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Circuiti equivalenti

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Moderatori: Foto Utenteadmin, Foto UtenteSjuanez

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[1] Circuiti equivalenti

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 ott 2012, 11:34

Visto il bell'articolo di Foto Utenteadmin sulla resistenza equivalente, ne aprofitto per
il mio solito riferimento storico ai "circuiti equivalenti", partendo da tre
Pagine Storiche tratte dagli

Annales télégraphiques del 1883

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http://www.archive.org/stream/annalestl ... 9/mode/2up
ovvero il documento originale sulla

"EXTENSION DE LA LOI D'OHM AUX CIRCUITS ELECTROMOTEURS COMPLEXES"

nel quale, enunciando il suo THÉORÈME, Thévenin spiega sostanzialmente
come si possa calcolare la "résistance du systèm primitif" R, dal punto di
vista ingegneristico, ovvero a partire dalla conoscenza della differenza fra i
potenziali V e V', dei due punti A ed A', "a vuoto" e dalla corrente erogata i
"a carico", in presenza di una resistenza esterna r, "ne contenant pas de force
électromotrice"
, dalla relazione

i=\frac{V-{{V}^{\prime}}}{r+R}

E' interessante notare come Thévenin usi, solo per la dimostrazione, un
generatore esterno E=V-V', per "spegnere" i generatori interni al sistema
e quindi "compensi" questa mancata spinta con un secondo generatore
esterno di fem -E opposta a quella del primo.

Dal punto di vista applicativo Thevenin viene a scontrarsi con le problematiche
della misura di una differenza di potenziale "a vuoto"; ai suoi tempi infatti,
mentre per la misura della corrente i la presenza della resistenza interna del
galvanometro poteva essere vista come parte di r, la misura di tensione
V-V' risultava più complessa in quanto l'uso dell'elettrometro necessitava
"de la part de l'expérimentateur, une habilité peu commune".

Thevenin infatti, da buon ingegnere, in un successivo articolo,
"Sur la mesure des différences de potentiel au moyen du galvanomètre"
http://www.archive.org/stream/annalestl ... 3/mode/2up

spiega come sia possibile superare il problema attraverso l'uso del solo
galvanometro, che anche se caratterizzato da una resistenza r "tres grand",
rispetto ad R, in un'inserzione in derivazione portrebbe sempre
ad un errore relativo pari a

\frac{R}{R+r}

errore che può però essere evitato usando una resistenza addizionale a
per effettuare due misure di corrente i ed i' ovvero scrivere

\left\{ \begin{align}
  & V-{{V}^{\prime}}=i\left( R+r \right) \\ 
 & V-{{V}^{\prime}}={{i}^{\prime}}\left( R+r+a \right) \\ 
\end{align} \right.

per ricavare la tensione "a vuoto" con la relazione

V-{{V}^{\prime}}=a\frac{i{{i}^{\prime}}}{i-{{i}^{\prime}}}

e altresì la resistenza interna con

R=a\frac{{{i}^{\prime}}}{i-{{i}^{\prime}}}-r

-------------------------------------------------------------

Corre l'anno 1883, ben trent'anni dopo la formulazione dello stesso principio
da parte di Hermann von Helmholtz sul Poggendorf’s "Annalen der Physik und
Chemie", non limitatamente a semplici circuiti a parametri concentrati ma
bensì ai più complessi circuiti a parametri distribuiti, in relazione al suo
studio sulle correnti muscolari animali,

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pagina 212, Storica pure questa in quanto Helmholtz formula qui,
per la prima volta, il Principio di Sovrapposizione iOi

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e pagina 223, dove compare per la PRIMA volta
il concetto di "circuito equivalente" con il calcolo:

a) della forza elettromotrice equivalente s a partire da quella interna A

s=\frac{A{{w}_{1}}}{{{w}_{0}}+{{w}_{1}}}

b) e della resistenza equivalente W

W=\frac{{{w}_{0}}{{w}_{1}}}{{{w}_{0}}+{{w}_{1}}}

c) utilizzabili per ottenere la corrente sul carico attraverso

{{i}_{2}}=\frac{s}{W+{{w}_{2}}}

ovvero, schematicamente parlando

rr.png
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E questo avviene ben quattro anni prima della nascita di Thévenin.

