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Domanda logaritmo naturale.

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto Utenteciccio » 8 set 2010, 13:48

Salve,


Avrei una piccola domanda a cui non trovo risposta.

Come mai (1/3)*ln(1+x^3) =(x^3)/3 (uguale da leggere come "uguale all'incirca").


grazie
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[2] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto Utentelucbie » 8 set 2010, 14:32

Occhio che questo vale solo per valori della x positivi e vicini allo zero.

Sento puzza di approssimazione funzionale (in questo caso nell'intorno dello zero...).

Se conosci l'approssimazione di Taylor ( http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor ) credo tu possa risponderti da solo.

Altrimenti facciamo due conti...
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[3] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 8 set 2010, 15:22

Come ti ha gia' spiegato lucbie, la tua relazione dovrebbe essere scritta come

\ln (1+x^{3})\approx x^{3}

ed è vera solo sotto la condizione che |x|<1

in sostanza non è altro che il primo termine dello sviluppo in serie del logaritmo

\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+...\,\,\,\,\,\,\,\left| x \right|<1

che nel tuo caso particolare diventa

\ln (1+x^{3})=x^{3}-\frac{x^{6}}{2}+\frac{x^{9}}{3}+...\,\,

sempre con la stessa condizione su x, ovvero |x|<1, in quanto, se vera, tanto di piu' lo sara' per il suo cubo!
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zqq.gif (11.48 KiB) Osservato 2828 volte


L'approssimazione dipende da quanto piccolo è x (mancando gli altri termini dello sviluppo)
per curiosita' ti ho plottato la funzione log(1+x^3) in nero e tre curve approssimanti con 1(x^3), 2 e 3 termini della serie
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[4] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto Utentelucbie » 8 set 2010, 15:26

ERRATA CORRIGE:

lucbie ha scritto:vale solo per valori della x positivi e vicini allo zero

Pardon... quel "positivi" non ci andava affatto. :oops:


Direi che la spiegazione di Renzo, come al solito, è più che completa. =D>
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[5] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 8 set 2010, 15:34

Adesso ci aspettiamo tutti che LoRenzoDF il magnifico faccia anche lo sviluppo in serie con i polinomi di Chebyshev e qualche altra famiglia di polinomi ortogonali.
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
Plug it in - it works better!
Il 555 sta all'elettronica come Arduino all'informatica! (entrambi loro malgrado)
Se volete risposte rispondete a tutte le mie domande
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[6] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto Utenteciccio » 8 set 2010, 17:15

Grazie a tutti, perfettamente tutti molto chiari.

Grazie ancora.
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[7] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 13 set 2010, 21:54

IsidoroKZ ha scritto:Adesso ci aspettiamo tutti che RenzoDF faccia anche lo sviluppo in serie con i polinomi di Chebyshev


Hai ragione, si puo' approfittare per un ripasso :)

Considerando sempre la funzione

y(x)=\ln (1+x^{3})

scelto un polinomio interpolante di secondo grado n=2,
a) trasformato l'intervallo [0,1] nell'intervallo "normale" [-1,1]
b) ricavate le ascisse degli zeri del polinomio di Chebyshev di grado n+1

x_{k}=\frac{b-a}{2}\cos \left( \frac{2k+1}{2\left( n+1 \right)}\pi  \right)+\frac{a+b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,k=0,1,\,...\,n

c) le usiamo come punti base per costruire il polinomio interpolante in forma lagrangiana, del tipo

P(x)=\sum\limits_{j=0}^{n}{\left[ \prod\limits_{\begin{smallmatrix} 
 k=0 \\ 
 k\ne j 
\end{smallmatrix}}^{n}{\frac{x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}} \right]y_{j}}

numericamente, usando SpeQ
CH1.gif
CH1.gif (26.35 KiB) Osservato 2734 volte

otteniamo un polinomio

P(x)\cong 0,958\,x^{2}-0,272\,x+0,0142
che plottato insieme alla funzione e all' errore R(x) (amplificato 10 volte), evidenzia come tale scelta dei punti base ci permetta di ridurre l'errore all'interno dell'intervallo di approssimazione.

CH2.gif
CH2.gif (13.22 KiB) Osservato 2735 volte


NB per una breve introduzione ai polinomi interpolanti si veda per esempio
http://www3.matapp.unimib.it/corsi-2009 ... ione11.pdf
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[8] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto Utentesebago » 15 set 2010, 17:59

IsidoroKZ ha scritto:Adesso ci aspettiamo tutti che LoRenzoDF il magnifico faccia anche lo sviluppo in serie con i polinomi di Chebyshev e qualche altra famiglia di polinomi ortogonali.

Porca paletta, lo ha fatto davvero
Renzo, ma da che razza di pianeta provieni?
Perdinci, ogni tua risposta è un'esplosione di scienza.
Admin, diccelo una volta per tutte se Renzo esiste veramente :!: :!: :!:
Saluti
Sebastiano
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[9] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto Utenteadmin » 16 set 2010, 0:51

sebago ha scritto:[..]
Admin, diccelo una volta per tutte se Renzo esiste veramente :!: :!: :!:


"Ah, ecco un altro se n'è accorto!
Te l'avevo detto, Nicolò, di renderlo più umanamente credibile!"


In effetti cari utenti, RenzoDF è un programma che Nicolò sta sviluppando per fare concorrenza a Wolfram Alpha :!: :wink:
Dopo Chebyshev non è stato più possibile tenerlo nascosto!
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[10] Re: Domanda logaritmo naturale.

Messaggioda Foto Utentedursino » 19 set 2010, 21:46

Rimango davvero impressionato quando capito su questo Forum.
Sfido chiunque a trovare in rete un forum così,CON GENTE COSÌ
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