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Impedenza d'uscita

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[1] Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 19 mag 2017, 6:10

Buongiorno :D

Stamattina mi sono svegliato con un dubbio: quanto vale l'impedenza d'uscita di un amplificatore common emitter con reazione collettore-base?



Ovviamente, ho fatto un disegno del circuito equivalente di piccolo segnale, e ho analizzato quello... ve lo mostro con i generatori già spenti ed un generatore arbitrario applicato:



Appena finito il disegno, mi son detto: "oh cavolo, questo circuito chiama il teorema di Miller a gran voce!!"... ho quindi provveduto intanto ad "isolare" i miei due bipoli terminali, dividendo R_e in due resistenze:

R_k = (\beta + 1)R_e
R_z = \frac{\beta+1}{\beta}R_e

E dunque ho ridisegnato il circuito così:



A questo punto, il teorema di Miller: detto G_v il guadagno in tensione dell'amplificatore (che non specifico ulteriormente, perché spesso per il common emitter viene approssimato e semplificato), ho sostituito R_1 con le due resistenze:

R_{a} = R_1 \frac{1}{1 - G_v}
R_{b} = R_1 \frac{G_v}{G_v - 1}

E quindi il circuito è diventato questo:



Qui, ho ovviamente identificato i due "semi-circuiti" separati:



A questo punto, il circuito d'ingresso è poco interessante: basta notare che non scorre corrente al suo interno, ovvero I_b = 0.
Concentrandoci sul circuito d'uscita, invece, si può sfruttare quanto determinato appena ora per ridisegnarlo così:



E si ricava velocemente:

R_x = R_{out} = R_c \parallel R_b \parallel (r_o + R_z) = R_c \parallel R_1 \frac{G_v}{G_v - 1} \parallel (r_o + \frac{\beta+1}{\beta}R_e)

Che ne dite? Ho ragionato correttamente, oppure mi son perso qualcosa? Che far 'sti ragionamenti alle cinque di mattina non è proprio facilissimo :mrgreen:
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[2] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto UtenteMarkyMark » 19 mag 2017, 6:26

Ciao,
parto con una osservazione tecnica molto importante :mrgreen: .Secondo me sarebbe meglio indicare con un pallino il punto di connessione tra due fili, così


Da una prima lettura il tuo procedimento mi sembra chiaro e corretto. Hai però espresso l'impedenza di uscita in funzione della amplificazione che si ha tra i due punti dove R1 è collegata. Gv si riesce a calcolare facilmente?
O_/
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[3] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 19 mag 2017, 7:14

Si, in effetti il puntino sarebbe opportuno mettercelo...

Per quanto riguarda l'amplificazione, la sua espressione corretta entro le approssimazioni di piccolo segnale (calcolata qui, con qualche errore di battitura e trascurando l'effetto Early) sarebbe:

G_v = \frac{1}{1 + \frac{R_1}{R_c}} - \beta (R_1 \parallel R_c)\frac{1}{r_\pi + (\beta + 1)R_e}

Ma per quanto ne so io di solito R_1 \gg  R_c, per cui si usa approssimare questo guadagno a quello del circuito non retroazionato:

G_v \simeq \frac{-\beta R_c}{r_\pi + (\beta + 1)R_e}
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[4] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 19 mag 2017, 9:59

Aggiungo due piccoli appunti metodologici, che ho dimenticato di scrivere prima:

1) Nel dividere la resistenza di emettitore, ho implicitamente supposto che in r_o non passasse corrente... avendo scelto di considerare l'effetto Early non è proprio correttissimo, ma guardando i calcoli "precisi" (come sviluppati per esempio in Jaeger-Blalock) mi sono accorto che di fatto la corrente passa quasi tutta in R_e lo stesso (cosa tra l'altro prevedibile essendo r_o parecchio grande).

