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Dimostrare che un insieme è finito

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[21] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 4 set 2017, 23:37

In realtà mi sono accorto che si poteva fare in un attimo.

Basta supporre che per assurdo E_n sia infinito (nel senso di Dedekind) e far vedere che allora anche E_{n-1} lo è.
Poiché un insieme con un solo elemento è finito, allora nessun E_k è infinito.
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[22] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 4 set 2017, 23:55

Supponiamo di aver dimostrato il significato di funzione iniettiva, suriettiva e biettiva.
Prendiamo gli insiemi \mathbb{N} e \mathbb{Z}
Una funzione f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N} (per esempio l'identità, la funzione identica) è sicuramente suriettiva perché ad ogni elemento del codominio esiste almeno un elemento ne dominio. N è più "piccolo" di Z ...
Potrebbe non essere iniettiva. Lo è per \mathbb{Z}^{+} ma non per Z.
una funzione f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z} è sicuramente iniettiva perché per ad ogni elemento del dominio corrisponde un elemento del codominio. In questo caso il codominio ha più elementi del dominio perché ha anche "i numeri sottozero".
Beh, ce ne fremo una ragione. Non è biettiva? ... pazienza. :mrgreen:
f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} vale sempre, anche se l'insieme è infinito (pur avendo un minimo).
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[23] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 5 set 2017, 7:28

AjeieBrazov ha scritto:Supponiamo di aver dimostrato il significato di funzione iniettiva, suriettiva e biettiva.

Sono definizioni :)

N è più "piccolo" di Z ...

Dipende da cosa intendi per piccolo.
Quei due insiemi hanno stessa cardinalitá.

Per quanto riguarda il discorso sulle funzioni non va bene.
f la puoi definire come ti pare, niente ti garantisce l'iniettività a priori.
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[24] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 5 set 2017, 9:56

Beh, se definisco una funzione f:A\rightarrow B tale che
\forall a_{1},a_{2} \in A: a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})

E' iniettiva \Leftrightarrow \forall b\in B f^{-1}(b) contiene al massimo un elemento.
Supponiamo f iniettiva e sia b un elemento qualsiasi di B. Se b \notin \textup{Im}f allora f^{-1} = \varnothing
Se invece b \in \textup{Im}f ossia se b=f(a) per un qualche a \in A, allora per ogni a'\neq a si ha f(a')\neq f(a)=b e quindi f^{-1}(b) = \left \{ a \right \} continene solo un elemento.
Supponiamo ora che la controimmagine di ciasun elemento del codominio contenga al massimo un elemento; se a_{1},a_{2} sono elementi distinti di A, allora le loro immagini b_{1}=f(a_{1}) e b_{2}=f(a_{2}) sono distinte perché in caso contrario f^{-1}(b_{1}) conterrebbe più di un elemento.
Affinché sia anche suriettiva (e quindi biettiva) deve essere \textup{Im}f = B ossia \forall b \in B \exists (a\in A) tale che f(a) = b.

Ma se A \subset B e A\cap B \neq \varnothing non è iniettiva perché \exists (a' \in A) tale che f(a')\notin B. Quindi non è iniettiva ma solo suriettiva, e quindi non esiste corrispondenza biunivoca fra A e B
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[25] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 5 set 2017, 20:12

Ianero ha scritto:In realtà mi sono accorto che si poteva fare in un attimo.


Eh, non proprio ;-)

Ianero ha scritto:Basta supporre che per assurdo E_n sia infinito (nel senso di Dedekind) e far vedere che allora anche E_{n-1} lo è.
Poiché un insieme con un solo elemento è finito, allora nessun E_k è infinito.


Questo è un paralogismo ;-) In pratica hai assunto che E_n sia contemporaneamente finito ed infinito. Allora di lì puoi dimostrare qualunque proposizione.

No, la dimostrazione nella teoria degli insiemi non è così semplice.

Secondo me fai ancora degli errori di logica e dovresti cimentarti con dimostrazioni più semplici. Se vuoi provare a fare esercizi un po' più semplici (nota: nello Zorich si trovano anche esercizi decisamente non banali, da scuola russa diciamo, e agli inizi bisogna fare un po' di selezione).

Se vuoi, prova a fare qualcuno degli esercizi più semplici e a postare qui la soluzione, e io ti dico se va bene oppure no, così magari affini anche il linguaggio dimostrativo.
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[26] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto Utentesebago » 5 set 2017, 20:33

DirtyDeeds ha scritto:...esercizi decisamente non banali, da scuola russa...

una curiosità OT:
cos'ha la cosiddetta "scuola russa" da renderla così prestigiosa rispetto ad altre? e chi sono (o sono stati) i loro numi tutelari?
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[27] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 5 set 2017, 20:55

sebago ha scritto:cos'ha la cosiddetta "scuola russa" da renderla così prestigiosa rispetto ad altre?


Discorso lungo.

Oggi come oggi la "scuola russa" non è probabilmente più prestigiosa di altre, ma in passato ha prodotto matematici e fisici notevoli (un po' di nomi a caso: Arnol'd, Kolmogorov, Landau, Yaglom), e voci dicono che le selezioni fossero piuttosto dure (una ventina di anni fa mi fu sottoposto un problema di fisica che faceva parte del test di ingresso per la laurea in fisica all'università di Mosca. Il mio commento fu: "'sti cazzi!" Credo che molti laureati avrebbero avuto difficoltà a risolverlo, e lì ci si aspettava che fosse risolto da studenti alla fine delle superiori).

Conosco un fisico teorico che ha fatto il dottorato in Russia che mi ha raccontato alcuni aneddoti piuttosto gustosi sulla durezza della scuola russa.

La cosa curiosa è che negli anni della guerra fredda tutto il lavoro fatto da fisici e matematici russi rimaneva rinchiuso in oscure riviste russe che non arrivavano in occidente e che quando arrivavano ben pochi erano in grado di leggere. Quando c'è stata l'apertura si è scoperto che tantissimi risultati erano stati derivati indipendentemente sia di qua che di là della cortina di ferro, col risultato che a molti teoremi via via sono stati aggiunti i nomi dei matematici dell'Est.
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[28] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 5 set 2017, 23:00

Qualcuno potrebbe gentilmente dirmi se quello che ho scritto ha senso?
Ho colto l'occasione per ripassare un po'.
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[29] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 set 2017, 6:56

Questo è un paralogismo ;-) In pratica hai assunto che E_n sia contemporaneamente finito ed infinito. Allora di lì puoi dimostrare qualunque proposizione.


Questa non l'ho proprio capita, guidami un altro po' :(
Quando ho assunto che E_n sia finito?

Se vuoi, prova a fare qualcuno degli esercizi più semplici e a postare qui la soluzione, e io ti dico se va bene oppure no, così magari affini anche il linguaggio dimostrativo.


Con piacere, grazie mille.

Prima però possiamo finire di parlare di questo esercizio particolare?
[12] contiene errori (oltre il Lemma di cui abbiamo già parlato)?

Grazie ancora.
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[30] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto Utentesebago » 6 set 2017, 7:08

DirtyDeeds ha scritto:...molti laureati avrebbero avuto difficoltà a risolverlo, e lì ci si aspettava che fosse risolto da studenti alla fine delle superiori...

:shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock:
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