L' articolo

è un invito alla piacevole (per me almeno) lettura di un bel libro di Mario Livio, astrofisico, su uno dei numeri più illustri della matematica: la sezione aurea, detto anche divina proporzione, dal titolo del trattato di frà Luca Pacioli che, a cavallo dei secoli XV e XVI, contribuì a diffondere le applicazioni del numero già "inventato" da Euclide quasi duemila anni prima.

La sezione aurea - Mario Livio - ed Rizzoli

Luca Pacioli (Jacopo de Barbari)

Gli strumenti matematici sono fondamentali nella scienza e nella tecnica. Scoprire nella matematica una bellezza che, fin dall'antichità, si fonde con la sua rigorosa precisione, ha un fascino che dovrebbe avvicinare tutti a questa disciplina. Livio in realtà preferisce evitare il concetto di bellezza, che risulta non definibile, quindi ambiguo, ma piuttosto di piacevole sorpresa.

Alla rilettura del libro mi ha indotto il bell'articolo Resistenze e simmetria di RenzoDF , quando mostra come la resistenza equivalente di una rete a scala di resistenze unitarie è proprio la divina proporzione: una piacevole sorpresa appunto.

Ecco dunque alcune semplici e piacevoli sorprese sul numero, riportate dal libro. Ce ne sono molte altre comunque, di più complessa analisi, ma Mario Livio le sa esporre con chiarezza e rigore.

Il numero: φ

Qual è quel numero positivo il cui quadrato è uguale al numero stesso aumentato dell'unità?

Traducendo in formula matematica le parole, si ha l'equazione di secondo grado

x² = x + 1 cioè x² − x − 1 = 0

Qual è quel numero positivo che, diminuito dell'unità, è uguale al suo inverso ?

Idem come nel caso precedente

liberando dal denominatore si ha x² − x − 1 = 0

Quanto vale la misura del segmento tale che il rapporto tra l'unità di misura e la misura della parte del segmento che eccede il segmento unitario è uguale alla misura del segmento stesso?

Indicata con x la misura, la frase precedente diventa matematicamente

da si ricava x² − x − 1 = 0

Quest'ultimo è in pratica il problema che si era posto Euclide: dividere un segmento (AC nel caso della figura precedente) secondo la proporzione estrema e media, trovare cioè il punto B tale che

I problemi enunciati sono diversi, ma danno tutti luogo alla stessa equazione di secondo grado la cui soluzione positiva, indicata con Φ, è il numero chiamato sezione aurea. E' il numero irrazionale

La seconda soluzione dell'equazione è negativa e vale

radici continue

La domanda che ci si fa è:

qual è il valore questa sequenza di infinite radici?

Si può rispondere alla domanda sfruttando la curiosa particolarità dell'infinita ripetizione che rende ogni porzione "identica" al tutto, come evidenziato dai rettangoli colorati.

Posto allora

elevando al quadrato si ha

quindi, per la particolarità detta

1 + x = x²

Ancora la stessa equazione dunque. Il numero cercato è Φ

frazioni continue

La domanda è ovviamente:

qual è il valore di questa frazione continua?

Anche qui notiamo la particolarità, evidenziata dai rettangoli colorati, che la parte è "identica" graficamente al tutto, nel senso che non siamo ad esempio in grado di dire, scritta la frazione, se siamo all'inizio o in mezzo e si potrebbe continuare ad allargare la formula sia procedendo verso destra che procedendo verso sinistra.

Allora si può porre

cioè

la stessa equazione dunque. Anche la frazione continua ha come valore la sezione aurea.

figure auree

triangolo

E' un triangolo isoscele i cui angoli alla base sono di 72°. La bisettrice dell'angolo alla base interseca il lato obliquo opposto in un punto che lo divide secondo la media ed estrema proporzione. Il triangolo di partenza CAB è simile al triangolo MCB, (il quale dunque è pure aureo, con CM = CB) ed il triangolo CMA è isoscele, con CM = AM.

Quindi poiché triangoli simili hanno i lati corrispondenti proporzionali si ha:

pentagono

Partendo dal triangolo aureo si può costruire il pentagono regolare. Basta disegnare un nuovo triangolo aureo identico a quello di partenza verticale con il lato obliquo che sta sulla bisettrice dell'angolo alla base del triangolo originario. Unendo i cinque vertici distinti dei due triangoli si ha il pentagono regolare.

