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Dimostrare che un insieme è finito

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 3 set 2017, 11:57

Forse è una cosa banale, ma evidentemente non per me.

Devo dimostrare che E_n=\begin{Bmatrix}
x \in \mathbb{N} |x\leq n
\end{Bmatrix} è un insieme finito.

In altre parole devo far vedere che non c'è modo di trovare una bijezione tra E_n e un qualunque suo sottoinsieme.
Ho tentato per induzione, ma alla fine si arriva a dover dimostrare che l'unione di due insiemi finiti è un insieme finito, di nuovo punto e accapo.

C'è ovviamente la soluzione brute-force di esplorare l'insieme di tutte le funzioni che è possibile definire tra E_n e (uno per uno) tutti i suoi sottinsiemi e vedere che nessuna di esse è biunivoca.
Cercavo qualcosa di più ragionevole.
Qualche input?
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[2] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 3 set 2017, 22:57

L'insieme descritto è finito perché ha un massimo (x<=n) e ha un minimo che è 0 per definizione di N.
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[3] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto Utenteboiler » 3 set 2017, 23:14

Non so, forse ho una bassa sensibilità matematica, ma mi sembra che si stia cercando di dimostrare l'ovvio.
Ad ogni modo... si potrebbe provare a dimostrare per induzione che ogni insieme E_n ha cardinalità |E_n| < \aleph_0.

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[4] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIlGuru » 3 set 2017, 23:16

Non c'era un teorema che affermava che un insieme è finito se è numerabile?
\Gamma\nu\tilde{\omega}\theta\i\ \sigma\epsilon\alpha\upsilon\tau\acute{o}\nu
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[5] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 3 set 2017, 23:28

boiler ha scritto:Non so, forse ho una bassa sensibilità matematica, ma mi sembra che si stia cercando di dimostrare l'ovvio.

Vabbè, la prova di questo, se teniamo conto del principio del minimo in N (già dimostrato) e della condizione dell'insieme (x <=n), e del fatto che l'insieme è ordinato non parzialmente poiché contiene tutti gli elementi, crescente da 0 a x, si potrebbe definire banale.
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[6] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto Utenteboiler » 4 set 2017, 5:47

IlGuru ha scritto:Non c'era un teorema che affermava che un insieme è finito se è numerabile?


No, \mathbb{N}, \mathbb{Z} e \mathbb{Q} sono per esempio numerabili e infiniti.

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[7] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 4 set 2017, 7:10

Ragazzi vi ringrazio, ma no, quello che bisogna dimostrare è:

"L'insieme En non è in corrispondenza biunivoca con nessuno dei suoi sottoinsiemi propri."
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[8] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 4 set 2017, 7:38

Considera una relazione d'ordine totale sugli oggetti dell'insieme A (numerabile). È totalmente arbitraria solo per averne una.
A questo punto puoi scrivere in modo non ambiguo una mappa biettiva fra A e B come una sequenza che per ogni componente (la cui posizione è legata alla già citata relazione d'ordine) mi dice l'elemento di B in cui vado.
Puoi facilmente dimostrare per induzione che costruire una tale sequenza è impossibile se B è un sottoinsieme proprio di A. Prova a dimostrare il numero di possibili mappe esistenti. Alla fine ti trovi ad applicare il principio di moltiplicazione con un insieme vuoto. Questo rende il numero di mappe esistenti 0 e quindi dimostra che non c'è biezione. E quindi l'insieme è finito.
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[9] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 4 set 2017, 9:31

Io lo dimostrerei per assurdo ipotizzando che ci sia una corrispondenza biunivoca.
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[10] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 4 set 2017, 9:59

Fairyvilje non ho capito il procedimento mi hai suggerito, comunque ho fatto (a meno di errori).
Oggi posto la dimostrazione che ho fatto io, ora devo staccare.

Grazie comunque a tutti :)
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