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Piccola analisi di un "tastatore induttivo"

Questa analisi è un collage - con qualche aggiunta - di alcuni post scritti per una discussione nata nel forum su richiesta di MaxSplatter. E' una "piccola" analisi perché i) è basata su approssimazioni non sempre pienamente giustificabili, ii) è limitata a un particolare tipo di trasduttore e a un particolare integrato di condizionamento (l'AD598 della Analog Devices) e iii) non è supportata da risultati sperimentali (ma magari questi ce li fornirà MaxSplatter!). Nondimeno, penso che possa essere un'analisi interessante e che possa costituire una buona base per analisi più raffinate, soprattutto tenendo conto del fatto che non è sempre facile reperire materiale sull'argomento. Disclaimer: tocca sorbirsi un po' di matematica...

Indice

1. Introduzione

Un tastatore induttivo è, più correttamente, un trasduttore induttivo di spostamento lineare (l'aggettivo lineare qui fa riferimento al tipo di spostamento, non all'eventuale linearità del trasduttore). I trasduttori induttivi di spostamento possono essere grossolanamente suddivisi in due categorie.

  • Trasduttori a trasformatore variabile: sono costituiti da un avvolgimento primario e da due secondari, accoppiati da un nucleo ferromagnetico mobile. Il primario viene in genere alimentato con una tensione sinusoidale di frequenza opportuna. Il segnale di misura è la differenza delle tensioni dei due secondari: quando il nucleo mobile è al centro del trasduttore, le tensioni sui due secondari sono uguali e la loro differenza è nulla; viceversa, quando il nucleo non è al centro, la tensione di uno dei due secondari prevale sull'altra. Appartengono a questa categoria i Linear Voltage Differential Transformer (LVDT) e i Rotary Voltage Differential Transformer (RVDT). Una descrizione sufficientemente approfondita di questi dispositivi può essere trovata in [1].
  • Trasduttori a riluttanza variabile: sono dei partitori induttivi costituiti da due avvolgimenti connessi in serie, all'interno dei quali scorre un nucleo ferromagnetico mobile. L'induttanza dei due avvolgimenti e, quindi, il rapporto di partizione del partitore variano con la posizione del nucleo. Questo articolo è dedicato all'analisi di questo tipo di trasduttori.

2. Circuito base

Il trasduttore di spostamento a riluttanza variabile è costituito da due avvolgimenti al cui interno scorre un nucleo mobile. Tipicamente, i due avvolgimenti vengono alimentati con due tensioni sinusoidali in opposizione di fase e l'uscita viene collegata a una resistenza di carico di valore opportuno. Il segnale di uscita è un segnale sinusoidale modulato dallo spostamento del nucleo mobile. L'informazione sullo spostamento viene recuperata con un rivelatore sincrono. Il circuito equivalente che possiamo pensare è il seguente:

\ R_1 e \ R_2 sono le resistenze equivalenti degli avvolgimenti, e tengono conto sia della resistenza in continua che delle perdite alla frequenza di lavoro. \ L_1 e \ L_2 sono le induttanze dei due avvolgimenti e \ M è la mutua induttanza tra i due. \ R_\text{L} è la resistenza di carico e \ V_\text{L} è la tensione di uscita. \ E è la tensione di eccitazione, che supponiamo di pulsazione \ \omega. Supponiamo trascurabili le capacità interspira.

Per semplificare l'analisi del circuito possiamo trasformare il circuito di sopra nel seguente


Da questo circuito non è difficile dimostrare - un po' lungo e noioso, ma non difficile - che la tensione di uscita vale


V_\text{L} = \frac{R_\text{L}[R_2-R_1+\text{j}\omega(L_2-L_1)]}{D}\frac{E}{2}


dove


\begin{align}D = &R_1R_2+R_1R_\text{L}+R_2R_\text{L}\\
&+\text{j}\omega[R_\text{L}(L_1+L_2+2M)+L_1R_2+L_2R_1]-\omega^2(L_1L_2-M^2)
\end{align}