2) So bene che il modello di piccolo segnale che ho usato non è adatto ad analizzare le impedenze terminali del common emitter (quest'articolo lo spiega troppo bene per non capirlo), ma per le mie necessità l'approssimazione risulta probabilmente accettabile.
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[5] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto Utentegac » 19 mag 2017, 14:17

Buon pomeriggio,

purtroppo il conto non è corretto nel caso del calcolo di un'impedenza di uscita. Il motivo è da ricondursi al fatto che l'applicazione del teorema di Miller suppone che si vada a calcolare il parametro elettrico con una posizione del generatore fissa. Mi spiego meglio: il calcolo dell'impedenza di uscita richiede di applicare un generatore all'uscita e di spegnere quello all'ingresso, quindi vuol dire che mentre in precedenza era il valore dell'uscita a dipendere dall'ingresso adesso è tutto il contrario! Bisognerebbe andare a calcolare nuovamente il guadagno in tensione G_v e a quel punto si può riapplicare Miller con il nuovo guadagno (se prima calcolavamo G_v = \frac{V_2}{V_1} adesso si calcola G_v = \frac{V_1}{V_2}, supponendo di mantenere lo stesso nome ai morsetti. Ovviamente se il nuovo guadagno senza reazione non risulta molto maggiore di 1 l'approssimazione fondamentale per l'utilizzo del teorema di Miller non serve a granché. Quanto appena scritto ha tuttavia un'altra conseguenza: l'impedenza di ingressopuò essere calcolata in modo affidabile considerando il circuito equivalente di Miller che ci consente di calcolare G_v = \frac{V_2}{V_1}.
Alla luce della mia esperienza tutt'altro che considerevole, posso dire che - considerando la progettazione di un amplificatore come quello in esame - il valore ottenuto usando Miller erroneamente è maggiore del valore esatto, che andrebbe calcolato con Blackman, quindi se in un'applicazione specifica non serve sapere esattamente quanto vale l'impedenza, ma bisogna solo avere una stima grossolana, si può ritenere il valore di resistenza di collettore vicino a quello esatto, supponendo trascurabile la resistenza di Early e la resistenza R_b calcolata nel messaggio iniziale. Sono consapevole che quanto appena detto sia una bestemmia in ambito ingegneristico ma potrebbe essere un'informazione utile.

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[6] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 19 mag 2017, 17:19

(Se ho capito quello che intendi, il "nuovo gain" sarebbe semplicemente \frac{1}{G_v}...)

Comunque, ho riprovato senza usare il teorema di Miller, ripartendo dalla divisione della resistenza all'emettitore... trascurando r_o (che tanto ad un certo punto del procedimento avevo trascurato anche prima, pur avendola inserita nel risultato...), il risultato che si ottiene è:



I_x = \frac{V_x}{R_c} + \beta I_b + \frac{V_x(1 - \frac{1}{G_v})}{R_1} = \frac{V_x}{R_c} + \beta \frac{V_x}{G_v[r_\pi + (\beta + 1)R_e]} + \frac{V_x}{\frac{R_1 G_v}{G_v - 1}}

Ovvero (mettendo il modulo per tutelarsi da eventuali segni negativi nella corrente, in caso il verso fosse opposto a quello che ho scelto):

R_{out} = \bigg| R_c \parallel R_1 \frac{G_v}{G_v - 1} \parallel \frac{G_v[r_\pi + (\beta + 1)R_e]}{\beta} \bigg|
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[7] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto Utentegac » 19 mag 2017, 17:23

gac ha scritto:supponendo trascurabile la resistenza di Early e la resistenza R_b calcolata nel messaggio iniziale. Sono consapevole che quanto appena detto sia una bestemmia in ambito ingegneristico ma potrebbe essere un'informazione utile.


La resistenza in parallelo, essendo stata cambiata la posizione del generatore è R_a=\frac{R_1}{1-\frac{V_1}{V_2}}, non R_b. Avevo scritto male!
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[8] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto Utentegac » 19 mag 2017, 18:00

wruggeri ha scritto:(Se ho capito quello che intendi, il "nuovo gain" sarebbe semplicemente \frac{1}{G_v}...)



