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Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesgue

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesgue

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 30 ott 2016, 23:30

Che differenza c'è tra i due tipi di funzioni? Non capisco perché se una funzione è Lebesgue-integrabile, può non essere Riemann-integrabile mentre se è Riemann-integrabile, è sicuramente Lebesgue-integrabile.

La definizione di integrale di Riemann per via grafica, indica la somma dell'area sottesa dai rettangolini (larghi uguali) che compongono la funzione definendo la somma superiore e inferiore di una funzione. La definizione matematica non me la ricordo non so che fine abbia fatto il quaderno di Analisi 1.

La definizione grafica di integrale di Lebesgue è simile (i rettangolini si estendono per tutta la durata della funzione, con la stessa altezza).
La definizione che mi hanno dato invece è:
f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} è Lebesgue integrabile se \exists  \left \{f_k\right \}_{k=1}^{\infty}costante a tratti tale che f(x)=\lim_{k->+\infty}f_k(x) per quasi ovunque x\in \mathbb{R}^n e
\int_{\mathbb{R}^n}f(x)dx:=\lim_{k->+\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_k(x)dx
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[2] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 31 ott 2016, 0:27

Sai cos'è un funzionale lineare? Se la risposta è no non puoi capire l'integrale di Lebesgue.
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[3] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 31 ott 2016, 10:38

Una funzione f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tale per cui se \exists m \in  \mathbb{R}, se si incrementa x di un valore \Delta x, allora f(x) incrementa di m \Delta x. In genere è scritta comef(x)=mx+q
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[4] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 31 ott 2016, 10:40

ok, non sai cos'è un funzionale lineare :D

Adesso non ho purtroppo molto tempo di spiegarmi, ma nel frattempo prova a cercare online.
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[5] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteIanero » 31 ott 2016, 11:03

Il mio intervento non c'entra niente con quello che voleva dire Pietro, ma volevo dirti una cosa che magari può tornarti utile se te la chiedano:

f(x)=mx+q

non è lineare.
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[6] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto Utente6367 » 31 ott 2016, 11:19

Nella pratica di tutti i giorni, l'integrale di Lebesgue non serve a nulla.
Capitoli di fisica e di ingegneria si scrivono senza conoscerlo.

Quando si arriva a comprenderne il senso, che va la di là l'aver imparato definizioni e teoremi e aver passato l'esame (di Analisi 3 o 4, di metodi matematici o analisi superiore), si fa un gran passo avanti nella comprensione della matematica moderna.
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[7] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 31 ott 2016, 12:39

Sapevo che era quella la definizione di funzione lineare. Sono aperto a chiarimenti. Su internet ho trovato quella come definizione. Ovunque.
Andando avanti in matematica mi sembra di vedere tante cose buttate li...Specie sto integrale di Lebesgue...
Immagino che non serva a niente, come metà delle cose che si imparano all'università, ma purtroppo devo impararlo.
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[8] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 31 ott 2016, 12:42

Non ti è stato detto che non serve a niente.

Per quanto riguarda la giusta osservazione di Foto UtenteIanero, prova ad applicare la definizione di linearità.
Sono certo che avrai una sorpresa.

Sei sicuro di non aver trovato la definizione di linearità affine?
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[9] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 31 ott 2016, 13:16

Ho trovato definizioni uguali a questa
https://users.dimi.uniud.it/~paolo.bait ... elem10.pdf
per le funzioni lineari e affini.
O intendi la definizione di linearità di funzioni tipo
f(\alpha x_1+ \beta x_2)=\alpha f(x_1)+ \beta f(x_2)?
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[10] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteIanero » 31 ott 2016, 14:21

Shika93 ha scritto:O intendi...?

Quella è la definizione di linearità generale per una qualsiasi funzione (non solo quelle che operano su numeri).

Ho trovato definizioni uguali a questa

No, manca il q (e deve mancare).
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