E' importante sottolineare che l'equazione sopra non rappresenta una funzione di trasferimento: la grandezza di ingresso di interesse qui è \ L_2-L_1 ed è supposta costante o lentamente variabile, mentre \ \omega è la pulsazione dell'eccitazione. Per fare una rivelazione sincrona è utile - non indispensabile, ma molto utile - che la tensione di uscita sia in fase con quella di eccitazione. Se R_1\approx R_2 (assunzione ragionevole), la condizione precedente è verificata se la somma dei termini reali al denominatore si annulla, cioè per


\ R_1R_2+R_1R_\text{L}+R_2R_\text{L}-\omega^2(L_1L_2-M^2) = 0


Ponendo \ R_1 = R_2 = R e k = M/\sqrt{L_1L_2}, otteniamo


\omega = \omega_\text{n} = \sqrt{\frac{R(R+2R_\text{L})}{L_1L_2-M^2}}=\sqrt{\frac{R(R+2R_\text{L})}{(1-k^2)L_1L_2}}\qquad\qquad (1)


\ f_\text{n}=\omega_\text{n}/(2\pi) è la frequenza alla quale la tensione di uscita è in fase con l'eccitazione per un particolare valore di \ R_\text{L}. Tipicamente, i costruttori suggeriscono nei datasheet dei valori per \ R_\text{L} e \ f_\text{n}. Alla pulsazione \ \omega_\text{n} la tensione di uscita vale


V_\text{L} =\frac{E}{2}\frac{R_\text{L}(L_2-L_1)}{R_\text{L}(L_1+L_2+2M)+R(L_1+L_2)}\qquad\qquad (2)


indipendente da \ \omega_\text{n}. Dall'espressione sopra si capisce il funzionamento del circuito: quando il nucleo è al centro, \ L_2 = L_1, e la tensione di uscita è nulla. Quando il nucleo si sposta la tensione di uscita aumenta proporzionalmente a \ L_2-L_1. In particolare, se \ L_2 > L_1, la tensione di uscita è in fase con l'eccitazione; viceversa, se \ L_2 < L_1, la tensione di uscita è in opposizione di fase rispetto all'eccitazione. La risposta rispetto a \ L_2 - L_1 è lineare se \ L_1+L_2 e \ M dipendono poco dalla posizione del nucleo.

Se assumiamo \ k^2\ll 1 e \ R\ll R_\text{L}, la \ (2) può essere approssimata come


V_\text{L}\approx \frac{E}{4}\frac{\Delta L}{L}\qquad\qquad (3)


con \ \Delta L = L_2-L_1 e \ L = (L_1+L_2+2M)/2. Nelle condizioni indicate, quindi, la tensione di uscita è proporzionale alla differenza relativa delle induttanze dei due avvolgimenti.

3. Circuito con AD598

L'AD598 (Analog Devices) è un integrato nato come condizionatore di segnale per gli LVDT. Con qualche accorgimento e a costo di accettare un peggioramento della linearità, l'AD598 può essere anche utilizzato per condizionare il segnale di un trasduttore di spostamento a riluttanza variabile. Il data sheet, alle figure 27 e 28 di pagina 15, suggerisce due circuiti per il condizionamento di questo tipo di trasduttori. Qui ci limiteremo ad analizzare il più semplice circuito di figura 28 - ché poi, già così, la cosa si fa lunga!

Rispetto al circuito analizzato nel precedente paragrafo, si possono notare le seguenti differenze:

  • Il trasduttore è eccitato da un solo generatore.
  • Il trasduttore lavora a vuoto, senza che l'uscita venga connessa a una resistenza di carico \ R_\text{L}. Ci sarebbe l'impedenza di ingresso dell'integrato, ma è di 200\,\text{k}\Omega (v. data sheet), e la approssimiamo come un circuito aperto.
  • Il trasduttore costituisce il lato di un ponte che ha come altro lato un partitore resistivo che divide per due la tensione di eccitazione. Le tensioni ai due lati del ponte sono portate agli ingressi dell'AD598, dove vengono raddrizzate e poi mediate. Dalla lettura del data sheet si deduce che il segnale di uscita dell'integrato è proporzionale al rapporto tra la differenza e la somma dei moduli dei segnali ai due lati del ponte.

