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resistenza equivalente di rumore

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto Utenteelettronica2013 » 30 ago 2013, 9:21

Salve vorrei sapere il motivo per cui nell'amplificatore invertente riportato in figura la resistenza equivalente di rumore dovuta ai soli resistori R1 ed R2 è il parallelo di R1 ed R2,potete darmi una spiegazione?Grazie
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[2] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto Utenteelettronica2013 » 30 ago 2013, 15:07

Nessuno sa darmi spiegazioni a riguardo?
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[3] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 30 ago 2013, 19:46

Non puoi fare una domanda alle 10 e alle 16 chiedere di nuovo. Le persone rispondono quando hanno tempo, soprattutto, e voglia. E la voglia passa un po' quando non vengono rispettate le regole del forum: i disegni dei circuiti vanno fatti in FidocadJ. Se tu l'avessi fatto, io adesso avrei potuto modificarlo per darti la spiegazione. Aspetterò che tu faccia il disegno in FidocadJ.
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[4] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 30 ago 2013, 21:12

Ci provo, ti dico come farei io a dimostrarlo, magari c'è qualche altro modo più "canonico" per farlo.

Credo si debba dimostrare che i due circuiti che seguono abbiano in uscita la stessa tensione di rumore.



Quello in alto è il tuo circuito con evidenziati i due generatori di rumore associati ai due resistori.

Quello in basso, che per quanto riguarda il rumore in uscita dovrebbe essere equivalente a quello in alto, ha R2 non rumorosa e in ingresso, al posto di R1, una resistenza rumorosa di valore pari a quello del parallelo di R1 e R2.

Siamo in regime lineare, quindi vale la sovrapposizione degli effetti che possiamo sfruttare per calcolare la tensione di rumore in uscita come somma (rms) dei contributi dei due generatori considerandoli uno alla volta.

Nel circuito in alto la quota di tensione di rumore in uscita dovuta al contributo di e_{1} è pari a

\[e_{u1}=-e_{1}\frac{R_{2}}{R_{1}}\]

e quella dovuta al contributo di e_{2} è pari a

\[e_{u2}=-e_{2}\]

ed essendo

\[e_{1}=2\sqrt{kTR_{1}}\]

\[e_{2}=2\sqrt{kTR_{2}}\]

la tensione di rumore in uscita è pari a

\[e_{u}= \sqrt{e_{u1}^{2} +e_{u2}^{2}}=\sqrt{\left (e_{1}\frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{2}+e_{2}^{2}}\]

\[e_{u}=2\sqrt{kT}\sqrt{\frac{R_{2}^{2}}{R_{1}}+R_{2}}= 2\sqrt{kT}\sqrt{R_{2}^{2}\left (\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}} } \right )\]

e_{u}=2\sqrt{kT} \frac{R_{2}}{\sqrt{R_{1}\parallel R_{2}}}

Nel circuito in basso la tensione di rumore in uscita vale

\[e_{u}=-e_{12}\frac{R_{2}}{R_{1}\parallel R_{2}}\]

\[e_{u}=2\sqrt{kT} \sqrt{R_{1}\parallel R_{2}}\frac{R_{2}}{R_{1}\parallel R_{2}}\]

e_{u}=2\sqrt{kT} \frac{R_{2}}{\sqrt{R_{1}\parallel R_{2}}}

Che è uguale all'altra
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[5] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto Utenteelettronica2013 » 31 ago 2013, 7:55

DirtyDeeds ha scritto:Non puoi fare una domanda alle 10 e alle 16 chiedere di nuovo. Le persone rispondono quando hanno tempo, soprattutto, e voglia. E la voglia passa un po' quando non vengono rispettate le regole del forum: i disegni dei circuiti vanno fatti in FidocadJ. Se tu l'avessi fatto, io adesso avrei potuto modificarlo per darti la spiegazione. Aspetterò che tu faccia il disegno in FidocadJ.





Vediamo che spiegazione riesci a fornirmi
Grazie ciao
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[6] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 31 ago 2013, 8:54

La spiegazione di Foto UtenteBrunoValente è sulla strada giusta, ma contiene un problema: il secondo amplificatore ha guadagno diverso dal primo. L'equivalente va fatto con lo stesso guadagno: nel circuito equivalente, si sostituiscono tutti i generatori di rumore dell'amplificatore originale con un unico generatore di rumore tale che il valor medio quadratico della tensione di rumore all'uscita dell'amplificatore equivalente abbia lo stesso valore dell'amplificatore originale.

