpha }}} \right)}^3} + {{\left( {{e^{ - {\rm{j}}\alpha }}} \right)}^3}}}{2} = \frac{{{{\left( {\cos \alpha  + {\rm{j}}\sin \alpha } \right)}^3} + {{\left( {\cos \alpha  - {\rm{j}}\sin \alpha } \right)}^3}}}{2}\\
 = \frac{{{{\cos }^3}\alpha  - {\rm{j}}{{\sin }^3}\alpha  + 3{\rm{j}}\sin \alpha {{\cos }^2}\alpha  - 3{{\sin }^2}\alpha \cos \alpha  + {{\cos }^3}\alpha  + {\rm{j}}{{\sin }^3}\alpha  - 3{\rm{j}}\sin \alpha {{\cos }^2}\alpha  - 3{{\sin }^2}\alpha \cos \alpha }}{2} = \\
 = \frac{{2{{\cos }^3}\alpha  - 6{{\sin }^2}\alpha \cos \alpha }}{2} = {\cos ^3}\alpha  - 3{\sin ^2}\alpha \cos \alpha 
\end{array}

e che estendiamo assumendo come argomento un qualsiasi numero complesso \dot z

\begin{array}{l}
\cos \dot z = \frac{{{e^{{\rm{j}}\dot z}} + {e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{2}\\
\sin \dot z = \frac{{{e^{{\rm{j}}\dot z}} - {e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{{2{\rm{j}}}}
\end{array}
[5b]

Possiamo verificare che le espressioni scritte sopra godono delle proprietà delle funzioni trigonometriche
{\sin ^2}\dot z + {\cos ^2}\dot z = \frac{{{e^{{\rm{j2}}\dot z}} + {e^{ - {\rm{j2}}\dot z}} + 2{e^{{\rm{j}}\dot z}}{e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{4} + \frac{{ - {e^{{\rm{j2}}\dot z}} - {e^{ - {\rm{j2}}\dot z}} + 2{e^{{\rm{j}}\dot z}}{e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{4} = \frac{{4{e^0}}}{4} = 1
\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\dot z}}\sin \left( {\dot z} \right) = \frac{{{\rm{j}}{e^{{\rm{j}}\dot z}} + {\rm{j}}{e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{{2{\rm{j}}}} = \frac{{{e^{{\rm{j}}\dot z}} + {e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{{2{\rm{j}}}} = \cos \dot z

Se l'argomento è immaginario puro: \dot z = {\rm{j}}x

\sin \dot z = \sin {\rm{j}}x = \frac{{{e^{ - x}} - {e^{ + x}}}}{{2{\rm{j}}}} = {\rm{j}}\frac{{{e^{ + x}} - {e^{ - x}}}}{2} = {\rm{j}}\sinh x
Il seno di un numero puramente immaginario è un numero puramente immaginario che è il seno iperbolico della parte immaginaria del numero

\cos \dot z = \cos {\rm{j}}x = \frac{{{e^{ - x}} + {e^x}}}{2} = \cosh x
mentre il coseno è reale ed è il coseno iperbolico della parte immaginaria.
Applicando la proprietà della somma,
\dot z = x + {\rm{j}}y
\sin \dot z = \sin x\cos {\rm{j}}y + \cos x\sin {\rm{j}}y = \sin x\cosh y + {\rm{j}}\cos x\sinh y

Esempio di funzioni circolari inverse

\begin{array}{l}
\tan \dot z = \dot w\\
\Rightarrow \dot z = \arctan \dot w
\end{array}
\tan \dot z = \frac{{\sin \dot z}}{{\cos \dot z}} = \frac{{\frac{{{e^{{\rm{j}}\dot z}} - {e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{{2{\rm{j}}}}}}{{\frac{{{e^{{\rm{j}}\dot z}} + {e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{2}}} = \frac{1}{{\rm{j}}}\frac{{{e^{{\rm{j}}\dot z}} - {e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}}{{{e^{{\rm{j}}\dot z}} + {e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}} = \dot w

dividendo numeratore e denominatore per {{e^{ - {\rm{j}}\dot z}}}
\begin{array}{l}
\frac{{{e^{{\rm{j2}}\dot z}} - 1}}{{{e^{{\rm{j2}}\dot z}} + 1}} = {\rm{j}}\dot w\\
{e^{{\rm{j2}}\dot z}} = \frac{{1 + {\rm{j}}\dot w}}{{1 - {\rm{j}}\dot w}}\\
\dot z = \frac{1}{{2{\rm{j}}}}\ln \left( {\frac{{1 + {\rm{j}}\dot w}}{{1 - {\rm{j}}\dot w}}} \right)
\end{array}