NB Il documento è sfogliabile su
http://website.archive.org/stream/annal ... 8/mode/2up

e per quanto riguarda il solo lavoro di H.H., al quale si è fatto
riferimento, è scaricabile da
http://electrochem.cwru.edu/estir/hist/ ... ltz-dl.pdf

Ben quarantatre anni dopo, Hans Ferdinand Mayer ed Edward Lawry Norton,
indipendentemente ma (quasi) contemporaneamente, spinti da una necessità
analitica relativa allo studio degli amplificatori a valvole termoioniche,
nel Novembre 1926 enunciano anche il teorema duale;
entrambi sostanzialmente dimostrano l'equivalenza di una rappresentazione
parallelo a quella serie di Helmholtz Thevenin;

==============================
Mayer
pubblicadolo nei dettagli con il suo lavoro ( ? Nov 1926)

"Ueber das Ersatzschema der Verstӓrkerröhre"
(Sui circuiti equivalenti degli amplificatori elettronici)

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[Ringrazio il Prof. Don Johnson, per avermi inviato il documento originale]
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http://www.weebly.com/uploads/1/6/3/0/1 ... rpaper.pdf

dove, a partire da uno studio sugli amplificatori con tubi a vuoto, dimostra
l'equivalenza del comportamento ai morsetti del secondo circuito Abb.2,
rispetto al primo Abb.1, ricava la corrente impressa dal GIC con la relazione

J=\frac{E}{{{R}_{i}}}

fa notare l'indipendenza della corrente impressa J dal carico
esterno e sottolinea il fatto che, così come la fem E risulta pari alla
tensione a vuoto, la corrente J risulta pari alla corrente di cortocircuito.

==============================
Norton
nascondendolo, fra le righe di un Memorandum da archiviare
datato 3 Novembre 1926, ma estende il concetto di resistenza
equivalente a quello di impedenza equivalente.

"Design of Finite Networks for Uniform Frequency Characteristic"

dove, a pagina 9 troviamo

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no1.jpg (110.02 KiB) Osservato 1628 volte


http://www.weebly.com/uploads/1/6/3/0/1 ... onmemo.pdf

=========================================================

Il metodo indicato da Thevenin è quindi il migliore dal punto di vista
operativo in quanto nella realtà non potremo (normalmente) "spegnere"
i generatori interni alla black-box sotto esame, per andare a misurare
la resistenza interna dall'esterno, ovvero via rapporto fra tensione
esterna impressa Vi e l'associata corrente Ia assorbita ai morsetti
o simmetricamente dal rapporto fra tensione associata Va / corrente
impressa Ii,

R=\frac{{{V}_{i}}}{{{I}_{a}}}=\frac{{{V}_{a}}}{{{I}_{i}}}

metodo normalmente usato nell'analisi teorica delle reti lineari.

Dal punto di vista moderno, bisogna sottolineare che la relazione
indicata da Thevenin

i=\frac{V-{{V}^{\prime}}}{R+r}=\frac{{{V}_{0}}}{R+r}

appare "sbilanciata", in quanto privilegia la tensione sulla corrente,
usa infatti una condizione di funzionamento "a vuoto" ed una corrente
a carico.

Il principio di dualità fra le due grandezze elettriche tensione e
corrente ci suggerisce che potrà essere scritta anche la relazione duale,
"sbilanciata" in verso opposto

v=\frac{{{I}_{cc}}}{G+g}

ed equivalente alla precedente, che porta al circuito equivalente
parallelo con un percorso alternativo a quello seguito da Mayer e Norton.

