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Esercizio sul transitorio

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Esercizio sul transitorio

Messaggioda Foto Utenteetec83 » 27 lug 2009, 19:32

Stavo provando a risolvere il secondo esercizio di questa prova di esame di elettrotecnica II.

Immagine

Come ben si può ben vedere, vista la simbologia utilizzata si tratta di una prova del Politecnico di Milano!!! :mrgreen:
Comunque...dopo quasi un pomeriggio intero a fare tutti i conti a mano, anche perché mi si è rotta la calcolatrice che svolge i numeri complessi, ho trovato una vc(t) del genere:

vc(t) = 20 - \frac {73}{3} \ e^{-\frac{t}{2}} \left [cos \left(\frac{1}{2}\right)t + sen\left(\frac{1}{2}\right)t \right] V

Qualcuno mi può dire se è corretto il calcolo?
Purtroppo non ho ancora imparato ad utilizzare altri simulatori oltre a LTspice e non riesco a trovarmi il risultato. :mrgreen:

Grazie.
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[2] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 lug 2009, 19:51

Ri-posto l'es.

gg.png
gg.png (123.12 KiB) Osservato 5243 volte


Per t<0 la corrente iL raggiunge un valore a regime pari a iL(0-)=(20-10)/(5+1)=5/3 A

e di conseguenza la tensione sul condensatore vc(0-)=10+R*iL(0-)=10+1*5/3=35/3 V

la tensione vc(0) ricavabile dalla tua funzione dà invece vc(0)=20-73/3=-13/3 V e di conseguenza, a mio parere, errata.

Se spieghi il procedimento eseguito, ti possiamo aiutare a cercare l'errore.
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[3] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto Utenteetec83 » 27 lug 2009, 21:06

Ah cavolo è vero.
Allora mi sono ricavato applicando un taglio al ramo del condensatore e "facendo" la maglia dalla parte in cui si trova l'induttore le due equazioni:

\begin{cases} C\frac{dv_C(t)}{dt} + \frac{v_R1}{R1} - i_L = 0\\
L\frac{di_L}{dt} + v_C = Vs2&\end{cases}

ma nella prima:

v_R1 = v_C - Vs1

quindi:

\begin{cases} C\frac{dV_C(t)}{dt} + \frac{v_C}{R1} - iL = \frac{Vs1}{R1}\\
L\frac{di_L}{dt} + vC = Vs2&\end{cases}

Ho trasformato con Laplace, in quanto il testo chiede di utilizzare Laplace, tenendo conto delle condizioni iniziali che sono:

i_L(0^-) = \frac{5}{3}\ A e vC (0^-) = \frac{35}{3}\ V

\begin{cases} sCVc(s) + \frac{V_C(s)}{R1} - I_L(s) = \frac{Vs1}{sR1} + Cv_C(0^-)\\
sLI_L(s) + V_C(s) = Vs2(s) + L i_L(0^-)&\end{cases}

Dopodiché ho trasformato tutto in forma matriciale:

\begin{bmatrix} \left(sC + \frac{1}{R1} \right) & -1 \\ 

1 & sL\\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_c(s)\\ I_L(s)\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{Vs1}{sR1}+Cv_C(0^-)\\ Vs2(s)+Li_L(0^-)\\ \end{bmatrix}

Ora mi ricavo

\begin{bmatrix} V_c(s)\\ I_L(s)\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left(sC + \frac{1}{R1} \right) & -1 \\ 

1 & sL\\
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}\frac{Vs1}{sR1}+Cv_C(0^-)\\ Vs2(s)+Li_L(0^-)\\ \end{bmatrix}

da cui mi sono ricavato V_C(s)
Comunque ora ho appena visto che ho dimenticato in un prodotto la L...forse è questo l'errore.
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[4] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 lug 2009, 21:23

e Vs2/s

a proposito di simulatori, LTspice non ti permetterebbe di ottenere la funzione vc(t) ma solo la sua rappresentazione numerica

per poter ottenere una soluziona analitica devi usare programmi di calcolo simbolico come wxMaxima, Mathematica, Maple, Sage ecc.
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[5] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 lug 2009, 22:27

Aprofittiamo per un tutorial risolutivo con wxMaxima;
è conveniente allo scopo ottenere dal sistema una equazione differenziale del sec. ordine per iL(t) che indicheremo con i
a) definiamo l'equazione differenziale... riga (%i20)
b) risolviamo (%i21)
c) imponiamo le condizioni iniziali (%i22)
d) valutiamo per i particolari valori numerici (%i23) ottenendo iL(t)
e) otteniamo la tensione sul condensatore Vc(t) usando la seconda equazione del sistema, differenziando Vc(t) (%i25)
d) verifichiamo che i valori iL(0) e Vc(0) corrispondano ai valori di regime per t<0.

esz1.png
esz1.png (14.25 KiB) Osservato 5414 volte

esz2.png
esz2.png (8.34 KiB) Osservato 5415 volte


Quindi scrivendola in forma più compatta le funzioni del tempo cercate

i_{L}(t)=10-\frac{25}{3}\cdot e^{-\frac{t}{2}}\cdot \cos \left( \frac{t}{2} \right)

v_{c}(t)=20-\frac{25}{3}e^{-\frac{t}{2}}\left[ \sin \left( \frac{t}{2} \right)+\cos \left( \frac{t}{2} \right) \right]
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[6] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto Utenteetec83 » 27 lug 2009, 23:01

RenzoDF ha scritto:e Vs2/s


Sì sì, infatti avevo scritto Vs2(s).