Il circuito equivalente adatto all'analisi è allora il seguente

La tensione continua all'uscita dell'integrato può essere scritta come


\ v_\text{o} = K\frac{|V_\text{L}|-|E|/2}{|V_\text{L}|+|E|/2}\qquad\qquad (4)


Dal circuito sopra, si ha


\begin{align} V_\text{L} &= E\frac{R_2+\text{j}\omega(L_2+M)}{R_1+\text{j}\omega(L_1+M)+R_2+\text{j}\omega(L_2+M)} \\
&= E\frac{R_2+\text{j}\omega(L_2+M)}{R_1+R_2+\text{j}\omega(L_1+L_2+2M)} \\
&= \frac{E}{2}\frac{R_2-R_1+\text{j}\omega(L_2-L_1)}{R_1+R_2+\text{j}\omega(L_1+L_2+2M)}+\frac{E}{2}
\end{align}


Per semplificare un po' l'espressione, assumiamo \ R_1=R_2=R e, come prima, poniamo \ L = (L_1+L_2+2M)/2 e \ \Delta L = L_2-L_1. Con queste posizioni otteniamo


V_\text{L} = \frac{E}{4}\frac{\text{j}\omega\Delta L}{R+\text{j}\omega L}+\frac{E}{2} = \frac{E}{4}\frac{\text{j}\omega/\omega_1\Delta L/L}{1+\text{j}\omega/\omega_1}+\frac{E}{2}\qquad\qquad (5)


con \ \omega_1 = R/L. Per semplificare ancora un po', definiamo la pulsazione normalizzata \ \Omega = \omega/\omega_1. Sostituendo nella \ (5), si ha


V_\text{L} = \frac{E}{4}\frac{\text{j}\Omega}{1+\text{j}\Omega}\frac{\Delta L}{L}+\frac{E}{2} = \frac{E}{4}\frac{\text{j}\Omega+\Omega^2}{1+\Omega^2}\frac{\Delta L}{L}+\frac{E}{2}\qquad\qquad (6)


Al contrario di quanto accadeva nel circuito analizzato al paragrafo 2, per nessun valore di \ \Omega la \ V_\text{L} è in fase con \ E. Non c'è, quindi, una frequenza di lavoro più "conveniente".

Cominciamo però a considerare \ \Omega\ll 1. In questo caso, possiamo approssimare la \ V_\text{L} come


V_\text{L} \approx \frac{E}{2}\left(1+\frac{1}{2}\text{j}\Omega\frac{\Delta L}{L}+\frac{1}{2}\Omega^2\frac{\Delta L}{L}\right)\qquad\qquad (7)


da cui, al prim'ordine in \ \Delta L/L,


|V_\text{L}| \approx \frac{|E|}{2}\left(1+\frac{1}{2}\Omega^2\frac{\Delta L}{L}\right)\qquad\qquad (8)


e

|V_\text{L}| - \frac{|E|}{2} \approx \frac{|E|}{4}\Omega^2\frac{\Delta L}{L}\qquad\qquad (9)


Se confrontiamo questo risultato con quello approssimato dell'equazione \ (3) per il circuito precedente, vediamo che il segnale di uscita è minore di un fattore \ \Omega^2\ll 1. Quindi lavorare con \ \Omega < 1 proprio non conviene perché i) si perde di sensibilità, ii) la tensione di uscita dipende da \ \Omega ed è quindi sensibile alle sue variazioni e iii) non è difficile vedere che peggiora anche la linearità.

Assumiamo ora \ \Omega\gg 1. In questo caso, la tensione \ V_\text{L} può essere approssimata come


V_\text{L} \approx \frac{E}{2}\left(1+\frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}+\frac{1}{2}\frac{\text{j}}{\Omega}\frac{\Delta L}{L}\right)\qquad\qquad (10)


Poiché \ \Omega\gg 1, la tensione \ V_\text{L} è praticamente in fase con l'eccitazione \ E. Dalla \ (10), sempre al prim'ordine in \ \Delta L/L, si ottiene


|V_\text{L}| \approx \frac{|E|}{2}\left(1+\frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}\right)\qquad\qquad (11)


da cui, infine,


|V_\text{L}| - \frac{|E|}{2}\approx \frac{|E|}{4}\frac{\Delta L}{L}\qquad\qquad (12)


La tensione di uscita con \ \Omega\gg 1 è allora circa la stessa che si ottiene con il primo circuito lavorando alla frequenza consigliata dal costruttore del trasduttore.

