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[41] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 9 ott 2017, 20:43

Ianero ha scritto:Si poteva fare meglio?


:mrgreen:

Ianero ha scritto:Allora definisco la seguente relazione:
P(x) \succ Q(x) \Leftrightarrow P(x)-Q(x) \succ 0 \Leftrightarrow a_{\max \left \{ n,m \right \}} > b_{\max \left \{ n,m \right \}}


L'ultimo pezzo non serve. Definisci

P(x) \succ Q(x) \Leftrightarrow P(x)-Q(x) \succ 0

Poi

1) Ok
2) Non serve
3) Transitività

Sia P(x) \succ Q(x) e Q(x) \succ R(x). Si ha

P(x)-R(x) = P(x)-Q(x) + Q(x)-R(x)

Ma per ipotesi P(x) - Q(x)\succ 0 e Q(x) - R(x)\succ 0 e i due coefficienti di ordine massimo di P(x)-Q(x) e Q(x)-R(x) saranno positivi. Di conseguenza, se le due differenze P(x)-Q(x) e Q(x)-R(x) sono dello stesso ordine, anche la somma P(x)-Q(x) + Q(x)-R(x) avrà coefficiente di ordine massimo positivo. Viceversa, se le due differenze sono di ordine diverso, la somma P(x)-Q(x) + Q(x)-R(x) avrà il coefficiente di ordine maggiore uguale a quello della differenza di ordine maggiore, che è positivo. In entrambi i casi, quindi, P(x)-R(x) = P(x)-Q(x) + Q(x)-R(x)\succ 0 e P(x)\succ R(x).

4) La totalità è immediata perché se P(x) \neq Q(x) la differenza P(x) - Q(x) non è nulla.
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[42] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 ott 2017, 20:50

DirtyDeeds ha scritto::mrgreen:


Leggendo le tue soluzioni mi sento un idiota :^o

2) Non serve


Non capisco il motivo.. :(


Grazie!
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[43] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 9 ott 2017, 20:56

Ianero ha scritto:Non capisco il motivo..


Perché se valessero contemporaneamente P(x)\succ Q(x) e Q(x)\succ P(x), allora per la transitività si avrebbe P(x)\succ P(x), ma questo è già escluso dall'irriflessività.
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[44] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 ott 2017, 21:04

Thanks :ok: :ok: :ok:
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[45] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 ott 2017, 21:45

A 'sto punto seguendo le tue orme diventa facile anche dimostrare il successivo (che per come lo facevo io era un incubo), ossia ordinare l'insieme:

R\left( x \right)=\frac{a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}{b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}}

in modo tale che risulti R(x) \succ 0 \Leftrightarrow a_nb_m>0.

Definisco la relazione: R_1(x) \succ R_2(x) \Leftrightarrow R_1(x)-R_2(x) \succ 0.

1) Irriflessività: a_nb_m non è maggiore di sé stesso.
2) Transitività: se R_1(x) \succ R_2(x) e R_2(x) \succ R_3(x), allora R_1(x)-R_3(x)=R_1(x)-R_2(x)+R_2(x)-R_3(x)=Q_1(x)+Q_2(x)

dove Q_1(x)=R_1(x)-R_2(x) \succ 0 e Q_2(x)=R_2(x)-R_3(x) \succ 0.

Scrivo a questo punto Q_{1}\left( x \right)=\frac{N_{1}\left( x \right)}{D_{1}\left( x \right)} e analogamente Q_{2}\left( x \right)=\frac{N_{2}\left( x \right)}{D_{2}\left( x \right)}, dove N_1(x) è un polinomio di grado n_1, N_2(x) di grado n_2, D_1(x) di grado m_1 e D_2(x) di grado m_2.
Allora ho che Q_1(x) \succ 0 \Rightarrow a_{n_1}b_{m_1}>0 e Q_2(x) \succ 0 \Rightarrow a_{n_2}b_{m_2}>0

Quindi:

R_1(x)-R_3(x)=Q_1(x)+Q_2(x)=\frac{ \overbrace{N_1(x)D_2(x)}^{ \text{grado} \; n_1+m_2} +\overbrace{N_2(x)D_1(x)}^{ \text{grado} \; n_2+m_1} }{  \underbrace{D_{1}( x )D_{2}( x )}_{ \text{grado} \; m_1+m_2}  }

I casi sono 3:

n_1+m_2=n_2+m_1 \Rightarrow Q_{1}\left( x \right)+Q_{2}\left( x \right)=\frac{...+\left( a_{n_{1}}b_{m_{2}}+a_{n_{2}}b_{m_{1}} \right)x^{n_{1}+m_{2}}}{...+\left( b_{m_{1}}b_{m_{2}} \right)x^{m_{1}+m_{2}}} \succ 0 poiché a_{n_{1}}b_{m_{1}}b_{m_{2}}^{2}+a_{n_{2}}b_{m_{2}}b_{m_{1}}^{2}>0;


n_1+m_2>n_2+m_1 \Rightarrow Q_{1}\left( x \right)+Q_{2}\left( x \right) \succ 0 poiché a_{n_{1}}b_{m_{1}}b_{m_{2}}^{2}>0;


n_1+m_2<n_2+m_1 \Rightarrow Q_{1}\left( x \right)+Q_{2}\left( x \right) \succ 0 poiché a_{n_{2}}b_{m_{2}}b_{m_{1}}^{2}>0;

3) Totalità: come prima, la differenza tra due polinomi fratti è non nulla se per ipotesi i due polinomi fratti sono diversi.


E' giusto?
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[46] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 14 ott 2017, 8:27

Non ho ancora avuto tempo di leggere bene l'ultimo messaggio, ma a proposito di affinare il linguaggio, consiglio la lettura di questo articoletto di Terry Tao, un matematico piuttosto famoso vincitore della Fields Medal.
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[47] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 14 ott 2017, 9:05

DirtyDeeds ha scritto:Terry Tao, un matematico piuttosto famoso


piuttosto? :shock:
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[48] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 14 ott 2017, 9:26

Dici che non lo sia? :-P
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[49] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 14 ott 2017, 9:28

:D :D :D :D
Piuttosto? No, direi di no... :D
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[50] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 14 ott 2017, 13:20

Grazie del link, dopo lo leggo :)
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