Alcune proprietà

1)
{e^{\dot z}} \ne 0
2)
\begin{array}{l}{e^{{{\dot z}_1}}} \cdot {e^{{{\dot z}_2}}} = {e^{{{\dot z}_1} + {{\dot z}_2}}}\\{{\dot z}_1} = {x_1} + {\rm{j}}{y_1};{\rm{  }}{{\dot z}_2} = {x_2} + {\rm{j}}{y_2};{\rm{  }}{{\dot z}_1} + {{\dot z}_2} = {x_1} + {x_2} + {\rm{j}}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\\\\{e^{{{\dot z}_1}}} \cdot {e^{{{\dot z}_2}}} = {e^{{x_1}}}\left( {\cos {y_1} + {\rm{j}}\sin {y_1}} \right) \cdot {e^{{x_2}}}\left( {\cos {y_2} + {\rm{j}}\sin {y_2}} \right) = \\ = {e^{{x_1} + {x_2}}}\left( {\cos {y_1}\cos {y_2} - \sin {y_1}\sin {y_2} + {\rm{j}}\sin {y_1}\cos {y_2} + {\rm{j}}\sin {y_2}\cos {y_1}} \right) = \\ = {e^{{x_1} + {x_2}}}\left( {\cos \left( {{y_1} + {y_2}} \right) + {\rm{j}}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)} \right) = {e^{{{\dot z}_1} + {{\dot z}_2}}}{\rm{    c.v.d}}
\end{array}

Il logaritmo complesso

Per definizione di logaritmo abbiamo
{e^{\log \left( {x + {\rm{j}}y} \right)}} = x + {\rm{j}}y

Posto allora
\log \left( {x + {\rm{j}}y} \right) = a + {\rm{j}}b
possiamo scrivere
{e^{a + {\rm{j}}b}} = x + {\rm{j}}y = \rho \left( {\cos \theta  + {\rm{j}}\sin \theta } \right) = {e^a}\left( {\cos b + {\rm{j}}\sin b} \right)
quindi ricavare
\begin{array}{l}
a = \ln \rho \\
b = \theta  + 2k\pi \\
\log \left( {x + {\rm{j}}y} \right) = \log \left[ {\rho \left( {\cos \theta  + {\rm{j}}\sin \theta } \right)} \right] = \ln \rho  + {\rm{j}}\left( {\theta  + 2k\pi } \right)
\end{array}
Il logaritmo, come l'esponenziale del resto, è una funzione periodica con periodo pari a 2πj
Si può infatti verificare facilmente che
\log \left( {x + {\rm{j}}y} \right) = \log \left( {x + {\rm{j}}y + 2k\pi {\rm{j}}} \right)
Il logaritmo esiste per qualunque numero complesso diverso da zero, anzi ne esistono infiniti essendo la funzione periodica.
\log \left( 1 \right) = \ln \left( {1 + {\rm{j}}0} \right) = \ln \left[ {1\left( {\cos 0 + {\rm{j}}\sin 0} \right)} \right] = \ln 1 + {\rm{j}}\left( {0 + 2k\pi } \right) = 2k\pi {\rm{j}}

Per k= 0 log=0: è il caso reale

\log \left( -1 \right) = \log \left( {-1 + {\rm{j}}0} \right) = \log \left[ {1\left( {\cos \pi + {\rm{j}}\sin \pi} \right)} \right] = \ln 1 + {\rm{j}}\left( {\pi + 2k\pi } \right) = (2k+1) \pi {\rm{j}}

Per qualsiasi k non esiste un valore reale

\log \left( {\rm{j}} \right) = \log \left( {0 + {\rm{j}}} \right) = \log \left[ {1\left( {\cos \frac{\pi }{2} + {\rm{j}}\sin \frac{\pi }{2}} \right)} \right] =
=\ln 1 + {\rm{j}}\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right) = {\rm{j}}\frac{\pi }{2}\left( {1 + 4k} \right)

