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Linea di Trasmissione 2

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Linea di Trasmissione 2

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 11 set 2015, 13:11

Testo - E' data la linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z_0=50 \, \Omega, su cui la lunghezza d'onda è \lambda=1 \, \text{m}. I carichi di impedenza Z_{L1}=(100+\text{j}100)\, \Omega e Z_{L2}=(75+\text{j}150)\, \Omega sono collegati alla sezione \text{AA'} mediante due tratti di linea di impedenza caratteristica Z_1=75 \, \Omega di lunghezza rispettivamente d_1=0.2 \lambda e d_2=0.4 \lambda. La distanza tra le sezioni \text{BB'} e \text{AA'} è d_3=0.1 \lambda. Si determini 1) il carico equivalente immediatamente a destra della sezione \text{AA'} e 2) della sezione \text{BB'}; si adatti il carico trovato al punto precedente mediante il doppio stub raffigurato, scegliendo la soluzione che minimizza la lunghezza l_1



Svolgimento - L'ordine con cui bisogna procedere è già stabilito dal testo, mi limito dunque a seguire i passi indicati.


Carico equivalente immediatamente a destra della sezione \text{AA'}

A destra della sezione \text{AA'} si hanno due tratti di linea in parallelo



Per trovare il carico equivalente Z_L è sufficiente trasportare Z_{L1} e Z_{L2} alla sezione \text{AA'}, per poi valutarne il parallelo.

Al carico Z_{L1} è associata l'impedenza normalizzata z_{L1}(0)=Z_{L1}/Z_1=1.33+\text{j}1.33, associata a sua volta al punto P sul piano Γ.



Ora z_{L1}(0) deve essere trasportata per un tratto lungo 0.2\lambda, quindi il punto P ruota in senso orario lungo la rispettiva circonferenza a |\Gamma| costante su un arco di 0.2\lambda, trovandosi in P' alla fine del processo.



Al punto P' è associata l'impedenza normalizzata z_{L1}(0.2\lambda)=0.55-\text{j}0.75



tramite lo stesso procedimento, trovo per l'altra impedenza z_{L2}(0.4\lambda)=0.45+\text{j}0.35.

A questo punto dovrei denormalizzare le due impedenze z_{L1}(0.2\lambda),z_{L2}(0.4\lambda) per poi valutare il parallelo.
Invece di stare a fare i conti trasformo le due impedenze normalizzate in ammettenze normalizzate, per poi sommarle e denormalizzare.

L'ammettenza associata all'impedenza z_{L1}(0.2\lambda) è in corrispondenza con il punto P''=-P'



quindi l'ammettenza normalizzata y_{L1}(0.2 \lambda)=1/z_{L1}(0.2 \lambda) vale y_{L1}(0.2 \lambda)=0.65+\text{j}0.90



analogamente per l'altra ammettenza trovo y_{L2}(0.4 \lambda)=1.40+\text{j}1.10

L'ammettenza normalizzata totale alla sezione \text{AA'} vale dunque

y_{AA'}=y_{L1}(0.2 \lambda)+y_{L2}(0.4 \lambda)=2.05+\text{j}2.00

mentre l'impedenza normalizzata totale (ottenuta sempre con la carta) è

z_{AA'}=0.26-\text{j}0.23

quindi concludo che il carico equivalente visto alla sezione \text{AA'} è

\boxed{Z_{AA'}=z_{AA'}Z_1=(19.50-\text{j}17.25) \, \Omega}



Impedenza vista immediatamente a destra della sezione \text{BB'}

Qui si tratta di trasportare il precedente carico Z_{AA'} alla nuova sezione \text{BB'}



quindi, riapplicando sempre il solito procedimento per il trasporto di impedenza, trovo

z(0)=Z_{AA'}/Z_0=0.39-\text{j}0.35

z(d_3^-)=0.34+\text{j}0.02

\boxed{Z_{BB'}=z(d_3^-)Z_0=(19.50+\text{j}1.00) \, \Omega}

sono molto dubbioso riguardo questo risultato, però mi pare sia tutto corretto fino ad ora...



Adattamento



Gli stub sono in parallelo, quindi, al fine di agevolare i calcoli, riporto il carico da adattare in ammettenza. L'ammettenza normalizzata del carico vale

y_{BB'}=(3.00-\text{j}0.20)

La distanza tra gli stub è di \lambda/4. Al fine di ottenere l'adattamento, il primo stub (quello da porre alla sezione \text{BB'}) deve portare il punto Q (associato a y_{BB'}) sulla circonferenza a conduttanza unitaria ruotata in senso antiorario di mezzo giro.
Il punto individuato, Q', è quello che minimizzerà la lunghezza l_1 del primo stub.



al punto Q è associata una suscettanza normalizzata di -0.20, mentre al punto Q' una suscettanza normalizzata di -0.50.



il primo stub deve dunque realizzare una suscettanza

b_{stub1}=b_{Q'}-b_{Q}=-0.5-(-0.2)=-0.3

dunque la sua lunghezza vale

\boxed{l_1=0.20\lambda=0.20 (1\, \text{m})=0.20 \text{m}}



Ora l'ammettenza vista alla sezione \text{BB'}, data dal contributo del primo stub e il carico, vale

y(d_3^+)=y_{BB'}+y_{stub1}=0.42-\text{j}0.50



il punto Q' è stato cercato sulla versione ruotata di 180° in senso antiorario della circonfernza g=1, quindi se adesso si trasporta l'ammettenza y(d_3^+) verso il generatore per un tratto lungo \lambda/4 è naturale aspettarsi come risultato una ammettenza a suscettanza unitaria.



Infatti si trova che y(d_3^++\lambda/4)=1.00+\text{j}1.20



il secondo stub, quello da porre alla sezione \text{AA'}, è deputato ad annullare la parte immaginaria dell'ammettenza che si sta vedendo alla sezione \text{AA'}, quindi dovra avere una suscettanza pari a

b_{stub2}=-\text{Im}[y(d_3^++\lambda/4)]=-1.2

La sua lunghezza dovrà quindi essere

\boxed{l_2=0.112\lambda=0.11(1\, \text{m})=0.11 \, \text{m}}



A questo punto l'esercizio è finito in quanto, nell'immediata sinistra della sezione \text{AA'} si vede una ammettenza normalizzata pari a

y_{AA'}=y(d_3^++\lambda/4)+y_{stub2}=1

e, conseguentemente, una impedenza normalizzata unitaria

z_{AA'}=1/y_{AA'}=1

ossia si è nelle condizioni di adattamento.


Conclusioni - mi scuso per la lunghezza indecente del post, ho cercato di riportare (con un pessimo risultato) solamente i passaggi chiave dell'esercizio. Forse era preferibile splittare il thread in più parti.
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