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Olimpiadi di matematica

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[1] Olimpiadi di matematica

Messaggioda Foto Utentesebago » 5 lug 2011, 7:31

Salve a tutti.
Durante gli esami di maturità ho conosciuto un collega che mi ha fatto vedere i testi di una gara a squadre delle olimpiadi di matematica. Ne ho trovato uno simpatico:
data la relazione
f(x)+ f(\frac{1}{1-x})=x con x\neq 0\; e\;  x\neq 1
determinare f(10).
Per un giorno non ne sono venuto a capo perché mi intestardivo a ...
Sono curioso di vedere quanti millisecondi ci impiegheranno i soliti geniacci di EY
Saluti
Sebastiano
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[2] Re: Olimpiadi di matematica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 5 lug 2011, 8:27

Troppo facile ... la lascio a Isidoro :mrgreen:
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[3] Re: Olimpiadi di matematica

Messaggioda Foto Utentelucbie » 5 lug 2011, 11:09

Beh, ho ricavato queste due relazioni:

f(10)=10-f(-\frac{1}{9})

f(10)=\frac{9}{10}-f(\frac{9}{10})

Poi ho riapplicato la relazione data usando -1/9 :

f(-1/9)=-\frac{1}{9}-f(\frac{1}{1+\frac{1}{9}})=-\frac{1}{9}-f(\frac{9}{10})

La prima si può riscrivere quindi così:

f(10)=10+\frac{1}{9}+f(\frac{9}{10})=\frac{91}{9}+f(\frac{9}{10})

La seconda con questa risultano due equazioni in due incognite.

y=\frac{91}{9}+x
y=\frac{9}{10}-x

Da cui risulta 991/180 .
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[4] Re: Olimpiadi di matematica

Messaggioda Foto Utentesebago » 5 lug 2011, 12:04

:ok: =D>
Sebastiano
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[5] Re: Olimpiadi di matematica

Messaggioda Foto Utentealev » 5 lug 2011, 12:26

:oops: ho provato a seguire Foto Utentelucbie e fino alle due equazioni in due incognite nulla da eccepire, ma non ho capito come si arriva al risultato finale; è sicuramente banale ma non lo vedo :oops:

Ciao,
Alessandro
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[6] Re: Olimpiadi di matematica

Messaggioda Foto Utentelucbie » 5 lug 2011, 13:58

Beh, premesso che x corrisponde a f(\frac{9}{10}) e y corrisponde a f(10) e siccome mi interessa trovare y, riscrivo le equazioni esplicitando x:
x=y-\frac{91}{9}

x=\frac{9}{10}-y

Uguaglio i termini a destra e ottengo:
y-\frac{91}{9}=\frac{9}{10}-y

2y=\frac{9}{10}+\frac{91}{9}

y=\frac{81+910}{180}
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[7] Re: Olimpiadi di matematica

Messaggioda Foto Utentealev » 5 lug 2011, 14:22

Ecco, lo sapevo #-o #-o :D

Grazie :ok:
Alessandro
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