Teorema fondamentale dell'algebra

Possiamo osservare che j è stato "inventato" per risolvere l'equazione
1+\dot z^2=0
Si è anche visto che un'equazione del tipo \dot z^n = \dot a ha n radici.
La sorpresa è che ora qualunque equazione polinomiale del tipo
P(\dot z)={a_n} + {a_{n-1}}\dot z + {a_{n-2}}{\dot z^2} + ... +a_1 \dot z^{n-1} + {a_0}{\dot z^n} = 0
dove n è un intero positivo qualsiasi ed i coefficienti sono numeri complessi ha n soluzioni complesse.
Basta per questo dimostrare che esiste almeno una radice. Infatti, indicando con \dot \alpha tale radice, il polinomio di grado n che indichiamo brevemente con P(\dot z) in cui supponiamo {a_n} \ne 0 è scomponibile come (\dot z- \dot \alpha) \cdot P_1( \dot z) con P_1(\dot z) polinomio di grado n − 1. Ripetendo il ragionamento per P_1(\dot z) e per i polinomi successivi di grado inferiore, si arriverà al polinomio di grado zero, pari ad an e si potrà scrivere
P(\dot z)=a_n(\dot z - \dot \alpha_1)(\dot z - \dot \alpha_2)...(\dot z - \dot \alpha_n)

dove \dot \alpha_1, \dot \alpha_2, ..., \dot \alpha_n sono le radici degli n polinomi successivi, quindi anche del polinomio originario.

Si può dimostrare l'esistenza di una radice in questo modo

Una qualsiasi relazione \dot w = f\left( {\dot z} \right) fornisce una corrispondenza tra due piani.

ad ogni punto nel piano z corrisponde un punto nel piano w; ad ogni linea chiusa sul piano z corrisponde una linea chiusa su w
Se f(z) è un polinomio di grado n con a_n \ne 0 all'origine (0,0) su \dot z, cioè a \dot z=0, corrisponderà sul piano w il punto individuato dal numero complesso an, sarà cioè \dot w(0)=a_n
Ci sarà su z un intorno circolare dell'origine cui corrisponde un intorno su w di an che non contiene l'origine
Possiamo scrivere
\dot w = {a_0}{{\dot z}^n}\left[ {1 + \left( {\frac{{{a_1}}}{{{a_0}\dot z}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_0}{{\dot z}^2}}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{a_0}{{\dot z}^n}}}} \right)} \right]
Facendo crescere \dot z ad arbitrio, l'espressione tra parentesi tonda diventa piccola a piacere. Supponiamo che il suo modulo sia inferiore a k. Il valore tra parentesi quadra è superiore a k per cui possiamo affermare che
\left| {\dot w} \right| > \left| {{a_0}} \right| \cdot \left| {{{\dot z}^n}} \right| \cdot k
La precedente espressione ci dice che il modulo della \dot w = f(\dot z) si mantiene maggiore di un numero grande a piacere. Quindi sul piano z si può trovare un cerchio di raggio pari al modulo di \dot z sufficientemente grande cui corrisponde su w una curva che delimita un intorno di an che comprende l'origine. Variando \dot z con continuità ce ne sarà in w che passa proprio per l'origine del piano w, ciè esiste un valore di \dot z = \dot \alpha tale per cui f(\dot \alpha)=\dot w(\dot \alpha)=0. Ciò significa che l'equazione f(\dot z)=0 ha almeno una radice.

