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Numeri complessi: Cosa sono?

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto Utenteg26 » 29 nov 2014, 1:03

La domanda che vi sto facendo è un po' strana. Mi sono imbattuto in questi oggetti matematici nel corso di geometria dal mio primo anno di università, li ho utilizzati molte volte e in vari argomenti (equazioni differenziali ordinarie, teoria dei sistemi, analisi in regime sinusoidale, equazione di schrodinger etc...) ma con mio grande rammarico non capisco ancora che cosa siano. E con rammarico misto a sollievo, devo dire anche che questo in realtà non mi ha mai impedito di usarli.
Parlo, come ho scritto nel titolo, dei numeri complessi.
Cosa sono? Hanno qualche significato fisico, oppure son "soltanto" degli oggetti matematici utili a continuare i calcoli?
Mi servirebbe una risposta quasi "filosofica", quella matematica l' ho capita, ma non me ne capacito.
Spero che qualcuno riesca a farmi vedere cosa si nasconde dietro queste strane cose, anche se la risposta che mi son dato in questi anni, è che me ne devo fare una ragione perché in realtà non si nasconde nulla. Intanto, tento e ve lo chiedo. O_/
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[2] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 29 nov 2014, 1:20

Questa è una bella domanda, complimenti!
Anch' io aspetto con ansia risposte.
Nel data sheet si trova tutto. Anche gli errori.
"La follia sta nel fare sempre la stessa cosa aspettandosi risultati diversi".
"Parla soltanto quando sei sicuro che quello che dirai è più bello del silenzio".
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[3] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 29 nov 2014, 11:36

Per quel poco che ho studiato, in elettrotecnica hanno un senso ed è molto chiaro e tangibile.
Nel data sheet si trova tutto. Anche gli errori.
"La follia sta nel fare sempre la stessa cosa aspettandosi risultati diversi".
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[4] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto Utentegotthard » 29 nov 2014, 12:13

Forse capire la loro travagliata storia, cioè come e perché sono nati, può esserti utile..

Prova a dare un' occhiata qui (a partire da pagina 3), o se vuoi anche su Wikipedia, alla sezione Cenni storici. ;-)
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[5] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto UtenteRussell » 29 nov 2014, 12:58

Per come la vedo io sono (filosoficamente) dei numeri "bidimensionali"

Diciamo che quelli monodimensionali (R^1) sono i normali reali

assumendo una parte immaginaria non nulla si va in un dominio a 2 dimensioni (R^2) indipendenti tra di loro
(infatti notare che si rappresentano su un piano e non su un semplice asse)
(notare inoltre che i numeri monodimensionali sono un sottoinsieme di quelli bidimensionali, assumendo parte immaginaria sempre nulla)
ovviamente i concetti di somma, prodotto, divisione ecc vanno ritoccati un pochetto

Non mi sconvolgerei troppo se un giorno dovessi imbattermi i numeri che hanno una doppia parte 'immaginaria' per risolvere qualche complesso problema... in tal caso (personalmente) li definirei ovviamente numeri "tridimensionali".
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[6] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 29 nov 2014, 13:45

Russell ha scritto:Non mi sconvolgerei troppo se un giorno dovessi imbattermi i numeri che hanno una doppia parte 'immaginaria' per risolvere qualche complesso problema... in tal caso (personalmente) li definirei ovviamente numeri "tridimensionali".


Non possono esistere. L'insieme dei numeri "ipercomplessi" segue la legge 2^n, per cui l'unico insieme possibile dispari e l'insieme dei numeri reali 2^0, dopodichè ci sono i numeri complessi ordinari 2^1, i quaternioni 2^2, gli ottonioni 2^3 e i sedenioni 2^4.
In genere oltre i sedenioni non si va, sebbene si possano estendere questi gruppi ad una qualunque algebra di Lie (che però mi provoca l'orticaria, per diversi ed articolati motivi, il primo dei quali è la perdita della commutatività della somma).
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[7] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 29 nov 2014, 13:50

Per rispondere invece alla domanda dell'OP, credo che ci si stia chiedendo cos'è un numero e a cosa serve.

Naturalmente tutti i concetti astratti incontrano, nella nostra mente, la necessità di una risposta concreta, ma per lo più queste domande sono errate :D
Voglio dire che ci si potrebbe chiedere "a cosa serve una ellisse?".
Un meccanico potrebbe rispondere che serve per fare un eccentrico per azionare un meccanismo di punteria,
Keplero potrebbe rispondere che serve per descrivere il moto dei pianeti, ecc...

In definitiva la domanda "cos'è questo?" in matematica incontra sempre la risposta "è un concetto astratto che può essere applicato dovunque tu ne abbia bisogno"

Ciao,
Pietro.
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[8] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto Utentegotthard » 29 nov 2014, 14:44

PietroBaima ha scritto:In definitiva la domanda "cos'è questo?" in matematica incontra sempre la risposta "è un concetto astratto che può essere applicato dovunque tu ne abbia bisogno"

=D>
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[9] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto UtenteWALTERmwp » 29 nov 2014, 15:59

PietroBaima ha scritto:In definitiva la domanda "cos'è questo?" in matematica incontra sempre la risposta "è un concetto astratto che può essere applicato dovunque tu ne abbia bisogno"
... un po come i numeri negativi, quelli con la virgola ... ?
Ecco l'ho scritto e adesso premo anche "Invia" ...

Saluti
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[10] Re: Numeri complessi: Cosa sono?

Messaggioda Foto Utenteg26 » 29 nov 2014, 16:56

Innanzitutto, grazie a tutti per le risposte!

TardoFreak: è vero, l' elettrotecnica offre un'interpretazione fisica abbastanza chiara dei numeri complessi, il problema però è che non si può generalizzare (almeno io non ce la faccio), in quanto fondamentalmente i numeri complessi vengono usati come un artificio per evitare calcoli con i coseni.

PietroBaima: Mi dai la risposta che temevo :( , dovrò farmene una ragione, sigh!
Il punto è che mi spaventa non avere un raffronto elementare di questi oggetti, coi numeri razionali è facile, coi reali un po' meno, ma ti accontenti di un' approssimazione e li consideri razionali. Mi consola un po' il fatto che da quanto ho letto sul materiale linkato da gotthard, nessuno all' inizio riusciva a farsene una ragione.
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