Purtroppo non è così. Se ci pensi bene. Per calcolare il G_v del teorema di Miller si suppone assente la resistenza di reazione, ma in una condizione del genere il transistor è spento (nessun segnale arriva sulla base, quindi il generatore pilotato è spento, il guadagno è nullo, quindi l'approssimazione del teorema di Miller (G_v \ll -1) non vale affatto.
Nel corso di elettronica analogica che ho sostenuto qualche anno fa, ci hanno insegnato a calcolare l'impedenza di uscita con la formula di Blackman
Z_{eq} = Z_D \cdot \frac{1+T_{SC}}{1+T_{OC}}
ove Z_D è l'impedenza equivalente tra i morsetti di interesse a generatore spento, T_{SC} e T_{OC} sono i rapporti di ritorno calcolati supponendo i morsetti di uscita in cortocircuito (ovviamente in questo caso è nullo) e circuito aperto (coincidente in tal caso con il rapporto di ritorno del modello asintotico) rispettivamente.
Abbiamo considerato proprio questo tipo di circuito. In realtà si potrebbero usare anche altri metodi basati sul rapporto di ritorno, ma questo credo sia il più semplice, perché consente di avere un risultato affidabile senza dover adoperare complicatissime formule della teoria dei circuiti. Se non dovessi conoscere questo metodo, in letteratura si trovano tanti esempi della formula di Blackman e sul calcolo del rapporto di ritorno.
Cercherò di dare la mia soluzione, ma la scrittura richiede un po' di tempo.
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[9] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 19 mag 2017, 18:05

Conosco la formula di Blackman... e avevo anche provato ad usarla, ma per il circuito di cui sopra veniva fuori una soluzione abbastanza elaborata per la T_{oc}, per cui alla fine ho preferito la "cara vecchia elettrotecnica".
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[10] Re: Impedenza d'uscita

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 19 mag 2017, 18:09

Il conto fatto per il calcolo della Zout non va bene per due ragioni, una trascurabile e l'altra invece pesante.

Quella trascurabile e` che hai usato il teorema di Miller per le correnti (forse non lo conosci con quel nome) per dividere la resistenza di emettitore in due parti. Andrebbe bene, ma in quel circuito hai messo anche la r_0 che fa si` che la suddivisione della corrnente fra i due rami non sia piu` dipendente solo da \beta_0. Poi pero` hai deciso che era in caso di trascurare r_0 e mi pare una buona scelta.

Il secondo errore, fondamentale, e` che stai usando Miller per calcolare l'impedenza di uscita, senza avere "rigirato" l'amplificatore per quanto riguarda ingresso e uscita, come spiegato da Foto Utentegac

L'impedenza di uscita la calcolerei partendo dal circuito originale, in cui calcolo la resistenza di ingresso di base, r_\pi+(\beta_0+1)R_E=R_B che e` praticamente tutto quello che serve nei conti successivi. Eventualmente si potrebbe anche calcolare la transconduttanza del blocco transistore+RE, che vale circa 1/RE, ma si puo` fare a meno di usarla.

Se poi si applica la definizione di impedenza, anzi di ammettenza, usando un generatore di prova di tensione Vx lo schema diventa



dove ho messo sulla base la resistenza equivalente. Per trovare l'ammettenza di uscita devi calcolare I1+I2+I3 che puoi calcolare indipendentemente una dall'altra perche' sull'uscita ho messo un generatore di tensione. Se fosse stato di corrente sarebbe stato piu` complicato.

In generale I3 e` il contributo maggiore, se il circuito e` ben progettatto, e sempre sotto le stesse condizioni Req<<RB e la transconduttanza equivalente e` 1/RE. Allora la corrente IT puo` essere approssimata come

I_T\approx I_3=\frac{V_T R_{eq}}{R_{eq}+R_1}\frac{1}{R_E} e questa da` una prima approssimazione della corrente IT. Il primo partitore calcola la tensione di base, che moltiplicata per la gm equivalente da` la corrente I3.

In pratica Z_o=R_E\left(1+\frac{R_1}{R_{eq}}\right ) e questa e` una cruda approssimazione della resistenza di uscita. Se si vuole fare tutto il conto per bene, allora si trovano i tre contributi separati delle correnti, alcuni immediati, altri piu` lunghi

I_1=\frac{V_T}{R_C}
I_2=\frac{V_T}{R_1+R_{eq}/\!/R_B}
I_3= I_2 \frac{R_{eq}}{R_{eq}+R_B}\beta_0

Poi si puo` anche usare l'EET per le impedenze, Blackman...
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