RenzoDF ha scritto:a proposito di simulatori, LTspice non ti permetterebbe di ottenere la funzione vc(t) ma solo la sua rappresentazione numerica

per poter ottenere una soluziona analitica devi usare programmi di calcolo simbolico come wxMaxima, Mathematica, Maple, Sage ecc.


Eh dovrò decidermi ad imparare ad usarli.


RenzoDF ha scritto:Quindi scrivendola in forma più compatta

v_{c}(t)=20-\frac{25}{3}e^{-\frac{t}{2}}\left[ \sin \left( \frac{t}{2} \right)+\cos \left( \frac{t}{2} \right) \right]


Ok, ora la V_C(t) mi viene.
Avevo fatto un mega errore di calcolo.

Provo a trovarmi la i_L(t) ora.

EDIT:

Ok la i_L(t) vale

i_L(t) = 10 - \frac{25}{3}e^{-\frac{t}{2}} cos \left(\frac{t}{2}\right) A
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[7] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 28 lug 2009, 15:03

Per continuare con il tutorial, sfruttando la capacità di wxMaxima di usare le trasformate di Laplace

potremo alternativamente al primo metodo usare le seguenti istruzioni

zb.png
zb.png (75.08 KiB) Osservato 5293 volte


e ottenere i seguenti risultati

za.png
za.png (72.98 KiB) Osservato 5294 volte


e per plottarla basteranno un paio di righe di codice

qe.png
qe.png (9.57 KiB) Osservato 5143 volte


dal quale possiamo verificare che

v(0)=\frac{5}{3}\simeq 1,7\,V\,\,\,\,\,\,v(\infty )=20\,V\,\,\,\,\,\,i(0)=\frac{35}{3}\simeq 11,7\,A\,\,\,\,\,\,i(\infty )=10\,\,A\,\,\,
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[8] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 28 lug 2009, 21:02

Abbiamo visto come etc83, abbia risolto scrivendo un sistema con Kirchhoff;

un metodo alternativo, e di sicuro più rapido (dopo aver sostituito il circuito originale con la rete L-trasformata)

l1.png
l1.png (3.79 KiB) Osservato 5261 volte


sarebbe stato attraverso Millman, con

V(s)=\frac{\frac{V_{1s}}{s}\cdot \frac{1}{R}+Cv(0-)+\left( \frac{V_{2s}}{s}+Li(0-) \right)\cdot \frac{1}{sL}}{\frac{1}{R}+sC+\frac{1}{sL}}

che con i valori assegnati si semplifica

V(s)=\frac{\frac{10}{s}+\frac{35}{3}+\left( \frac{20}{s}+\frac{10}{3} \right)\cdot \frac{1}{2s}}{1+s+\frac{1}{2s}}=\frac{70s^{2}+70s+60}{3s(2s^{2}+2s+1)}

dalla quale antitrasformando, otterremo vc(t).
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[9] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 31 lug 2009, 22:31

Per non lasciare a metà l'esercizio, completiamo l'antitrasformazione.

Come noto a questo punto la strada non è unica, in quanto si possono ricercare diversi tipi di scomposizione, che portano chiaramente allo stesso risulato finale, ma attraverso strade di diversa complessità; ne considereremo due.

Come prima modalità cerchiamo di ottenere una scomposizione in "frazioni parziali " del tipo
V(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-s_{1}}+\frac{C}{s-s_{2}}

dove s_{1} e s_{2} sono le soluzioni del polinomio al denominatore di V(s), 2s^{2}+2s+1
nel nostro caso due radici complesse coniugate

s_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm j\frac{1}{2}

Per determinare A,B e C non useremo il metodo "normale", ma andremo a ricavarli da particolari valori della variabile s
scegliendoli in modo tale che la suddetta identità vada drasticamente a semplificarsi; ricaveremo delle relazioni fra i parametri incogniti attraverso un passaggio al limite ... un "Heaviside modificato"; la prima relazione anzi la troviamo proprio come
\underset{s\to 0}{\mathop{\lim }}\,sV(s)=\frac{70s^{2}+70s+60}{3(2s^{2}+2s+1)}=\frac{60}{3}=A+\frac{B}{\infty }+\frac{C}{\infty }=A

