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Delta di Dirac - Proprietà derivate

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtenteDirtyDeeds, Foto UtenteIanero, Foto UtentePietroBaima

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[11] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 1 set 2017, 13:41

dimaios ha scritto:per cui a meno che tu non dica che è un falso


E' quello che ti sto dicendo da un po' ;-)
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[12] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 13:43

Allora vuol dire che migliaia di ingegneri al mondo utilizzano una cosa falsa che per qualche motivo funziona.
A questo punto voglio capire fino in fondo la cosa.
Please help!
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[13] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 1 set 2017, 14:16

Come ti ho scritto a una funzione f sufficientemente regolare puoi associare il funzionale lineare

\varphi\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)  \varphi(x)  \mathrm{d}x

La \delta è il funzionale lineare (sempre sul solito spazio di funzioni di test) \delta:  \varphi\mapsto  \varphi(0).

Ora, per abuso di notazione, ci si immagina che esista (non esiste) una funzione f_\delta che attraverso l'iniezione definita dall'integrale dia il funzionale \delta (nota che distinguo il funzionale dalla fantomatica inesistente funzione)

\varphi\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}f_\delta(x)  \varphi(x)  \mathrm{d}x = \varphi(0).

Se a questo punto scegli come funzione di test la funzione costante \varphi(x)=1 (che non è una funzione di test, ma puoi immaginare di farla a supporto limitato), la notazione precedente ti dà

\varphi\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}f_\delta(x)   \mathrm{d}x = 1

Nei libri di ingegneria e nei libri di fisica, credimi, non c'è veramente nulla più di quanto scritto sopra.

Mi sembra che esistano dei modi di definire il concetto di integrale per una distribuzione, e può darsi che possano dare un senso matematico a quanto scritto sopra, ma la cosa non sarebbe così diretta.
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[14] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 14:27

Bene, questo mi è chiaro ed è quello che mi hanno insegnato nel corso di Metodi matematici per l'ingegneria.
Quello che non mi torna è che dovrei dimostrare che l'integrale vale 1 per tutte le funzioni di test inseribili nell'integrale mentre viene inserita \varphi(x) = 1 che non è neanche a supporto limitato.
Come è possibile estrapolare questo risultato utilizzando un'unica funzione ?
Questo è il dubbio. Non dovrebbe risultare evidente da una dimostrazione inserendo qualsiasi funzione di test ?
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[15] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 14:51

Foto UtenteDirtyDeeds, uno dei migliori documenti che ho trovato in rete sull'argomento è questo scaricato dal sito del CERN :

978-3-642-23617-4_BookBackMatter.pdf
(402.53 KiB) Scaricato 10 volte


A pag. 443 tra l'equazione ( A.5 ) ed ( A.6 ) c'è la frase incriminata che hai tra le altre cose citato anche tu.

Secondo me ( ma potrei sbagliare ) la relazione ( A.6 ) vale indipendentemente dalla funzione di test impiegata ovvero è una proprietà della distribuzione per cui non può essere dimostrata inserendo nell'integrale una funzione di test privilegiata come \varphi(x) = 1

Scusa l'insistenza ma è una cosa che vorrei risolvere perché mi da fastidio non capire l'origine di quella proprietà e deve avere un senso altrimenti non sarebbe citata ed utilizzata in continuazione ( fondamentalmente mi rode il fatto che se la relazione non fosse vera mi avrebbero preso per il culo dall'esame di teoria del segnali in poi :mrgreen: ..... ed io mi sarei fidato sulla parola :? )
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[16] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 1 set 2017, 14:55

Dovete definire un opportuno spazio di Sobolev per la funzione generalizzata.
Stefano, sei andato a pescare una cosa per nulla banale da definire in modo formale.
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[17] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 1 set 2017, 15:04

PietroBaima ha scritto:Dovete definire un opportuno spazio di Sobolev per la funzione generalizzata.


Foto UtentePietroBaima, credo di no per quello che vuole Foto Utentedimaios.
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[18] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utente6367 » 1 set 2017, 15:05

dimaios ha scritto:Allora vuol dire che migliaia di ingegneri al mondo utilizzano una cosa falsa che per qualche motivo funziona.
A questo punto voglio capire fino in fondo la cosa.
Please help!



Per questo molti ingegneri non si accontentano e fanno il corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria !
:D
Per imparare la teoria dell distribuzioni (anche).

Ai "miei" tempi era un quarto corso di Analisi matematica e il prof. Amerio (quello che lo aveva introdotto in Italia), lo teneva identico alla facoltà di Scienze con il nome di Analisi Superiore.

A parte i ricordi personali.
O ti accontenti di una trattazione intuitiva ma non rigorosa.
Oppure ti prendi un testo di teoria delle distribuzioni e vai a fondo.


PS
Bene, questo mi è chiaro ed è quello che mi hanno insegnato nel corso di Metodi matematici per l'ingegneria.


Ma in questo corso, come le avete trattate le distribuzioni?
Perché quello che indichi come un integrale non è un integrale...
Infatti in teoria delle distribuzioni di solito si indica con il "crochet" (parentesi angolate < , > ).
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[19] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 15:15

Infatti in teoria delle distribuzioni di solito si indica con il "crochet" (parentesi angolate < , > ).


Esatto, come lo hanno indicato nel corso ( vecchio ordinamento :mrgreen: ).

Il problema è che nessuno mi ha mai dimostrato il perché :


\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1

... in modo consistente. Il dubbio è quello che ho espresso nei post precedenti.

Per tentare di dimostrarlo ho utilizzato le successioni di funzioni con il limite ... in questo modo, siccome la dimostrazione vale per qualsiasi successione che tende alla distribuzione di Dirac pensavo di aver risolto ma parlando con voi probabilmente qualcosa sfugge.

Usando la successione di funzioni l'integrale ha senso per cui pensavo di .... cavarmela.

Se così non è vorrei capire dove è formalmente sbagliata la dimostrazione e come procedere in modo corretto.
Foto UtenteDirtyDeeds ha anche suggerito l'inconsistenza della scrittura per cui non ci sarebbe da dimostrare nulla visto che non ha senso l'integrale di una distribuzione inteso in senso classico.

La relazione viene però largamente citata ed impiegata per cui deve avere un senso, giusto ?
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[20] Re: Delta di Dirac - Proprietà derivate

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 set 2017, 15:21

PietroBaima ha scritto:Stefano, sei andato a pescare una cosa per nulla banale da definire in modo formale.


Foto UtentePietroBaima, immagino che non sia una cosa banale ma pensavo neanche impossibile e visto che è un dubbio ricorrente vorrei arrivare ad una soluzione plausibile.
Comunque penso che confrontandoci tra noi magari citando alcune fonti si possa concretizzare un risultato comprensibile e formalmente corretto.
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