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Reti RC "amplificatrici"

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[41] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 dic 2010, 15:10

Andando avanti con una nuova rete, usando questa



possiamo arrivare ad un guadagno intorno a 1.2 e, come dicevo, usando diverse di queste celle in cascata, e sempre da un punto di vista teorico, possiamo arrivare a superare il guadagno massimo pari a 2 ipotizzato, ma non dimostrato, da Epstein ;-)

BTW Il calcolo dei vincoli fra i parametri della rete per raggiungere detto valore di 1.2, lo lasciamo ai nostri "ragazzi in gamba" del forum :mrgreen:
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[42] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 3 dic 2010, 17:17

RenzoDF ha scritto:In che senso "funzione di trasferimento reale" ?


Voglio dire fase della funzione di trasferimento 0 oppure \pi, cosa che puo` essere richiesta se si vuole fare un oscillatore e l'amplificatore usato non sfasa di suo.

Oggi vedo se riesco ad analizzare l'ultimo circuito che hai proposto. Come ti e` venuto in mente?
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[43] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 dic 2010, 17:29

IsidoroKZ ha scritto:Voglio dire fase della funzione di trasferimento 0 oppure \pi, cosa che puo` essere richiesta se si vuole fare un oscillatore e l'amplificatore usato non sfasa di suo.

ok! ... ma nella domanda iniziale del post, non era imposto questo vincolo :-)

IsidoroKZ ha scritto:Oggi vedo se riesco ad analizzare l'ultimo circuito che hai proposto. Come ti e` venuto in mente?

... me lo ha suggerito stanotte il tuo amico, il Grande Prof. Middlebrook, ma mi ha fatto promettere che lo si doveva studiare con l'extra element theorem :mrgreen:
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[44] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 dic 2010, 18:15

RenzoDF ha scritto:
IsidoroKZ ha scritto:Voglio dire fase della funzione di trasferimento 0 oppure \pi

ok! ... ma nella domanda iniziale del post, non era imposto questo vincolo


Ho involontariamente polarizzato la discussione verso funzioni di trasferimento reali ;-)

Curioso il nuovo circuito, due celle a T, ma con i componenti permutati: vedrò di analizzarlo il prima possibile... intanto sto lavorando a un'altra idea... ma non ve la dico ancora ;-) :-#
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[45] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 dic 2010, 19:08

DirtyDeeds ha scritto:Curioso il nuovo circuito, due celle a T, ma con i componenti permutati:


Posto il risultato della simulazione con LTspice che conferma l'analisi simbolica 3-EET

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[46] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto Utentecarloc » 4 dic 2010, 10:13

..in effetti la "doppio T" è intrigante... non ho avuto molto tempo da dedicarci ma...

nell'ipotesi di celle indipendenti R_3>>R_1 e C_3<<C_2 la fdt si trova facile facile

F(s)=\left(\frac{1}{R_3}\frac{\tau_1 s}{\tau_1 s +1}+C_3 s \frac{1}{\tau_2 s +1}\right)/\left(\frac{1}{R_3}+C_3 s\right) dove ovviamnete \tau_1=R_1 C_1 \,\,\ldots

F(s)=\left(\frac{\tau_1 s}{\tau_1 s +1}+\frac{\tau_3 s}{\tau_2 s +1}\right)/(\tau_3 s +1)=
s\frac{\tau_1(\tau_2 s +1)+\tau_3(\tau_1 s +1)}{(\tau_1 s+1)(\tau_2 s +1)(\tau_3 s +1)}

e infine

F(s)=(\tau_1+\tau_3)S\frac{\tau_0 s +1}{(\tau_1 s+1)(\tau_2 s +1)(\tau_3 s +1)} dove \tau_0=\tau_1\frac{\tau_2 + \tau_3}{\tau_1 +\tau_3} è la costante di tempo dello zero non nell'origine

ora abbiamo
1) uno zero nell'origine
2) la costante moltiplicativa \tau_1 +\tau_3
3) tre poli "controllabili" dai valori dei componenti
4) uno zero dipendente dai poli..

la posizione relativa di queste singolarità controlla il comportamento della fdt..occorre fare in modo che partendo da \omega=0 il diagramma di Bode "salga" il più possibile... alcune simulazioni e calcoli ancora troppo abbozzati per "pubblicarli" suggeriscono che sia il rapporto \tau_1 / \tau_2 a regolare la cosa....