Osservazioni

La periodicità della funzioni esponenziali e del logaritmo, la molteplicità delle radici devono indurre a molta attenzione. Per salvare almeno una espressione di questo tipo
\sqrt[n]{{{{\dot z}_1}}} \cdot \sqrt[n]{{{{\dot z}_2}}} = \sqrt[n]{{{{\dot z}_1} \cdot {{\dot z}_2}}} si deve dire che tutti i possibili valori del primo fattore moltiplicati per tutti i possibili valori del secondo fattore, danno tutti i possibili valori del secondo membro. In caso contrario si arriva a conclusioni assurde

Esempi

Scrivere ad esempio
\begin{array}{l}
\sqrt { - 4}  \times \sqrt { - 9}  = \sqrt {\left( { - 4} \right) \times \left( { - 9} \right)}  = 6\\
{\rm{j}}\sqrt 4  \times {\rm{j}}\sqrt 9  =  - 6
\end{array}
porta all'assurdo che 6 = − 6!
Se però teniamo presenti tutti i valori otteniamo
\begin{array}{l}
{\rm{j2}} \times {\rm{j3}} =  - 6\\
 - {\rm{j2}} \times {\rm{j3 =  + 6}}\\
{\rm{j2}} \times \left( { - {\rm{j3}}} \right) =  + 6\\
 - {\rm{j2}} \times \left( { - {\rm{j3}}} \right) =  - 6
\end{array}
+ 6 − 6 sono infatti entrambe radici quadre di 36 mentre j2, − j2,j3, − j3 sono rispettivamente le due radici di \sqrt { - 4}  \, , \sqrt { - 9}
L'equivoco, volendo, si può avere anche in campo reale se teniamo presente che dovremmo scrivere \sqrt{9}=\pm 3 e \sqrt{4}=\pm 2 per cui potremmo anche scrivere oltre a \sqrt{9} \times \sqrt{4}=3 \times 2= 6 anche \sqrt{9} \times \sqrt{4}=-3 \times (-2)= 6 e \sqrt{9} \times \sqrt{4}=3 \times (-2)= -3 \times 2=-6 . Ma qui conveniamo di considerare che il simbolo di radice \sqrt{} si riferisca sempre al valore positivo. Quindi in pratica eseguiamo sempre la prima espressione. Nelle operazioni in campo complesso però, possiamo senza accorgercene usare l'una o l'altra delle due radici, arrivando a situazioni assurde.
In definitiva con le necessarie cautele e precisazioni si può anche usare il simbolo di radice in campo complesso. Ma nasconde troppe insidie e forse è meglio non considerarlo cominciando proprio con lo scrivere \text{j} \ne \sqrt{-1}

Curiosità

Si ha

\dot z^{\dot w}=e^{\log({\dot z^{\dot w}})}=e^{\dot w \log \dot z}
esempio
\begin{array}{l}
{{\rm{j}}^{\rm{j}}} = e^{\text{j}\log{\text{j}}}={{{e^{ \text{j} \cdot {\rm{j}}\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right)}}}} = {e^{ - \left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right)}}\\
k = 0\\
{{\rm{j}}^{\rm{j}}} = {e^{ - \frac{\pi }{2}}} = 0,207879...\\
k = 1\\
{{\rm{j}}^{\rm{j}}} = {e^{ - \frac{5}{2}\pi }} = 0,0003882...\\
....
\end{array}
quello che sembrerebbe il più immaginario dei numeri è un numero reale ( o meglio sono infiniti reali)

Una definizione di pigreco potrebbe essere
\begin{array}{l}
\log ( - 1) = {\rm{j}}\pi \left( {2k + 1} \right)\\
k = 0\\
\log ( - 1) = {\rm{j}}\pi \\
\pi  = \frac{{\log ( - 1)}}{{\rm{j}}}=-\text{j} \log(-1)
\end{array}

