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[71] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 apr 2018, 9:03

Comunque ho capito il problema...

La risposta è che non c'è nessuna contraddizione (ovviamente) e non rappresenta nessun problema il fatto che 0,999...=1 (la dimostrazione sono quelle 2 uguaglianze in fila in [66]).

Nonostante questo, 0,999... non è una espressione (l'espressione, per la precisione) q-aria di 1 \in \mathbb{R}^+. Il motivo è che una espressione, per essere definita q-aria di un numero x \in \mathbb{R}^+ deve soddisfare la disuguaglianza:

\sum_{k=0}^{n}\alpha _{p-k} q^{p-k}=r_n \leq x < r_n+q^{p-n}\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\}.

Solo per le espressioni che sono q-arie vale che c'è una corrispondenza biunivoca successione di digits \leftrightarrow x \in \mathbb{R}^+ e che non possono essere composte sempre da \left \lceil q-1 \right \rceil da un certo indice in poi.
Per le espressioni del tipo \sum_{k=0}^{n}\alpha _{p-k} q^{p-k} che non sono invece q-arie, cioè non hanno la proprietàr_n \leq x < r_n+q^{p-n}\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\}, può succedere qualunque cosa, come ad esempio fa vedere 0,999....

In altre parole l'espressione 10-aria di 1 è \alpha_0 = 1, \alpha_{-k}=0 \; \forall k \in \mathbb{N}. Poi, esiste un'altra successione del tipo \sum_{k=0}^{n}\alpha _{p-k} q^{p-k} che converge ugualmente a 1. Ma questa non è q-aria, e allora non mi interessa e non gode delle proprietà di cui godono queste ultime.

Se avete tempo mi aiuterebbe una conferma, per favore :-)
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[72] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 apr 2018, 10:41

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[73] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 apr 2018, 11:20

\O-< ^_^
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[74] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 7 apr 2018, 0:02

Tornando a questo (da cui tutto è partito):

A pagina 104 - Sec. 3.1.5 - Problema 1 (sempre del solito libro) mi chiede di far vedere che un numero x \in \mathbb{R} è razionale se e solo se la sua espressione q-aria per qualunque base q è periodica da un certo indice in poi (cioè i digits si ripetono uguali a gruppi).


L'altra implicazione di cui non abbiamo parlato finora è:

x \in \mathbb{Q} \Rightarrow x ha espressione q-aria periodica per ogni base \mathbb{R} \ni q>1

sono personalmente riuscito a dimostrarla solo nel caso di base q naturale. Dopo un po' mi sono cominciati a sorgere dei dubbi sulla veridicità della cosa anche con basi non naturali (perché già l'implicazione inversa nascondeva una mancanza di ipotesi simile). Ad ogni modo, il documento linkato in [62] da DD dà speranza, perché lì vengono calcolati alcuni razionali con base aurea \phi ed effettivamente l'espressione che ne viene fuori è periodica.

Su internet ho girato ma non ho trovato granché.
A voi risulta che questa cosa sia vera per qualunque base reale (sempre >1 ovviamente)?

PS: Se interessa posto la dimostrazione che ho fatto, emerge il perché sorgono problemi quando q non è naturale, solo che è un po' lunghetta e non vorrei spammare troppo. :mrgreen:
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[75] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 apr 2018, 7:20

Ianero ha scritto:Dopo un po' mi sono cominciati a sorgere dei dubbi sulla veridicità della cosa anche con basi non naturali (perché già l'implicazione inversa nascondeva una mancanza di ipotesi simile).

I dubbi erano fondati, la risposta infatti è no.
In sostanza mi ha chiesto di dimostrare una cosa falsa in entrambi i sensi, ma è stato comunque utile perché mi ha permesso di allargare il discorso e vedere dove e perché smetteva di valere.
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