Entrambe si basano sulla considerazione che la relazione lineare fra
tensione e corrente ai morsetti della black box può essere completamente
individuata da due sole coppie di valori; (0,V0) e (I,V) oppure
(Icc,0) e (I,V) ; la "fusione" delle due relazioni ci permette
sostanzialmente di dire che la resistenza interna può essere
calcolata dal rapporto fra tensione a vuoto e corrente di
cortocircuito;

{{R}_{eq}}=\frac{{{V}_{0}}}{{{I}_{cc}}}

una relazione spesso utilizzata nell'analisi teorica delle reti; si tratta
sostanzialmente dell'opposto della pendenza della caratteristica V-I

R=-\frac{\Delta V}{\Delta I}=-\frac{0-{{V}_{0}}}{{{I}_{cc}}-0}

che in generale potrà essere ricavata da una qualsiasi coppia di punti

P({{I}_{P}},{{V}_{P}})\quad Q({{I}_{Q}},{{V}_{Q}})

R=-\frac{{{V}_{Q}}-{{V}_{P}}}{{{I}_{Q}}-{{I}_{P}}}

come sopra detto, metodo utilizzato già da Thevenin come soluzione
ai problemi della misura "a vuoto"

\left\{ \begin{align}
  & V-{{V}^{\prime}}=i\left( R+r \right) \\ 
 & V-{{V}^{\prime}}={{i}^{\prime}}\left( R+r+a \right) \\ 
\end{align} \right.

che può essere infatti riscritta con riferimento alla figura



come

\left\{ \begin{align}
  & {{V}_{r}}=V-{{V}^{\prime }}-iR=ir \\ 
 & {{V}_{ra}}=V-{{V}^{\prime }}-{{i}^{\prime}}R={{i}^{\prime}}(r+a) \\ 
\end{align} \right.

per ottenere

R=-\frac{{{V}_{ra}}-{{V}_{r}}}{i-{{i}^{\prime}}}=a\frac{{{i}^{\prime}}}{i-{{i}^{\prime}}}-r

e che può ovviamente essere estesa ad una pendenza locale passando
al limite di questo rapporto incrementale, ovvero definendo una
resistenza interna differenziale

R=-\frac{dv}{di}

Chiaramente se, internamente alla black box, non esiste un generatore forzante
indipendente, o se il suo effetto è equilibrato sui due morsetti di uscita,
l'unico punto disponibile senza l'uso di forzanti esterne sarà (0,0) e di
conseguenza per ottenerne un secondo sarà indispensabile usare un carico
esterno attivo che permetterà di calcolare la resistenza interna dal rapporto
fra tensione ai morsetti e corrente entrante

R=\frac{V}{I}

Desidero sottolineare che, dalla succesione storica sopra riportato non può che discendere
che il modo più corretto per fare riferimento ai due teoremi in oggetto sarà:

Teorema di Helmholtz-Thévenin

Teorema di Mayer-Norton


NB _________________________________________________
Non ho ovviamente scritto nulla di nuovo rispetto a quanto già scritto nel
Bellissimo Lavoro storico, del Professor Don Johnson, Rice University,
(che ringrazio per il contributo e la disponibilità dimostrata per questa mia ricerca),

a) http://www.ece.rice.edu/~dhj/paper1.pdf
b) http://scholarship.rice.edu/bitstream/h ... insoft.PDF
c) http://www.ece.rice.edu/~dhj/Norton/

Io, come sempre, ho solo cercato di riassumere la "storia" per i lettori di EY,
riesumando le pagine originali di questi quattro Favolosi Elettrotecnici.


...WIP ...
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[2] Re: Circuiti equivalenti

Messaggioda Foto Utentemir » 25 ott 2012, 12:09

Grande Foto UtenteRenzoDF, mi chiedevo se sia una cattiva idea aggiungere questi documenti e/o questo thread in coda all'articolo di Foto Utenteadmin ?
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