per la seconda useremo invece un valore di s che non è una radice del denominatore
\underset{s\to \infty }{\mathop{\lim }}\,sV(s)=\frac{70s^{2}+70s+60}{3(2s^{2}+2s+1)}=\frac{70}{6}=A+B+C

ed infine per la terza un valore s=-1
\underset{s\to -1}{\mathop{\lim }}\,V(s)=\frac{70s^{2}+70s+60}{3s(2s^{2}+2s+1)}=-\frac{60}{3}=\frac{A}{-1}+\frac{B}{-1-\left( -\frac{1}{2}+j\frac{1}{2} \right)}+\frac{C}{-1-\left( -\frac{1}{2}-j\frac{1}{2} \right)}

relazioni riassunte nel seguente sistema

\left\{ \begin{align}
  & A=20 \\ 
 & A+B+C=\frac{70}{6} \\ 
 & -A+\frac{2B}{-1-j}+\frac{C}{-1+j}=-20 \\ 
\end{align} \right.

che dà come soluzioni
A=20,\,\,\,\,\,\,B=-\frac{25}{6}(1+j),\,\,\,\,\,\,\,C=-\frac{25}{6}(1-j)

di conseguenza antitrasformando avremo
v(t)=20-\frac{25}{6}(1+j)e^{\left( -\frac{1}{2}+j\frac{1}{2} \right)t}-\frac{25}{6}(1-j)e^{\left( -\frac{1}{2}-j\frac{1}{2} \right)t}


v(t)=20-\frac{25}{6}e^{-\frac{t}{2}}\left[ (1+j)e^{j\frac{t}{2}}+(1-j)e^{-j\frac{t}{2}} \right]=

=20-\frac{25}{6}e^{-\frac{t}{2}}\left[ (1-j)\left( \cos \frac{t}{2}+j\sin \frac{t}{2} \right)+(1-j)\left( \cos \frac{t}{2}+j\sin \frac{t}{2} \right) \right]

e infine
v(t)=20-\frac{25}{3}e^{-\frac{t}{2}}\left( \cos \frac{t}{2}+\sin \frac{t}{2} \right)

Possiamo provare ora con un secondo metodo, ricercando una scomposizione del tipo

V(s)=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{2s^{2}+2s+1}

ottenendo rapidamente dalla solita identità

\left\{ \begin{align}
  & A+B=\frac{35}{3} \\ 
 & A+C=\frac{35}{3} \\ 
 & \frac{A}{2}=10 \\ 
\end{align} \right.

e quindi A=20,\,\,\,B=C=-\frac{25}{3}

sostituendo e cercando di trasformare al fine di ricondurre l'espressione a evidenziare due "trasformate notevoli"

\frac{Bs+C}{2s^{2}+2s+1}=-\frac{25}{3}\left( \frac{s+1}{s^{2}+s+\frac{1}{2}} \right)=-\frac{25}{3}\left( \frac{s+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{s^{2}+s+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} \right)=

e quindi

=-\frac{25}{3}\frac{\left( s+\frac{1}{2} \right)+\frac{1}{2}}{\left( s+\frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{1}{4}}=-\frac{25}{3}\left[ \frac{\left( s+\frac{1}{2} \right)}{\left( s+\frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{\frac{1}{2}}{\left( s+\frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{1}{4}} \right]

notiamo infatti, che le forme presenti nell'ultima "quadra" sono proprio le trasformate del prodotto esponenziale e coseno o seno; immediata a questo punto l'anti-trasformazione

-\frac{25}{3}\left( e^{-\frac{t}{2}}\cos \frac{t}{2}+e^{-\frac{t}{2}}\sin \frac{t}{2} \right)

che unita al termine costante (20) darà ancora il risultato finale ma con un percorso algebrico molto più breve :wink:

BTW per esercizi, sull'antitrasformazione vedere l'ebook GRATUITO del Prof. Paul Dawkins
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx

o direttamente online su http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... forms.aspx
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[10] Re: Eserczio sul transitorio

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 1 ago 2009, 10:44

Continuiamo per via numerica con LTspice

disegnamo la rete

q1.png
q1.png (7.94 KiB) Osservato 5116 volte


ricordandoci di imporre le condizioni iniziali nel condensatore, aggiungendo al valore della capacità un ic=v(0-) (nel nostro caso ic=11.667 nella finestra d'inserimento

q3.png
q3.png (9.52 KiB) Osservato 5113 volte


e così faremo anche per l'induttore;
Infine impostiamo il tipo di analisi, nel nostro caso transitorio con tempo finale a 12 s, ricordando di barrare la casella "Skip Initial operating point solutions" come da figura

q4.png
q4.png (20.15 KiB) Osservato 5112 volte


un "Run" e una successiva misura di tensione su C e di corrente su L, fornirà il seguente andamento temporale
q2.png
q2.png (8.94 KiB) Osservato 5106 volte


Confermando quanto ottenuto per via analitica.
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