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Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto UtenteDocEmmettBrown » 17 ott 2017, 12:20

Buongiorno, ho una perplessità grave sul metodo che applico per calcolare un equivalente alla cascata di numerosi doppi bipoli che rappresentano spezzoni in successione di una linea MT.

Procedo con l'introdurre la situazione: al momento sto lavorando sulla mia tesi di laurea magistrale e, per una particolare porzione della trattazione della stessa, mi ritrovo ad avere a che fare con una linea in media tensione "spezzettata" in numerose frazioni. Tali frazioni sono rappresentate, tra i dati a mia disposizione, come modelli a pi greco di cui mi sono noti i parametri (di sequenza diretta, riportati a seguire senza notazioni specifiche poiché non utili allo specifico fine). L'obiettivo è quello di riportare il tutto ad un unico complessivo modello a pi greco che sia equivalente alla cascata dei molti che mi ritrovo tra le mani.


Quella riportata in figura è la cascata di due dei suddetti tratti di linea (opportunamente modellizzati a pi greco), mentre quelli che seguono sono i parametri noti per i singoli tronconi.

R_1=0.70112 ohm;
X_L1=0.35194 ohm;
X_C1=0.0056121 Mohm

R_2=0.33101 ohm;
X_L2=0.1257 ohm;
X_C2=1.3263 Mohm

Illustro il procedimento che ho deciso di seguire. Come da norma nel caso di elementi in cascata, ho pensato di riportare ognuno dei doppi bipoli a pi greco (qui ne rappresento solo due per semplicità) ad una corrispondente matrice di trasformazione, da moltiplicare poi alla successiva per trovare una matrice di trasformazione equivalente.



A seguire, le equazioni per il calcolo dei quattro elementi di ognuna delle due matrici. (le formulazioni generali, mentre i risultati sono riportati dopo)

\begin{bmatrix}A=1+2*X_L/X_C-2*R/X_C*1i & B=R+X_L*1i \\C=(R+(X_L+X_C)*1i)/(-X_C^2)*4 & D=A \end{bmatrix}

Nel caso lo riteneste necessario, produrrò in latex anche la dimostrazione di tali formule. I risultati che ottengo (utilizzando Matlab), per le due matrici, sono i seguenti:

A_1=(1.0001 - 0.0002i)
B_1=(0.7011 + 0.3519i) ohm
C_1=(-0.0000 - 0.0007i) S
D_1=(1.0001 - 0.0002i)

A_2=(1.0000 - 0.0000i)
B_2=(0.3310 + 0.1257i) ohm
C_2=(-0.0000 - 0.0000i) S
D_2=(1.0000 - 0.0000i)

I risultati sono qui portati approssimati in maniera abbastanza brutale, ma tale è l'output di Matlab. (do per scontato però che il programma tenga conto delle altre cifre...sbaglio? Che sia qui che s'annida l'errore?)
A questo punto procedo con il prodotto tra le due matrici, che me ne restituisce una con tali risultati:

A_eq=(1.0001 - 0.0003i)
B_eq=(1.0322 + 0.4776i) ohm
C_eq=(-0.0000 - 0.0007i) S
D_eq=(1.0002 - 0.0005i)

Infine, dato che l'intento è quello di ottenere un modello a pi greco equivalente ai due di partenza, trovo un modo per passare dalla matrice di trasmissione complessiva a dei parametri di impedenze/ammettenze equivalenti. Per farlo, parto dalla matrice di trasmissione di un doppio bipolo semplice:



\left(\begin{array}{c}V_1\\ I_1\end{array}\right)=\begin{bmatrix}1+\frac{Zeq*Yeq}{2} & Zeq \\Yeq*(1+\frac{Zeq*Yeq}{4}) & 1+\frac{Zeq*Yeq}{2} \end{bmatrix}\left(\begin{array}{c}V_2\\ I_2\end{array}\right)=\begin{bmatrix}Aeq & Beq \\Ceq & Deq \end{bmatrix}*\left(\begin{array}{c}V_2\\ I_2\end{array}\right)

Ne consegue che:

Zeq=Beq=(1.0322 + 0.4776i) ohm [dall'elemento (1,2) delle matrici]