All'inizio di questo paragrafo, accennavamo al fatto che, volendo utilizzare l'AD598 per questo tipo di trasduttore, era necessario accettare un peggioramento della linearità. Per comprendere meglio questo fatto, assumiamo ancora \ \Omega\gg 1 e utilizziamo la \ (10) per determinare la tensione di uscita \ v_\text{o} del circuito (v. eq. \ (4)) fino al terzo ordine in \ \Delta L/L. Questo calcolo può essere fatto agevolmente con un programma di analisi simbolica (p.es. Maxima), ottenendo


v_\text{o}/K\approx \frac{1}{4}\frac{\Delta L}{L}-\frac{1}{16}\left(1-\frac{1}{\Omega^2}\right)\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2+\frac{1}{64}\left(1-\frac{4}{\Omega^2}\right)\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^3\qquad\qquad (13)


Commenti:

  • L'esistenza di termini non lineari in \ \Delta L/L dipende dal metodo utilizzato dall'AD589 per il condizionamento.
  • I valori dei coefficienti dei termini non lineari dipendono da \ \Omega, grandezza tipicamente nota con scarsa approssimazione (come vedremo nel prossimo paragrafo): volendo correggere la non linearità del circuito di condizionamento (p.es. con una elaborazione a posteriori) senza introdurre errori eccessivi, è necessario che \ \Omega sia stabile e il più possibile grande. Purtroppo, però, \ \Omega non può essere troppo grande, perché oltre una certa frequenza diventano sempre più importanti gli effetti dei parametri parassiti non considerati in questa analisi. Inoltre, l'AD589 può lavorare solo fino a 20 kHz.
  • Non vale lavorare con \ \Omega=1 per tentare di eliminare il termine del secondo ordine in \ \Delta L/L: l'equazione \ (13), infatti, è stata derivata assumendo \ \Omega\gg 1.

4. Esempio di estrazione dei parametri da un data sheet

Nel precedente paragrafo abbiamo visto che per utilizzare al meglio l'AD589 conviene lavorare a una pulsazione normalizzata \ \Omega\gg 1, cioè con \ \omega\gg \omega_1. Ma quanto vale \ \omega_1 per un certo trasduttore? Come abbiamo visto, questo parametro dipende a sua volta dai parametri \ L_1, \ L_2, \ M e \ R, e la via migliore per determinarli sarebbe quella sperimentale. Tale via, però, non è semplice e richiede una strumentazione adeguata; in questo paragrafo, allora, cercheremo di stimare (con un'incertezza piuttosto elevata, purtroppo) \ L_1, \ L_2, \ M e \ R a partire dai dati disponibili nel data sheet di un trasduttore: faremo questo per un particolare trasduttore, il GT22 della TESA Technology, su cui MaxSplatter aveva chiesto informazioni e il cui data sheet può essere trovato qui.

Il data sheet fornisce i seguenti dati utili:

  • la frequenza di lavoro \ f_\text{n} a sfasamento nullo: \ f_\text{n}=13\,\text{kHz};
  • la resistenza di carico \ R_\text{L}: \ R_\text{L} = 2\,\text{k}\Omega;
  • il modulo della resistenza di ingresso \ Z_\text{i} alla frequenza \ f_\text{n}: \ |Z_\text{i}| = 1\,\text{k}\Omega;
  • il modulo della resistenza di uscita \ Z_\text{o} alla frequenza \ f_\text{n}: \ |Z_\text{o}| = 260\,\Omega.

Supponiamo che \ Z_\text{i} e \ Z_\text{o} siano state determinate con il tastatore al centro, in condizioni, cioè, di uscita nulla.

Nel data sheet troviamo anche lo schema di principio del trasduttore, qui di seguito riportato.

gt22_1.png

gt22_1.png

E qui nasce un problema: nello schema sono presenti due trimmer resistivi, non inclusi nel modello sviluppato al paragrafo 3. Purtroppo, ci tocca assumere che i trimmer siano di valore tale da poterne trascurare l'effetto sul modello: è un'assunzione piuttosto forte, e poco giustificabile, ma le specifiche disponibili nel data sheet non ci permettono di fare assunzioni migliori.

