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Il pull-in negli attuatori capacitivi

A complemento di quanto descritto nell'articolo [1], voglio qui descrivere un fenomeno di instabilità che si verifica negli attuatori capacitivi: oltre a rappresentare un interessante esercizio di fisica (ehm, per due o tre lettori, diciamo), il fenomeno ha una certa rilevanza per la realizzazione degli attuatori capacitivi integrati [2]. Chi è matematicamente debole di cuore, dopo l'Introduzione, può saltare alle Conclusioni.


Indice

1 Introduzione

Un attuatore capacitivo è un condensatore che sfrutta la forza elettrostatica agente sulle armature per generare uno spostamento dipendente dalla tensione di comando applicata.

Si consideri allora un dispositivo costituito da due armature piane e parallele di area \ A, poste perpendicolarmente ad un generico asse \ z: un'armatura sia fissa, l'altra mobile nella direzione dell'asse \ z e solidale a una molla di richiamo di costante elastica \ k; il possibile moto oscillatorio dell'armatura mobile sia frenato da uno smorzatore viscoso (fig. 1).

Figura 1


Sia \ a la distanza tra le armature quando la tensione applicata all'attuatore è nulla e la molla è in posizione di riposo; in tale condizione, si scelgano l'origine e il verso dell'asse \ z in modo che le coordinate dell'armatura mobile e dell'armatura fissa siano rispettivamente \ z = 0 e \ z = a (fig. 1).

Supponendo le due armature immerse in aria (permettività relativa \ \epsilon_\text{r}\approx 1), esse formano un condensatore di capacità (trascurando gli effetti ai bordi)


\ C(z) \approx \frac{\epsilon_0 A}{a-z}\qquad\qquad\qquad (1)


dove \ \epsilon_0 è la costante elettrica. La precedente espressione può essere scritta in funzione del rapporto \ \zeta = z/a come


\ C(\zeta) \approx \frac{C_0}{1-\zeta}\qquad\qquad\qquad (2)


con \ C_0 = \epsilon_0 A/a; la grandezza \ 1-\zeta che compare a denominatore nella (2) rappresenta la separazione tra le armature normalizzata rispetto ad \ a.

Applicando all'attuatore una tensione di comando \ v, l'armatura mobile è attirata verso quella fissa dalla forza elettrostatica \ \boldsymbol{F}_\text{e}(v,z) = F_\text{e}(v,z)\boldsymbol{\hat{z}} con [1, eq. (9 bis)]


F_\text{e}(v,z) \approx \frac{\epsilon_0 A}{2(a-z)^2}v^2\qquad\qquad\qquad (3)


Anche questa espressione può essere scritta in funzione di \ \zeta:


\ F_\text{e}(v,\zeta) \approx \frac{F_0(v)}{(1-\zeta)^2}\qquad\qquad\qquad (4)


dove


\ F_0(v) = \frac{1}{2}v^2\frac{C_0}{a}\qquad\qquad\qquad (5)


è la forza tra le armature quando \ \zeta = 0.

La forza totale \ \boldsymbol{F}(v,\zeta) agente sull'armatura mobile è la somma della forza \ \boldsymbol{F}_\text{e}(v,\zeta) e della forza antagonista \ \boldsymbol{F}_\text{m}(\zeta) generata dalla molla; la componente \ z della forza totale è


\ F(v,\zeta) = F_\text{e}(v,\zeta) + F_\text{m}(\zeta)\approx \frac{F_0(v)}{(1-\zeta)^2}-ka\zeta\qquad\qquad\qquad (6)


dove \ F_\text{m}(\zeta) = -ka\zeta denota la componente \ z di \ \boldsymbol{F}_\text{m}(\zeta).

I punti di equilibrio del sistema sono le soluzioni (reali e con \ \zeta compreso tra 0 e 1) dell'equazione \ F(v,\zeta)=0. L'esistenza di eventuali punti di equilibrio e la loro stabilità verranno discusse nel prossimo paragrafo.


