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Dubbio su una tensione in regime stazionario

Circuiti e campi elettromagnetici

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[11] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 6 set 2017, 15:09

marymarymary ha scritto:...la soluzione dovrebbe essere
v_{c_{2}}\left ( t \right )= 1+e^{-0,0133t} + 53,3  V


Non mi piace. L'espressione non è dimensionalmente corretta, sembra che voglia sommare dei numeri ad una tensione, la tensione a regime su C2 a t=0- è zero, e se c'è tensione su C2 vuol dire che l'interruttore è chiuso e la soluzione dovrebbe essere del secondo ordine.
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[12] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto Utentemarymarymary » 6 set 2017, 16:23

Credo di aver capito il mio errore, nel sistema risultante dalle LKT, LKC e dalle equazioni caratteristiche dei bipoli, ho sbagliato un equazione, per cui l'equazione differenziale risultante era errata.
Ora che ho risolto però non riesco a trovare l'equazione differenziale perché mi trovo davanti questo sistema che non so risolvere...
\begin{Bmatrix}C_{1}\frac{\partial v_{c_{1}}}{\partial x}+\frac{R3-R1}{R1R3}v_{c_{1}}+\frac{v_{c_{2}}}{R3}=0
 &  &  & \\ C_{2}\frac{\partial v_{c_{2}}}{\partial x}+\frac{v_{c_{2}}}{R2}+C_{1}\frac{\partial v_{c_{1}}}{\partial x}+\frac{v_{c_{1}}}{R1}=0
 &  &  & 
\end{Bmatrix}
Come procedere?
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[13] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto Utentegac » 6 set 2017, 16:30

Devi ricavare un'equazione differenziale del secondo ordine contenente solamente una sola delle incognite. Per fare questo devi trovare una relazione tra v_{C_1} e v_{C_2} e calcolarne anche la derivata prima rispetto al tempo. A questo punto potrai risolvere il problema, risolvendo l'equazione differenziale con le opportune condizioni iniziali

Anziché usare la derivata parziale prima rispetto a x sarebbe scrivere la derivata prima rispetto al tempo \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} usando questo comando \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
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[14] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto Utentemarymarymary » 6 set 2017, 16:34

gac ha scritto:1)Per fare questo devi trovare una relazione tra v_{C_1} e v_{C_2}

2)Anziché usare la derivata parziale prima rispetto a x sarebbe scrivere la derivata prima rispetto al tempo \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} usando questo comando \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}


1) è proprio in questo il mio problema...
2) ok la prossima volta farò così! Grazie del suggerimento :-)
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[15] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto Utentegac » 6 set 2017, 18:14

Non garantisco sulla correttezza dei calcoli, ma ho proceduto così. Definendo l'equazione al nodo con C_2 e l'equazione alla maglia con C_1 e C_2 e sapendo che v_{R_1} =
 v_{C_1} e v_{R_3} = v_{C_3} si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali

\begin{cases}
C_2 \dfrac{\mathrm{d}v_{C_2}}{\mathrm{d}t} = I_0 - \frac{v_{C_1}}{R_1} - C_1 \dfrac{\mathrm{d}v_{C_1}}{\mathrm{d}t} - \frac{v_{C_2}}{R_2} \\
v_{C_2} = v_{C_1} - R_3 \left( I_0 - \frac{v_{C_1}}{R_1} - C_1 \dfrac{\mathrm{d}v_{C_1}}{\mathrm{d}t} \right)
\end{cases}

derivando la seconda equazione rispetto al tempo si ottiene

\dfrac{\mathrm{d}v_{C_2}}{\mathrm{d}t}= \left( 1 + \frac{R_3}{R_1} \right) \dfrac{\mathrm{d}v_{C_1}}{\mathrm{d}t} + C_1  R_3\dfrac{\mathrm{d}^2v_{C_1}}{\mathrm{d}t^2}

Sostituendo le ultime due equazioni nella prima si ottiene l'equazione del secondo ordine

C_1 C_2 R_3 \dfrac{\mathrm{d}^2v_{C_1}}{\mathrm{d}t^2} + \left[ C_1 \left(1+ \frac{R_3}{R_2} \right)
 + C_2 \left(1+ \frac{R_3}{R_1} \right) \right] \dfrac{\mathrm{d}v_{C_1}}{\mathrm{d}t}
+ \left( \frac{R_1 +
 R_3}{R_1 R_2} + \frac{1}{R_1} \right) v_{C_1} =
= \left(1 + \frac{R_3}{R_2} \right)  I_0

Si può verificare che ogni termine è dimensionalmente una corrente. Sostituendo le variabili con i numeri e risolvendo l'equazione con le condizioni iniziali si dovrebbe ottenere il risultato.
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[16] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto Utentemarymarymary » 6 set 2017, 18:29

Mi trovo con i tuoi passaggi, ma l'esercizio mi richiede la tensione su C2..
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[17] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto Utentegac » 6 set 2017, 18:32

Puoi calcolare v_{C_1} e poi sostituire la sua funzione nella seconda equazione del sistema :D
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[18] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto Utentemarymarymary » 6 set 2017, 18:35

Ah giusto, ecco una strada che non riuscivo a vedere ahahahah
Grazie mille gac sei gentilissimo!
Dopo cena mi ci metto e completo l'esercizio! :D
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[19] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 6 set 2017, 19:22

marymarymary ha scritto:...Come procedere?


Prova a guardare se il metodo esposto in questo messaggio viewtopic.php?f=2&t=70506#p726084 ti aiuta.
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[20] Re: Dubbio su una tensione in regime stazionario

Messaggioda Foto Utentemarymarymary » 7 set 2017, 12:29

Salve a tutti, ieri ho terminato l'esercizio, ma non sono convinta del risultato. Vi spiego un po' cosa ho fatto.
1)Ho calcolato la tensione su C1, con le regole per i circuiti del secondo ordine, ed ho ottenuto questa soluzione:
v_{c_{1}}\left ( t \right )=55,78e^{11,9t}+64,22e^{-17,48t}+93,33 V
2)Ho sostituito Vc1 nell'equazione:
C_{2}\frac{\mathrm{d} v_{c_{2}}}{\mathrm{d} t}+\frac{v_{c_{2}}}{R_{2}}+C_{1}\frac{\mathrm{d} v_{c_{1}}}{\mathrm{d} t}+\frac{v_{c_{1}}}{R_{1}}=0
considerando quindi Vc1 e la sua derivata, come se fossero delle costanti.
3)Ho risolto l'equazione ottenuta, che contiene solo la derivata prima, come se fosse un'equazione del primo ordine(Credo sia qui l'errore, perché questo mi porta al risultato del primo ordine:
v_{c_{2}}=-53,3e^{8,33t}+53,3 V
ho pensato, forse dovrei fare la derivata dell'equazione ottenuta prima di procedere? Il problema è che ci ho provato, ma non mi porta a nulla, o meglio, le costanti si annullano(diventano entrambe 0), e mi rimane solamente 53,3 V)
Cos'è che continuo a sbagliare? XD
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