Conclusione

L'argomento mi ha un po' preso la mano, senza peraltro riuscire ad illustrare altre proprietà interessanti come la convergenza delle serie di potenze; o la configurazione di Mandelbrot che vi è collegata e non ho, in pratica risposto, al quesito posto nel forum sulla corrispondenza tra complessi e mondo fisico. Magari ci tenterò un un successivo articolo, cercando di comprendere il contenuto di altri capitoli del libro di Roger Penrose. Mi sono chiesto del perché ci sia la necessità di trovare tale connessione. Ciò che in realtà desta meraviglia è che le invenzioni matematiche, e le conseguenze apparentemente astratte cui esse conducono, risultino ad un certo punto utili per interpretare il modo fisico costruendone un modello in grado di prevederne i fenomeni che si verificano.
Riporto comunque le anticipazioni di Penrose.
In effetti mentre sembra che gli altri numeri, naturali e reali, abbiano radici nel modo fisico (contare gli oggetti: numeri naturali; misurare le distanze: numeri reali), non si riesce ad afferrare se ne esistano anche per i complessi. Si scoprirà tuttavia che i numeri complessi, come i reali, e perfino di più, trovino un'unità con la natura che è veramente rimarchevole. E' come se la stessa Natura fosse tanto impressionata quanto lo siamo noi dal campo d'azione e dalla coerenza del sistema dei numeri complessi ed avesse affidato a questi numeri il preciso funzionamento, sulle più piccole scale, del suo mondo.
Non so se ai tempi dell'università i numeri complessi io mi fossi chiesto se esistesse una corrispondenza con il mondo fisico. So che mi avevano affascinato come la scoperta di un nuovo mondo, un mondo che si nascondeva dietro la barriera della radice quadrata di numeri negativi, abbattuta la quale è stato come entrare in un parco ricco di attrazioni.
Rifiutare allora l'identità [1a] ha, come detto, ragioni matematiche inconfutabili, ma non può essere dimenticata ed ignorata perché rimane ancora, se non altro, l'insegna dell'ingresso nel mondo magico dei numeri complessi.

Bibliografia e link

Appunti dalle lezioni di Ubaldo Richard - 1968!

Lezione n. 35 del 22 marzo 1968 di Ubaldo Richard - Università di Padova

Lezione n. 35 del 22 marzo 1968 di Ubaldo Richard - Università di Padova

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Commenti e note

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Grazie anche a te, esisnc, in particolare per l'aggettivo che hai voluto attribuire ai miei ex studenti.
I miei articoli didattici sono in gran parte originati dalle lezioni che tenevo, ma forse è meglio dire, che avrei voluto tenere. Scrivere un articolo è una cosa, fare una lezione è un'altra ed io non avevo un carisma tale da coinvolgere veramente tutti.

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E' sempre un piacere leggere i tuoi articoli : si vede che sono scritti per trasmettere conoscenza. I tuoi allievi sono stati fortunati.

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Che incredibile ordine che hai nei tuoi appunti. Se guardassi i miei penseresti che si tratti di un qualche tipo nascosto di arte impressionista. Ps: complimenti :)

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Grazie 6367 del passaggio e della considerazione positiva, ma, soprattutto, grazie per gli ulteriori spunti di indagine che hai offerto ai visitatori, e magari a qualche matematico superiore al sottoscritto (non ci vuole molto) per qualche articolo veramente magico! ;-)

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Che bell’articolo! Scoprii i numeri complessi al primo anni del Liceo Scientifico, fu uno degli argomenti che mi fece innamorare della matematica. Allora, erano lo strumento per risolvere e discutere le equazioni algebriche, di secondo grado e poche altre di grado superiore. Quel poco che si trovava sul libro di testo e veniva spiegato a lezione non mi bastava. La professoressa aveva detto che il campo dei numeri complessi è chiuso rispetto all’estrazione di radice, ma non ci aveva spiegato come e perché! Io volevo – per esempio – calcolare la radice di i e a lezione non poteva spiegarcelo! Allora non esisteva internet e le biblioteche scientifiche non erano di facile accesso. Dopo numerosi tentativi, mi venne in soccorso il libretto “Calcolo sublime” di Garnier con le formule di De Moivre che mi permisero di trovare la soluzione. La mia scoperta successiva furono il teorema fondamentale dell’algebra e le formule risolutive delle equazioni algebriche di terzo a quarto grado perché oltre non ci sono. Argomento questo - non so perché – poco trattato anche nei corsi universitari (conosco laureati in matematica che non le hanno mai affrontate). I numeri complessi li ritrovai poi al Politecnico, soprattutto sui testi del grande Luigi Amerio, che sfociavano poi nella vasta teoria delle funzioni analitiche di Analisi III la cui utilità pratica si traduce nella celebre frase di Hadamard: «Il percorso più breve tra due verità nel dominio reale passa per il dominio complesso». L’Amerio, poi, accennava ai sistemi ipercomplessi (es. quaternioni di Hamilton e ottetti di Cayley) spiegando però che queste ulteriori generalizzazioni facevano perdere le proprietà elementari.

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