Appare anche possibile avere un "guadagno" maggiore di 1 su una banda di frequenze relativamente larga ( 2 o 3 decadi) che mi pare interessante....

Forza DirtyDeeds non fare il modesto :D ... si vede bene che matematico sei :ok:
Se ti serve il valore di beta: hai sbagliato il progetto!
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[47] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 4 dic 2010, 20:40

Ecco, per chi non ha ancora mal di testa (io ce l'ho #-o ), la versione del circuito di RenzoDF a parametri distribuiti! °_.



Assumendo che la linea abbia lunghezza L, resistenza per unità di lunghezza \mathcal{R}(z)=\mathcal{R}_0\text{e}^{az}, con a\ge 0, e capacità per unità di lunghezza \mathcal{C}(z)=\mathcal{C}_0\text{e}^{-az}, in modo tale che il prodotto \mathcal{R}(z)\mathcal{C}(z) sia costante lungo tutta la linea, determinare la funzione di trasferimento V_\text{o}/V_\text{i} del circuito, il massimo ecc. ecc. (insomma, la solita roba :D )

Decisamente, mi sembra che il massimo non sia determinabile per via analitica, ma solo per via numerica.
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[48] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 6 dic 2010, 13:55

Ecco la mia soluzione della cella a doppio T proposta da RenzoDF: per la soluzione, ho usato il famoso metodo conosciuto con il nome di "ammuzzo" :mrgreen: Spero vi piaccia ;-)

Per semplicità riporto qui sotto il circuito



e tanto per non faticare troppo, tolgo subito il gruppo composto da R_3 e da C_3, ottenendo



Possiamo scrivere V_k = H_k(s)V_\text{i} con

H_1(s) = \frac{s\tau_1}{1+s\tau_1}

H_2(s) = \frac{1}{1+s\tau_2}

dove \tau_1=R_1C_1 e \tau_2=R_2C_2. Una prima osservazione che può essere interessante è la seguente: sostituendo s=\text{j}\omega vediamo che nel piano immaginario le due funzioni di trasferimento, per \omega che va da zero a infinito, percorrono, in senso orario, due semicerchi di raggio unitario e centro in (1/2,0).

Ora, facciamo un cambio di variabile e definiamo le tensioni di modo comune e di modo differenziale rispettivamente come V_\text{C}=(V_1+V_2)/2 e V_\text{D}=V_1-V_2. Si ha V_\text{C}=H_\text{C}(s)V_\text{i} e V_\text{D}=H_\text{D}(s)V_\text{i} con

H_\text{C}(s) = \frac{H_1(s)+H_2(s)}{2} =\frac{1}{2}\frac{1+2s\tau_1+s^2\tau_1\tau_2}{1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2\tau_1\tau_2}

H_\text{D}(s) = H_1(s)-H_2(s) =\frac{1-s^2\tau_1\tau_2}{1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2\tau_1\tau_2}

Un'altra osservazione interessante potrebbe essere questa: nelle funzioni di trasferimento sopra facciamo la sostituzione s\leftarrow 1/(s\tau_1\tau_2), ottenendo due nuove funzioni di trasferimento H^\prime_\text{C}(s) e H^\prime_\text{D}(s). E' facile verificare che H^\prime_\text{C}(s)=H_\text{C}(s) e H^\prime_\text{D}(s)=-H_\text{D}(s). Questo implica che se |H_\text{C}(\text{j}\omega)| e |H_\text{D}(\text{j}\omega)| hanno un estremo per \omega=\omega_1, c'è un estremo anche in \omega=1/(\omega_1\tau_1\tau_2). Poiché con solo due poli e due zeri non si riescono ad avere due estremi distinti questi due valori devono coincidere: si ha un estremo (un massimo o minimo) per

\omega_1 = \frac{1}{\sqrt{\tau_1\tau_2}}

Notiamo, comunque, che |H_\text{D}(\text{j}\omega)|\le 1 (è una corda del cerchio di raggio unitario!) e |H_\text{C}(\text{j}\omega)|\le 1. Definiamo la pulsazione normalizzata \Omega=\omega/\omega_1: con questa posizione si può scrivere