2 Punti di equilibrio

L'espressione (6) può essere normalizzata rispetto alla forza \ ka:


\ f(v,\zeta) = \frac{F(v,\zeta)}{ka} \approx \frac{f_0(v)}{(1-\zeta)^2}-\zeta\qquad\qquad\qquad (7)


con


\ f_0(v) = \frac{F_0(v)}{ka} = \frac{1}{2}v^2\frac{C_0}{ka^2}\geqslant 0\qquad\qquad\qquad (8)


Poiché le equazioni \ F(v,\zeta)=0 e \ f(v,\zeta)=0 hanno le stesse soluzioni, nel prosieguo ci si riferirà soltanto a quest'ultima. Il coefficiente \ f_0(v) che compare nella (7) rappresenta il rapporto tra i moduli della forza elettrostatica in \ \zeta = 0 e della forza antagonista in \ \zeta = 1; come si vedrà, esso è un parametro discriminante le soluzioni dell'equazione \ f(v,\zeta)=0.

Per \ \zeta\neq 1 l'equazione \ f(v,\zeta)=0 è equivalente a


f_0(v)-\zeta(1-\zeta)^2 = -\zeta^3+2\zeta^2-\zeta+f_0(v) = 0\qquad\qquad\qquad (9)


Per la regola dei segni di Cartesio, le radici1 reali e positive della (9) sono una o tre, e non ci sono soluzioni negative (questo esclude la possibilità di avere \ \zeta<0). Si osservi, allora, che il polinomio \ \zeta(1-\zeta)^2 comparente nella (9) ha un massimo relativo in \ \zeta = 1/3 e un minimo relativo in \ \zeta = 1; nel massimo tale funzione vale 4/27: in base alla precedente osservazione, se \ f_0(v)>4/27, l'equazione (9) non può avere radici reali comprese tra 0 e 1 (ha due radici complesse e una radice reale, maggiore di 1). In questo caso, l'attuatore non ha punti di equilibrio e l'armatura mobile collassa contro quella fissa (pull-in2); la tensione per cui \ f_0(v) = 4/27 è la tensione di pull-in


\ V_\text{PI} = \sqrt{\frac{8ka^2}{27C_0}}\qquad\qquad\qquad (10)


La forza normalizzata \ f(v,\zeta) [eq. (7)] può, quindi, essere più semplicemente espressa in funzione della tensione normalizzata \ \tilde{v} = v/V_\text{PI}:


\ f(\tilde{v},\zeta) \approx \frac{f_0(\tilde{v})}{(1-\zeta)^2}-\zeta\qquad\qquad\qquad (11)


con


\ f_0(\tilde{v}) = \frac{4}{27}\tilde{v}^2\qquad\qquad\qquad (12)


La figura 2 mostra il grafico delle due curve \ f_\text{m}(\zeta)=\zeta e \ f_\text{e}(\tilde{v},\zeta)=f_0(\tilde{v})/(1-\zeta)^2 per tre differenti valori di \ \tilde{v} e per \ \zeta\in(0,1): in tale intervallo, le eventuali intersezioni delle due curve sono soluzioni dell'equazione \ f(\tilde{v},\zeta)=0 e, pertanto, punti di equilibrio dell'attuatore. Per \ \tilde{v} > 1, in accordo con quanto visto sopra, non ci sono intersezioni. Per \ \tilde{v} = 1, c'è una sola intersezione in \ \zeta = 1/3 dove la (9) ha una radice doppia (la terza radice reale è, come prima, maggiore di 1). Per \ \tilde{v} < 1 ci sono, invece, ben due intersezioni (\ \zeta_1 e \ \zeta_2 nell'esempio di figura (2).


Figura 2

Figura 2


Al fine di valutare la stabilità dei punti di equilibrio per \ \tilde{v} < 1, osserviamo, innanzitutto, che i due punti sono uno minore e l'altro maggiore di 1/3 (fig. 2); assumiamo, senza perdere di generalità, \ \zeta_1<1/3 e \ \zeta_2 > 1/3. La stabilità di un generico punto di equilibrio \ \zeta_i può essere determinata analizzando il segno della derivata


\ f^\prime(\zeta_i) = \left.\frac{\partial f(\tilde{v},\zeta)}{\partial\zeta}\right|_{\zeta_i} = 2\frac{f_0(\tilde{v})}{(1-\zeta_i)^3}-1\qquad\qquad\qquad (13)


Se \ f^\prime(\zeta_i)<0 l'equilibrio è stabile: un piccolo spostamento \ \text{d}\zeta dell'armatura mobile dà infatti origine a una forza \ f^\prime(\zeta_i)\text{d}\zeta tendente a opporsi allo spostamento; viceversa, se \ f^\prime(\zeta_i)>0, un piccolo spostamento dall'equilibrio dà origine a una forza concorde con esso.