Le diagonali del pentagono, che sono i lati obliqui dei due triangoli aurei, formano una stella a cinque punte. La figura centrale della stella è di nuovo un pentagono regolare. Dentro di essa si può ridisegnare una stella a cinque punte, dentro cui c'è un nuovo pentagono regolare. E' evidente che si può teoricamente procedere all'infinito. Anche in questo caso si può dire che la parte è "identica" al tutto nel senso che disegnata una figura non si può capire a quale livello di dimensioni siamo. Tale struttura è detta auto-similitudine.

Questa situazione di indistinguibilità della parte con il tutto è legata ancora a Φ che è il rapporto tra la diagonale del pentagono ed il suo lato.

rettangolo

E' ritenuto il rettangolo esteticamente più bello. Ma il bello è un concetto non definibile. Mario Livio propone un test per indurre il lettore alla verifica. Qui lo ripropongo. Indicare quale si ritiene il rettangolo più bello tra quelli mostrati in figura

I lettori possono eventualmente, indicare nei commenti all'articolo a quale riga e colonna appartiene il rettangolo scelto.

Il rettangolo aureo ha i lati il cui rapporto è Φ

Più bello o meno che sia, ecco una curiosa particolarità di tale rettangolo detta

l'occhio di Dio

L'occhio di Dio

Se si costruisce un rettangolo aureo ad esempio l₀ = 1 ed L₀ = Φ, e si sottrarre da esso un quadrato di lato pari al lato più corto, si ottiene un nuovo rettangolo aureo di lati L₁ = 1 ed l₁ = Φ − 1. Il procedimento si può iterare all'infinito ottenendo rettangoli i cui lati si susseguono secondo la seguente tabella.

n	L	l
0	Φ	1	Φ
1	1	Φ − 1	Φ
2	Φ − 1	2 − Φ	Φ
3	2 − Φ	2Φ − 3	Φ
4	2Φ − 3	5 − 3Φ	Φ
5	5 − 3Φ	5Φ − 8	Φ
6	5Φ − 8	13 − 8Φ	Φ

Fibonacci

Se osserviamo i coefficienti delle espressioni che, tramite Φ, danno la lunghezza dei rettangoli successivi dell'occhio di Dio, non possiamo fare a meno di osservare che essi sono i numeri della nota successione di Fibonacci

a partire dal terzo ogni termine è la somma dei due che lo precedono

F_i = F_{i − 2} + F_{i − 1}

Fibonacci nel XII secolo la inventò ragionando sull'incremento di una popolazione di conigli. Eppure essa cela misteriosamente la sezione aurea. Facendo infatti il rapporto tra un qualsiasi termine della successione e quello che la precede, si ottiene un valore che si avvicina sempre più a Φ quanto più si avanza nella successione. Si può cioè dire che

C'è dunque un sorprendente legame con Φ che diventa ancora più sorprendente con la formula che Philippe Marie Binet ricavò a metà del secolo XIX (già nota ad Eulero sembra), che dà il valore dell'ennesimo termine della successione di Fibonacci:

Frattali

Una delle caratteristiche di questa parte della matematica che si occupa di oggetti che hanno una dimensione fisica frazionaria, è l'autosimilitudine che le caratterizza. In pratica lo stesso concetto trovato con le stelle interne ai pentagoni, le frazioni continue, le radici continue. Immaginiamo di replicare all'infinito questa struttura

cioè un albero con due rami più corti del tronco lungo l (quindi f > 1), inclinati di 120° rispetto al tronco. Possiamo considerare i due rami come due nuovi tronchi ed aggiungervi, con lo stesso criterio altri due rami. Teoricamente si può procedere all'infinito. Ecco la figura che si ottiene se, ad esempio, f=2.

albero

Possiamo osservare che l'intero albero è uguale, strutturalmente, ad una sua parte e che, in mancanza di un riferimento, sarebbe impossibile distingue la porzione disegnata in rosso da quella azzurra o da tutto l'albero. E' l'auto-similitudine. Si intuisce che per un certo f < 2 le varie porzioni arriveranno a sovrapporsi. Si può dimostrare che il limite oltre il quale c'è sovrapposizione, è f = φ: sì, ancora lui! Forse c'era da sospettarlo, ma è comunque una piacevole sorpresa.

Conclusione

Le proprietà di φ illustrate sono, in un certo senso, ludiche. Riguardano oggetti e costruzioni mentali. Ma la strana potenza della matematica è che essa sembra il linguaggio in cui è scritto l'universo. E così la divina proporzione fa la sua apparizione anche nei modelli matematici di strutture fisiche reali. Tanto per citarne una, molte galassie hanno la forma della spirale logaritmica, un'altra entità matematica legata a φ.

Ma lo scopo dell'articolo era, come detto, recensire il libro, per cui concludo qui lasciando le ulteriori scoperte al piacere della lettura.