Lo schema di riferimento è il primo disegnato da Bruno, che qui riporto:



Rispetto all'originale ho fatto una modifica: ai generatori ho assegnato un verso convenzionale. Potrebbe sembrare una cosa inutile, perché con i rumori si sommano i valori quadratici medi, e quindi i segni non contano, ma nel caso in cui ci fossero delle correlazioni il segno diventerebbe significativo. Non è questo il caso, ma meglio abituarsi a metterlo sempre. Per quanto ricavato in [4] a partire dal circuito equivalente sopra, la densità spettrale del valor medio quadratico della tensione di rumore all'uscita vale

e_{u}^2 = 4kTR_{2}^{2}\left (\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}} } \right )

La stessa espressione la si potrebbe potuta ricavare considerendo un equivalente Norton per i resistori rumorosi:



Dove i_1 e i_2 hanno densità spettrali (sempre per la relazione di Johnson-Nyquist)

i_1^2 = \frac{4kT}{R_1}

i_1^2 = \frac{4kT}{R_2}

Infatti, dalla figura sopra, poiché il terminale invertente è mantenuto a potenziale zero dall'opamp, che supponiamo ideale, in R_1 non scorre corrente e tutta la corrente di rumore scorre in R_2:

i_{R_2} = i_1-i_2

con densità spettrale

i_{R_2}^2 = i_1^2+i_2^2 = \frac{4kT}{R_1}+\frac{4kT}{R_2} = 4kT\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)

e poiché e_u = -R_2i_{R_2} si ha

e_u^2 = R_2^2i_{R_2}^2 = 4kTR_2^2\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)

(to be continued...)
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[7] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto Utenteelettronica2013 » 31 ago 2013, 10:04

attendo continuazione...
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[8] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 31 ago 2013, 10:42

elettronica2013 ha scritto:attendo continuazione...

Direi che la pazienza è il tuo forte eh...
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[9] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 31 ago 2013, 11:48

Tanto per precisare, i voti negativi sono tutti miei. :?
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[10] Re: resistenza equivalente di rumore

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 31 ago 2013, 11:55

Riprendiamo l'espressione della densità spettrale della corrente di rumore che scorre in R_2:

i_{R_2}^2 = 4kT\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)

Questa densità è uguale a quella generata da una resistenza R tale che

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}

ovvero tale che R = R_1\,||\,R_2. Il rumore generato dalla rete di retroazione è quindi uguale a quello generato da una resistenza uguale al parallelo delle resistenze della rete e i due generatori di rumore possono allora essere sostituiti da un unico generatore i_n con densità spettrale

i_n^2 = \frac{4kT}{R_1\,||\,R_2}

come nello schema qui sotto:



Questo non è l'unico equivalente possibile, ma il discorso non cambia. Per esempio, avremmo potuto fare un equivalente con un generatore di tensione di rumore, così:



Quanto dovrebbe valere la densità spettrale di e_n? Poiché, in questo circuito, i_{R_2} = i_{R_1} = e_n/R_1, si ha

e_u = e_n\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)

da cui

e_u^2 = e_n^2\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)^2

ma questa espressione deve essere uguale al risultato già trovato

e_{u}^2 = 4kTR_{2}^{2}\left (\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}} }\right )

da cui

e_n^2 = 4kT(R_1\,||\,R_2)

Anche il rumore di tensione generato dalla rete è equivalente a quello delle due resistenze in parallelo.

Commenti:
1) Il generatore di tensione di rumore si può anche mettere in serie all'ingresso non invertente. Il guadagno per cui viene moltiplicata la tensione e_n non è nient'altro che il guadagno dell'amplificatore non invertente: per tale motivo, tale guadagno, quando si parla di rumore, è anche chiamato noise gain.
2) Il fatto che il rumore generato dalla rete di retroazione sia equivalente a quello delle due resistenze in parallelo ha anche una risposta più, diciamo così, fondamentale, ovvero l'avremmo potuto affermare anche senza fare tutti i conti riportati sopra: qualcuno vuole provare a spiegare il perché?
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