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Dimostrare che un insieme è finito

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[31] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 6 set 2017, 10:38

Ianero ha scritto:Quando ho assunto che E_n sia finito?


Tu sei partito dicendo:

Ianero ha scritto:Basta supporre che per assurdo E_n sia infinito (nel senso di Dedekind) e far vedere che allora anche E_{n-1} lo è


Qui assumi che E_n sia infinito, ma da questa assunzione non dimostri che E_{n-1} è infinito.

Ianero ha scritto:Poiché un insieme con un solo elemento è finito, allora nessun è infinito.


Qui assumi la definizione di finitezza 2) data in [12].

Ianero ha scritto:Prima però possiamo finire di parlare di questo esercizio particolare?


No, perché è un esercizio lungo e io ho poco tempo e dovrei farti troppe osservazioni. Scusa la franchezza, ma il tuo modo di scrivere di matematica è ancora troppo acerbo per poterti cimentare con dimostrazioni lunghe, per questo ti ho detto di partire dagli esercizi più semplici, in modo che io riesca a starti dietro con un impegno di tempo ragionevole e tu riesca a raffinare il discorso logico.
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[32] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 set 2017, 10:51

DirtyDeeds ha scritto:Qui assumi che En sia infinito, ma da questa assunzione non dimostri che E_{n-1} è infinito.


Sì certo, non ho postato la dimostrazione di questo punto, ma quello che volevo dire è che si può seguire una strada logica come quella descritta o sbaglio?

Ovvero: Supporre che En sia infinito -> far vedere che E_{n-1} allora lo è anch'esso -> arrivare all'assurdo che allora anche l'insieme di un solo elemento è infinito, ma dimostrare che quest'ultimo è finito secondo Dedekind.

Mi sembra più naturale di quella che ho provato io in [12], o c'è qualche errore logico?

No, perché è un esercizio lungo e io ho poco tempo e dovrei farti troppe osservazioni. Scusa la franchezza, ma il tuo modo di scrivere di matematica è ancora troppo acerbo per poterti cimentare con dimostrazioni lunghe, per questo ti ho detto di partire dagli esercizi più semplici, in modo che io riesca a starti dietro con un impegno di tempo ragionevole e tu riesca a raffinare il discorso logico.


Va bene, grazie.
Poi prendo qualche esercizio dal libro ancora precedente a questo che credo di aver già saputo risolvere e apro un'altra discussione per chiedere conferma.

Grazie ancora.
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[33] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 6 set 2017, 13:04

Ianero ha scritto:1) Un insieme è finito secondo Dedekind se non è possibile mapparlo biunivocamente in un suo sottoinsieme proprio
2) Un insieme è finito se è mappabile biunivocamente con un E_n=\begin{Bmatrix}
1,2,...n
\end{Bmatrix} per qualche n.

Non so cosa intendi per "mappare" ma so che un insieme è infinito se è equipollente ad un suo insieme proprio, cioè se esiste una funzione f:A\rightarrow A iniettiva ma non suriettiva, oppure suriettiva ma non iniettiva.
In un insieme finito questo non capita.
Ad esempio \mathbb{N} è un insieme infinito perché la funzione successore \sigma : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} definita come \sigma(n) = n + 1 è, secondo gli assiomi di Peano, iniettiva ma non suriettiva.

Quello che riporti tu sembra il sistema che si utilizza per "contare" gli elementi di un insieme.
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[34] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 6 set 2017, 13:41

Ianero ha scritto:Poi prendo qualche esercizio dal libro ancora precedente a questo che credo di aver già saputo risolvere e apro un'altra discussione per chiedere conferma.


L'importante è che siano esercizi di teoria degli insiemi. Se vuoi ti indico qualcuno di quelli dello Zorich del capitolo precedente che sarei curioso di vedere come risolvi.
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[35] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 6 set 2017, 13:46

C'è anche il Facchini che ha parecchi esercizi, anche risolti, anche se non mi piace particolarmente.
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[36] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 set 2017, 14:21

Se vuoi ti indico qualcuno di quelli dello Zorich del capitolo precedente che sarei curioso di vedere come risolvi.


Certo, grazie.
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[37] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 set 2017, 14:39

sebago ha scritto:
DirtyDeeds ha scritto:...molti laureati avrebbero avuto difficoltà a risolverlo, e lì ci si aspettava che fosse risolto da studenti alla fine delle superiori...

:shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock:


Se vuoi capire a fondo cosa dice DD, guardati per esempio qualche esercizio dell'eserciziario del Demidovic, edizioni MIR. Prendine pure qualcuno completamente a caso.
Sono esercizi per i ragazzi delle superiori: quindi Demidovic, nella prefazione, dice che si limita a esercizi semplici.

Però procurarti un crick per rimettere a posto la mascella, per dopo.

Se vuoi, questa è l'edizione inglese di un libro per ragazzi dai 12 anni in poi di matematica, russo.

nella prefazione:

Our book collects math problems that covers a wide range of
different topics devoted to solving math problems with real life
applications for students aged 12 years and older.


Nel capitolo: "matematica per la fisica", come esempio a caso:

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[38] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto Utentemarco76 » 6 set 2017, 15:16

Del Demidovic diceva il mio professore di analisi che lui stesso non sapeva risolvere tutti gli esercizi :D
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[39] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 21 set 2017, 15:42

DirtyDeeds ha scritto: uno è un libro di analisi, l'altro un libro di teoria degli insiemi

Su questa frase mi è venuta una curiosità.
Qual è la differenza sostanziale tra "analisi" e "teoria degli insiemi" ?
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[40] Re: Dimostrare che un insieme è finito

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 22 set 2017, 21:41

Non vorrei dire fesserie ma la teoria degli insiemi è il fondamento della matematica sia nel discreto che nel continuo, è l'algebra.
Mi pare sia stato Cantor a teorizzarla nel modo in cui la conosciamo, anche se quella carogna di Russel si è subito attivato per trovarci dei paradossi.
Con la teoria degli insiemi costruisci tutto quello che serve per la matematica del continuo.
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