Poiché per entrambi i punti \ \zeta_i<1, moltiplicando la (13) per \ 1-\zeta_i<1 si ottiene una grandezza avente lo stesso segno di \ f^\prime(\zeta_i):


\ (1-\zeta_i)f^\prime(\zeta_i) = 2\frac{f_0(\tilde{v})}{(1-\zeta_i)^2}-(1-\zeta_i)\qquad\qquad\qquad (14)


È facile verificare che quest'ultima equazione è equivalente a


\begin{align}
  (1-\zeta_i)f^\prime(\zeta_i) &= 2\left[\frac{f_0(\tilde{v})}{(1-\zeta_i)^2}-\zeta_i\right]+3\zeta_i-1 && \\
  &= 2f(\tilde{v},\zeta_i)+3\zeta_i-1 &&\text{dalla (11)} \\
  &= 3\zeta_i-1 &&\text{visto che}\ f(\tilde{v},\zeta_i)=0
\end{align}


In conclusione \ f^\prime(\zeta_i)<0 se e solo se \ 3\zeta_i-1<0 (ossia \ \zeta_i < 1/3): l'unico punto di equilibrio stabile è allora \ \zeta_1 (si può anche vedere dalla fig. 2: come?).

Riassumendo, se si applica una tensione \ v all'attuatore capacitivo di figura 1 si possono avere due casi.

  1. Se \ v<V_\text{PI} (\tilde{v}<1), l'armatura mobile viene attirata verso il punto di equilibrio stabile con \ \zeta<1/3. La relazione tra la separazione normalizzata \ 1-\zeta e la tensione normalizzata \ \tilde{v} è illustrata nella figura 3 sotto. La distanza minima tra le armature raggiungibile prima del pull-in è \ 2a/3.
  2. Se \ v>V_\text{PI} (\tilde{v}>1), non ci sono punti di equilibrio stabile e l'attuatore collassa (pull-in).


Figura 3

Figura 3

3 Conclusioni

In un attuatore capacitivo, una molla è utilizzata per generare una forza antagonista che si opponga alla forza elettrostatica che agisce sull'armatura mobile. Applicando una tensione all'attuatore capacitivo, l'armatura mobile dovrebbe avvicinarsi all'armatura fissa fino a che la forza di richiamo non bilancia la forza elettrostatica. La forza elettrostatica, però, non rimane costante al variare della distanza tra le armature, anzi, a parità di tensione, aumenta a mano a mano che le due armature si avvicinano: la forza di richiamo generata dalla molla (supposta lineare) potrebbe allora non essere sufficiente per equilibrare la forza elettrostatica, e l'analisi svolta al paragrafo 2 ci dice che è proprio così. Se la tensione applicata all'attuatore supera un certo valore critico, la tensione di pull-in, la forza di richiamo non è sufficiente a bilanciare la forza elettrostatica e l'attuatore collassa.

Note

  1. La (9) è un'equazione algebrica di grado 3 risolvibile in forma chiusa con funzioni elementari. Tale soluzione è però un po' involuta; può essere preferibile, allora, risolvere la (9) con metodi numerici, e così è stato fatto per tracciare il grafico di figura 3.
  2. Il verbo inglese pull-in ha diversi significati; il più vicino al fenomeno qui analizzato è probabilmente quello di arrivare a una fermata (di un bus, di un treno ecc.).

Bibliografia

[1] DirtyDeeds, Forze elettrostatiche nei condensatori.

[2] S. D. Senturia, Microsystem Design, Springer, 2000.

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Commenti e note

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di ,

Un corto non è tanto un problema, ma il pull-in può danneggiare meccanicamente un attuatore. Questo tipo di attuatori possono essere utilizzati per realizzare trasduttori capacitivi (p.es. accelerometri) a bilanciamento di forza. Il riferimento [2], se non ricordo male, dovrebbe presentare anche questo tipo di applicazione.

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di ,

Addirittura potrebbero toccarsi le due armature? In caso di collasso dell'attuatore? Così andrebbero a creare un corto... P.S. Non sapevo neanche esistessero gli attuatori capacitivi :) Hai qualche link da consigliarmi per farsi un'idea delle applicazioni di questo tipo di attuatore? :)

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