H_\text{C}(\text{j}\Omega) = \frac{1}{2}\frac{1+2\text{j}\alpha\Omega-\Omega^2}{1+\text{j}\frac{1+\alpha^2}{\alpha}\Omega-\Omega^2}

H_\text{D}(\text{j}\Omega) = -\frac{1+\Omega^2}{1+\text{j}\frac{1+\alpha^2}{\alpha}\Omega-\Omega^2}

con \alpha = \sqrt{\tau_1/\tau_2}. Per \Omega=1, le due funzioni valgono

H_\text{C}(\text{j}) =\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2}

H_\text{D}(\text{j}) = \text{j}\frac{2\alpha}{1+\alpha^2}

Fatte tutte queste premesse, possiamo rimettere i componenti mancanti: con le trasformazioni fatte il circuito diventa



Per la sovrapposizione degli effetti abbiamo

H(\text{j}\Omega) = \frac{V_\text{o}}{V_\text{i}} = H_\text{C}(\text{j}\Omega)+\frac{H_\text{D}(\text{j}\Omega)}{2}F(\text{j}\Omega)

dove F(\text{j}\Omega) dipende da Z_1, Z_2, R_3 e C_3. Se imponiamo che l'impedenza del gruppo R_3-C_3 sia molto maggiore di Z_1 e Z_2 si ha

F(\text{j}\Omega)\approx\frac{1-\text{j}\beta\Omega}{1+\text{j}\beta\Omega} =\text{e}^{-2\text{j}\arctan(\beta\Omega)}

con \beta = \tau_3/\sqrt{\tau_1\tau_2}. La cosa bella è che l'effetto di F(\text{j}\Omega) è solo quello di ruotare H_\text{D}: dato un \Omega e un \alpha, possiamo scegliere \beta in modo che il modulo di H sia massimo. Questo massimo, per i motivi di simmetria esposti all'inizio, deve essere proprio per \Omega=1, quando F(\text{j})=-\text{j}, in modo che H_\text{C}(\text{j}) e H_\text{D}(\text{j})F(\text{j}) abbiano la stessa fase. In queste condizioni

|H(\text{j})| = |H_\text{C}(\text{j})|+\frac{|H_\text{D}(\text{j})|}{2}=\alpha\frac{\alpha+1}{1+\alpha^2}.

Il massimo di questa funzione si ha per \alpha = 1+\sqrt{2}, \beta=1 e vale |H(\text{j})|_\text{max}\approx 1{,}207.

O_/
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[49] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 6 dic 2010, 15:17

DirtyDeeds ha scritto:Il massimo di questa funzione si ha per \alpha = 1+\sqrt{2}, \beta=1 e vale |H(\text{j})|_\text{max}\approx 1,207.


BRAVISSIMO ! i miei COMPLIMENTI =D> =D> =D>

Proprio così !
\alpha _{\max }=1+\sqrt{2}

A{}_{\max }=\frac{4+3\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}

DirtyDeeds ha scritto:... per la soluzione, ho usato il famoso metodo conosciuto con il nome di "ammuzzo" :mrgreen: Spero vi piaccia

a dire il vero io avrei percorso una strada diversa .... come ben sai io preferisco il metodo dell' "ennuzzo" :mrgreen:
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[50] Re: Reti RC "amplificatrici"

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 6 dic 2010, 20:46

RenzoDF ha scritto:come ben sai io preferisco il metodo dell' "ennuzzo" :mrgreen:


Vuoi la verità? Ho scoperto l'esistenza dell'EET su questo forum, prima non ne avevo mai sentito parlare! :oops: (da studente universitario - sì, be', anni passati da un pezzo ormai :D - mi hanno fatto odiare l'elettrotecnica e la teoria delle reti, e per anni non ho più aperto un libro che ne parlasse). Per recuperare, ho aggiunto il Vorperian alla mia collezione di libri... prima o poi riuscirò anche a darci un'occhiata, per adesso mi arrangio con i "ferri del mestiere" che mi porto dietro ;-)

Tutto sommato, comunque, devo dire che i metodi "a muzzo" mi piacciono particolarmente :D
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