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Delta di Dirac - Proprietà derivate

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtenteDirtyDeeds, Foto UtenteIanero, Foto UtentePietroBaima

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[1] Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 9:07

Indagando su un argomento riguardante la Delta di Dirac mi sono trovato di fronte ad un ostacolo teorico.

La distribuzione di Dirac è definita formalmente come segue :

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  \varphi(x)  dx = \varphi(0)

Dove le funzioni di test hanno le seguenti proprietà :

\varphi \in \mathbb{C}^{\infty} a supporto limitato.

Fino qui nessun problema, è una definizione di distribuzione classica dove si richiede che la \delta agisca all'interno dell'integrale in modo tale da ricavare il valore della funzione di test nel punto 0.

In diversi testi viene detto che la proprietà :

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x) dx = 1

deriva dalla definizione ( prima equazione ) senza porre altre condizioni aggiuntive.

Il problema è che quando danno il cenno di dimostrazione si incorre in cose più o meno opinabili ovvero una dimostrazione convincente non l'ho ancora trovata.

L'unica risposta sensata a questo quesito l'ho trovata qui.

Una possibile dimostrazione potrebbe passare attraverso questa considerazione :

(If you're paying attention, you might object that \delta(1) is on the face of it a nonsense expression, since the constant function 1 is not compactly supported and therefore not a test function. But since \delta is compactly supported, it is easy enough to extend its definition to a larger function space than the space of test functions.)

ma non saprei come estendere lo spazio di funzioni "formalmente" ( magari qualcuno di voi ha un libro a riguardo ).

Ho fatto alcune prove prendendo in considerazione la definizione di distribuzione :


\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{n}(x)  \varphi(x)  dx = \varphi(0)

Essendo \delta_{n} una successione di funzioni tendente alla \delta.



( nel caso in figura ho usato la sequenza di rettangoli ma andrebbe bene anche una sequenza diversa )


\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{n}(x)  \min_{t \in [-\epsilon , +\epsilon]} \varphi(x)  dx \le \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  \varphi(x)  dx \le \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{n}(x)  \max_{t \in [-\epsilon , +\epsilon]} \varphi(x)  dx

A questo punto facendo tendere n \to \infty i valori \varphi_{max} e \varphi_{min}
tendono a \varphi(0) per cui l'integrale di sinistra e destra varrebbero
\varphi(0)  \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  dx da cui deriverebbe che :

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x) dx = 1

Infatti :

\lim_{n \to \infty} \varphi_{min}(n) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{n}(x)  dx \le \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  \varphi(x)  dx \le \lim_{n \to \infty} \varphi_{max}(n) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{n}(x)  dx

Per cui risulta :

\varphi ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  dx \le \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  \varphi(x)  dx \le \varphi ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  dx

Cioè :

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  \varphi(x)  dx = \varphi ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  dx

Ma per definizione :

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)  \varphi(x)  dx = \varphi ( 0 )

Da cui per il confronto non può essere che :
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x) dx = 1


Secondo voi la dimostrazione è formalmente corretta oppure sfugge qualcosa ? :roll:
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[2] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtenteGidl » 1 set 2017, 10:42

Non ho ancora letto per bene la tua dimostrazione, ma non te la puoi cavare dicendo che essendo la delta a supporto limitato allora anche il prodotto con una differente funzione f lo sarà; quindi puoi considerare, invece di f, la sua corrispondente a supporto limitato?
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[3] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 10:48

Anche se a supporto limitato non sarebbe necessariamente \varphi \in \mathbb{C}^{\infty} ( in pratica rischi di troncare di brutto funzioni di tipo \varphi \in \mathbb{C}^{\infty} ) e quindi cade la definizione di distribuzione.
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[4] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 1 set 2017, 11:46

In realtà, non è quella che hai dato all'inizio la definizione di delta di Dirac.

La delta di Dirac è un particolare funzionale lineare su un opportuno spazio di funzioni, e l'azione di tale funzionale lineare viene spesso scritta in modo improprio come l'integrale da te dato, ma quell'integrale non definisce la delta.
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[5] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 1 set 2017, 13:24

Aggiungo qualcosa su questo punto:

dimaios ha scritto:ma non saprei come estendere lo spazio di funzioni "formalmente" ( magari qualcuno di voi ha un libro a riguardo )


L'idea è questa: a una funzione f sufficientemente regolare puoi associare il funzionale lineare

\varphi\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)  \varphi(x)  \mathrm{d}x

dove \varphi appartiene allo spazio delle funzioni di test. In questo modo definisci un'iniezione tra le funzioni (almeno certe, sufficientemente regolari) e lo spazio vettoriale dei funzionali lineari sullo spazio delle funzioni di test. Lo spazio dei funzionali però è più grande: ci sono funzionali lineari non scrivibili come integrali di funzioni. Un esempio è quello della \delta, che è il funzionale definito da \delta:  \varphi\mapsto  \varphi(0).

Per abuso di notazione, la precedente definizione viene spesso scritta come integrale.
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[6] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 13:24

Si Foto UtenteDirtyDeeds hai ragione ma sotto certe condizioni il teorema di Riesz Markov Kakutani permette l'equivalenza con un integrale e questo è uno di quei casi.

Al di là di questa considerazione teorica sicuramente importante, ti sarei grato se avessi una dimostrazione valida del fatto che la definizione di distribuzione di Dirac implica il fatto che l'integrale della medesima su tutto il dominio sia unitario.
E' una cosa che cerco da parecchio tempo ma evidentemente, anche se i testi citano questa proprietà come conseguenza della definizione , non riesco ad individuarne la dimostrazione formale. :-|
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[7] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 1 set 2017, 13:27

No, quel teorema non permette quell'equivalenza (così come l'hai scritta in [1]), perché la \delta non ammette una densità.

dimaios ha scritto:la definizione di distribuzione di Dirac implica il fatto che l'integrale della medesima su tutto il dominio sia unitario.


Non c'è una dimostrazione per una notazione sbagliata ;-)
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[8] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 13:30

Ok. Prendendo atto che la notazione sia sbagliata. Come faccio a dimostrare la cosa ? :roll:
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[9] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 1 set 2017, 13:35

Non riesco a capire cosa vuoi dimostrare: non c'è una dimostrazione per quella cosa, perché non esiste il concetto di integrale di una distribuzione, almeno non nel senso usuale.
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[10] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 13:40

Ok. Prendendo atto che la notazione sia sbagliata.
Data la distribuzione:

\delta: \varphi\mapsto \varphi(0)

Vorrei sapere come si dimostra che :

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x) dx = 1


L'ultimo integrale viene presentato da sempre come un risultato valido e largamente impiegato per cui a meno che tu non dica che è un falso vorrei capire da dove viene partendo dalla definizione di Distribuzione di Dirac.

P.S. Su alcuni libri il risultato viene indicato come conseguenza della definizione e non come proprietà aggiuntiva per la definizione.
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