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Matrice Scattering di un'interfaccia in riflessione totale

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[1] Matrice Scattering di un'interfaccia in riflessione totale

Messaggioda Foto UtenteOSEShelp » 15 set 2017, 21:13

Ho alcuni dubbi riguardo alle proprietà della matrice di scattering rispetto al bilanciamento di potenza, e quindi alle proprietà generali della matrice stessa. Consideriamo una semplice matrice 2x2. Per mezzi privi di perdite, sappiamo che:

1. Il modulo del determinante deve essere unitario;

2. \mid{S_{11}}\mid^2 + \ {\mid{S_{21}}\mid}^2 = 1

3. \mid{S_{12}}\mid^2 + \ {\mid{S_{22}}\mid}^2 = 1

4. Se la struttura è reciproca, la matrice è simmetrica

Consideriamo una matrice di scattering di un'interfaccia tra due mezzi omogenei seminifinti, i cui indici di rifrazione sono n_1 a sinistra e n_2 a destra, con n_2<n_1, in modo che si possa avere riflessione totale.
La matrice di questa struttura risulta:

\left(\begin{array}{@{}ccc@{}}
                    r_{12} & (1+r_{12})\sqrt{\frac{Z_{\infty 1}}{Z_{\infty 2}}}\\
                    (1+r_{21})\sqrt{\frac{Z_{\infty 2}}{Z_{\infty 1}}} & r_{21}\\
                  \end{array}\right) \\[15pt]

con r_{ij}=\frac{Z_{\infty j} - Z_{\infty i}}{Z_{\infty j} + Z_{\infty i}}, ossia i coefficienti di riflessione di Fresnel. Z_{\infty} rappresenta l'impedenza caratteristica del mezzo, TE o TM a seconda del caso.

I miei dubbi sono:

1. Ovviamente r_{12} = S_{11}. Notoriamente, con un angolo di incidenza superiore all'angolo critico, \mid r_{12}\mid = 1. Perciò, anche \mid S_{11}\mid^2 = 1. Però si ha che \mid S_{21} \mid ^2 \neq 0.

Come fanno quindi le proprietà 2 e 3 che ho elencato ad essere ancora valide?


2. Supponiamo che il determinante abbia modulo 1, come dovrebbe essere. Si avrebbe quindi:

\mid{S_{11}S_{22}}-{S_{12}S_{21}}\mid = 1

Sposto i piani di riferimento della matrice di una distanza d sulla destra dell'interfaccia, e la matrice diventa quindi:

\left(\begin{array}{@{}ccc@{}}
                    S_{11} & S_{12}e^{-jk_2d}\\
                    S_{21}e^{-jk_2d} & S_{22}e^{-2jk_2d}\\
                  \end{array}\right) \\[15pt]

con k_2 vettore d'onda nel mezzo 2. Data la riflessione totale, k_2 è puramente immaginario. Ricalcolando il determinante si ha:

\mid e^{-2jk_2d}{S_{11}S_{22}}-e^{-2jk_2d}{S_{12}S_{21}}\mid = 1

Scrivo k_2 come -j\mid k_2\mid e il determinante diventa:

e^{-2\mid k_2\mid d}\mid {S_{11}S_{22}}-{S_{12}S_{21}}\mid = 1

dentro al segno di modulo quadro c'è il determinante della matrice per il caso precedente, che avevamo supposto pari a 1, quindi rimane:

e^{-2\mid k_2\mid d}=1

che, se d \neq 0, non è soddisfatta. So che da qualche parte mi sono sbagliato, ma dove? Sospetto che sia un errore stupido, ma non riesco proprio a trovarlo.

P.S. Non sono sicuro che la categoria giusta sia questa, ero indeciso tra telecomunicazioni e fisica generale. Mi scuso se mi sono sbagliato.

Grazie a tutti.
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[2] Re: Matrice Scattering di un'interfaccia in riflessione tota

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 16 set 2017, 12:02

Di tutta questa roba non ricordo piu` nulla :(, ma provo a segnalare dove guarderei io se avessi questo problema.

In caso di riflessione totale, l'onda riflessa porta tutta la potenza incidente, mentre dall'altra parte dell'interfaccia c'e` un'onda evanescente che non porta potenza, quindi il bilancio energetico e` salvo. L'impedenza caratterstica del secondo mezzo, oltre l'angolo critico, diventa immaginaria pura, ma non ricordo come questo influisce sui vari termini S. Il coefficiente di propagazione k diventa immaginario, e potrebbe darsi che la matrice che hai indicato si applichi solo al caso di due mezzi con impedenze caratteristiche reali.

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[3] Re: Matrice Scattering di un'interfaccia in riflessione tota

Messaggioda Foto UtenteOSEShelp » 16 set 2017, 14:15

Effettivamente, i problemi sorgono proprio appena l'impedenza di uno dei due mezzi diventa immaginaria, altrimenti non ci sono problemi. Approfondendo la questione, le proprietà della matrice di scattering vengono derivate considerando come potenza:

\mid a_i \mid ^2 - \mid b_i \mid ^2

per ciascuna porta. Queste potenze vengono eguagliate tra le due porte, e con qualche passaggio algebrico si ottiene che la matrice deve essere unitaria. L'espressione riportata però rappresenta la potenza reale nell'ipotesi che l'impedenza sia reale. Quindi effettivamente venendo a cadere questa ipotesi dovrebbe cadere anche tutta la dimostrazione dell'unitarietà della matrice. Questo a me basterebbe, vorrei solo che qualcuno mi confermasse questa mia ipotesi, perché non ho mai sentito dire che le proprietà valgono per mezzi con impedenze reali; l'unica condizione richiesta era che i mezzi non avessero perdite.
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[4] Re: Matrice Scattering di un'interfaccia in riflessione tota

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 20 ott 2017, 23:30

L'OP si sara` dimenticato, ma sono finito su questo articolo:

D.A.Frickey, "Conversions Between S, X, Y , h, ABCD, and T Parameters which are Valid for Complex Source and Load Impedances", IEEE TRANSACTIONS ON MICROWAVE THEORY AND TECHNIQUES. VOL 42, NO 2. FEBRUARY 1994, p. 205-211 che forse gli potrebbe essere utile.
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