\frac{Yeq}{2}=\frac{Aeq-1}{Zeq}=(7.8679*10^{-6} - 2.4824*10^{-4}i) S [dall'elemento (1,1) delle matrici]

Da questi valori giungo infine ai parametri espressi tutti in forma di resistenza/reattanza:

Req=real(Zeq)=1.0322 ohm
X_Leq=imag(Zeq)=0.4776 ohm

Zshunt=\frac{2}{\frac{Yeq}{2}}=(2.5511*10^{2} + 8.0487*10^{3}i) ohm
X_Ceq=imag(Zshunt)=8.0487*10^{3} ohm

A questo punto, avendo a disposizione un metodo di validazione tramite simulatore, mi rendo conto che i parametri serie sono corretti mentre quello trasversale no. (e ci voleva poco ad accorgersene, dato che la reattanza capacitiva verso terra io mi aspetto diminuisca con l'allungarsi della linea...anche se di poco, visti i parametri del secondo tronco.)

Ho rivisto il procedimento più e più volte, ma non riesco a capire dove sbaglio. (e sopratutto se quello che commetto è un errore di metodo o di calcolo/utilizzo del software Matlab) Ogni consiglio è ben accetto! (posso riportare anche il codice Matlab utilizzato, qualora lo si ritenesse necessario/interessante)
Grazie anticipatamente a chiunque volesse/potesse aiutarmi con quest'annosa questione! :-o
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[2] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 17 ott 2017, 17:58

Se mi dci la frequenza di riferimento,
provo a simularla con Microcap.
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[3] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto UtenteDocEmmettBrown » 17 ott 2017, 20:18

La rete opera alla frequenza di 50 Hz. Grazie della risposta :D
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[4] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto UtenteDanteCpp » 17 ott 2017, 20:41

DocEmmettBrown ha scritto:\begin{bmatrix}A=1+2*X_L/X_C-2*R/X_C*1i & B=R+X_L*1i \\C=(R+(X_L+X_C)*1i)/(-X_C^2)*4 & D=A \end{bmatrix}


Non riesco a capire questa matrice, cos'è 1i?
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[5] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto UtenteDocEmmettBrown » 17 ott 2017, 21:11

È l'unità immaginaria, espressa come "1i" piuttosto che con un semplice "i" o "j" perché ho mantenuto la notazione preferita da Matlab. Chiedo venia per la confusione creata!
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[6] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto UtenteDanteCpp » 17 ott 2017, 21:25

Figurati, sono io un po' ottuso.
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[7] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto UtenteDanteCpp » 18 ott 2017, 13:27

Ciao, forse l'errore è che non hai considerato l'impedenza capacitiva essere negativa.
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[8] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 18 ott 2017, 13:56

Credo che l' errore sia nel considerare simmetrico
il circuito equivalente: Y1_{eq} \not\equiv Y2_{eq}
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[9] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto UtenteDocEmmettBrown » 18 ott 2017, 18:35

@DanteCpp: La tua osservazione è interessante, ma implementando questa precisazione sul segno della reattanza non cambia nulla se non proprio il segno della reattanza capacitiva equivalente finale. (probabilmente, se non per certo, perché nel circuito osservato non ci sono serie/paralleli di induttanze e capacità, così diventa irrilevante il loro segno convenzionale...?)

@g.schgor: Temo di non aver capito il suggerimento...potresti elaborarlo, per favore? Intendi dire forse che dovrebbe risultare che nel modello a pi greco finale le due "gambe", ovvero i due rami trasversali, dovrebbero aver due ammettenze diverse e non essere entrambe esattamente metà di un certo valore? Come mai? E come calcoleresti questi due diversi valori?
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[10] Re: Calcolo equivalente di doppi bipoli in cascata

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 18 ott 2017, 20:31

Due domande:

L'impedenza longitudinale Z e` data dalla somma R+j XL, confermi?

Invece ho un dubbio sulle trasversali: di solito le trasversali sono 2Xc non Xc/2 perche' quando si mettono in parallelo i due contributi 2Xc si ottiene la Xc complessiva. Sicuro che siano proprio Xc/2? Se le vuoi scrivere diviso 2, allora sono suscettanze Bc/2 su ogni lato.
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