Con riferimento allo schema equivalente usato nel paragrafo 2, iniziamo allora a considerare l'impedenza d'ingresso in condizioni di uscita nulla:


\ Z_\text{i} = \left.\frac{E}{I_1}\right|_{V_\text{L}=0}


Quando l'uscita è nulla si ha \ L_1=L_2=L_0 e \ V_A = 0; quindi


I_1 = \frac{E/2}{R+\text{j}\omega_\text{n}L_0}


da cui


\ Z_\text{i} = 2(R+\text{j}\omega_\text{n}L_0)


Si ha


\ |Z_\text{i}|^2 = 4(R^2+\omega_\text{n}^2L_0^2)


ma


\omega_\text{n}^2 = \frac{R(R+2R_\text{L})}{(1-k^2)L_0^2}


Supponiamo \ k^2\ll 1 (vedremo alla fine se questa assunzione è giustificata), allora


\omega_\text{n}^2 L_0^2 \approx R(R+2R_\text{L})


che sostituita nell'equazione precedente dà


|Z_\text{i}|^2 \approx 8(R^2+RR_\text{L})


Questa è un'equazione di secondo grado in \ R: prendendo solo la soluzione positiva si ha


R\approx \frac{1}{4}\frac{|Z_\text{i}|^2}{R_\text{L}+\sqrt{R_\text{L}^2+|Z_\text{i}|^2/2}}


Sostituendo i valori si ottiene \ R\approx 61\,\Omega. A questo punto, dalla definizione di \ \omega_\text{n}, determiniamo \ L_0:


L_0 \approx \frac{\sqrt{R(R+2R_\text{L})}}{\omega_\text{n}}\approx 6{,}1\,\text{mH}


Ora utilizziamo l'impedenza di uscita \ Z_\text{o} per determinare \ k. Annullando i due generatori si vede che


Z_\text{o} = \frac{R+\text{j}\omega_\text{n}(L_0+M)}{2}-\text{j}\omega_\text{n}M


da cui, dopo qualche passaggio algebrico che ti risparmio, si ottiene


4|Z_\text{o}|^2 = R^2+\omega_\text{n}^2L_0^2(1-k)^2


Di qui si può ricavare \ k, tenendo conto che \ \omega_\text{n}^2L_0^2=R(R+2R_\text{L})


k = 1-\sqrt{\frac{4|Z_\text{o}|^2-R^2}{R(R+2R_\text{L})}}\approx -0{,}041


Quindi l'assunzione \ k^2\ll 1 è giustificata.

Dai dati appena trovati, possiamo ancora ricavare \ L = (1+k)L_0\approx 5{,}8\,\text{mH} e \ f_1 = \omega_1/2\pi = R/2\pi L\approx 1{,}7\,\text{kHz}. Poiché la massima frequenza a cui può lavorare l'AD589 è di 20 kHz, vediamo che il massimo valore di \ \Omega ottenibile è intorno alla decina (il che, tutto sommato, non è male).

Un ultimo dato che possiamo provare a stimare è il valore massimo del \ \Delta L/L su tutto l'intervallo di misura. Nelle condizioni di lavoro specificate dal costruttore è


\left|\frac{V_\text{L}}{E}\right|_\text{max}\approx \frac{1}{4}\left|\frac{\Delta L}{L}\right|_\text{max}


Secondo il data sheet, con uno spostamento massimo di 2 mm si ha


\left|\frac{V_\text{L}}{E}\right|_\text{max}\approx 73{,}75\,\text{mV/V/mm}\times 2\,\text{mm}\approx 0{,}148


da cui


\left|\frac{\Delta L}{L}\right|_\text{max}\approx 0{,}59


Mica poco! Questo significa che su tutto l'intervallo di misura la non linearità della caratteristica di risposta del circuito di condizionamento diventa piuttosto evidente.

Bibliografia

[1] R. Pallàs-Areny e J. G. Webster, "Sensors and signal conditioning", John Wiley & Sons, New York, 2001.

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