A seguito di alcuni articoli ([1] [2][3]) sull'argomento, si esamina la possibilità di utilizzare il programma di simulazione MicroCap per lo studio della risposta nel tempo di un blocco definito dalla funzione di trasferimento nella s di Laplace. L'attuale edizione di MicroCap è la 10 ed una versione ridotta 'Evaluation è scaricabile da qui.

Il problema è sintetizzato nella seguente figura:

Si vuole cioè conoscere quale sarà l'andamento nel tempo di un segnale d'uscita, dati il segnale d'ingresso e la funzione di trasferimento in termini di Laplace. MicroCap mette a disposizione per questo uno speciale generatore LF (Laplace Function) che esegue direttamente l'antitrasformazione (percorso: Component/Analog Primitives/Laplace Sources/LFVofV)

Una delle maggiori limitazioni della versione gratuita Mathcad Express rispetto al Mathcad originale o al nuovo Prime2 è l'impossibilità di ottenere rappresentazioni tridimensionali di funzioni matematiche. Questo articolo mostra come sia possibile utilizzare Express per superare questa limitazione.

Com'è noto, un punto nello spazio tridimensionale è definito da tre coordinate (x,y,z), ma se si vuole rappresentarlo su un piano occorre ridurlo a 2 coordinate, mettendo uno degli assi (y) inclinato di un angolo (φ) rispetto alla verticale (z). E' questa la rappresentazione nota come assonometrica, illustrata nella seguente figura:

La posizione di un generico punto sul piano del disegno (XZ) è allora determinata dalle due coordinate x e z, "corrette" per tener conto della terza (y), cioè [Formula]. I valori più usati per sono 30° e 45°, a cui corrispndono i coefficienti moltiplicatori di y [Formula] e rispettivamente [Formula]

A completamento delle applicazioni delle differenze finite al calcolo di figure geometriche (vedi [1],[2]), esaminiamo la determinazione dei volumi. Essenzialmente vengono considerati volumi generati dalla rotazione di una linea piana attorno ad un asse. e volumi delimitati da funzioni algebriche (del tipo z=f(x,y)).

Come esempio di solido generato dalla rotazione di una linea attorno ad un asse possiamo assumere un paraboloide ricavato dalla rotazione attorno all'asse z della parabola z = 1 − x2, fra il vertice nel punto (0,0,1) e cerchio unitario sul piano xy (z=0). Il metodo "classico" di soluzione prevede una doppia integrazione in y ed x della funzione z = 1 − (x2 + y2), tenendo conto della dipendenza fra y e x. Il concetto è evidente da questa figura:

La teoria matematica per il calcolo di aree di superfici nello spazio tridimensionale comporta l'uso di integrali quasi sempre di difficile soluzione. Scopo di questo articolo è l'approccio a questi problemi con metodi elementari, sfruttando velocità e precisione dei PC, mediante l'impiego delle differenze finite.

Iniziamo da un semplice esempio di calcolo della sezione obliqua di un cilindro attorno all'asse z e di altezza H, con base di raggio R sul piano x-y.

L'esempio è abbastanza banale e non occorrono integrazioni per risolverlo, ma è utile per capire l'applicazione del metodo delle differenze finite e controllarne la precisione. Si vede infatti che la sezione obliqua è un'ellisse di semiassi [Formula] e , quindi l'area As non è altro che il prodotto dei semiassi per π. Anche l'area laterale Al del semicilindro non è altro che la metà di quella del cilindro.

La rettificazione, cioè il calcolo della lunghezza, di una linea curva, matematicamente espressa fra due estremi, richiede la conoscenza ed una discreta abilità nel risolvere integrali generalmente non semplici. L'applicazione del metodo delle differenze finite, reso oggi possibile con l'uso del computer, ne facilita enormemente il calcolo, con precisioni più che sufficienti nelle eventuali applicazioni pratiche. Esamineremo quindi prima l'approccio "teorico" del problema e poi diversi esempi con il confronto fra le soluzioni ottenute.

Per semplicità iniziamo da curve piane, definite nel piano x-y con una relazione del tipo y = f(x), ad es. come la parabola y = − x2 + 4. Con Mathcad Express è possibile disegnare la curva in un certo intervallo di x, poniamo fra 0 e 2

Proseguendo nella divulgazione di esempi di calcoli elettrotecnici con la nuova edizione gratuita di Mathcad, si mostrano le possibilità di soluzioni di circuiti mediante matrici.Mathcad Express è infatti un'edizione ridotta di Mathcad Prime2.0, sufficiente però per molti dei calcoli necessari alla soluzione di circuiti elettrici.

La matrice è una tabella di numeri organizzati in righe e colonne (vedi definizione), mentre il vettore è una matrice di una sola riga (o una sola colonna). Ogni elemento di una matrice è individuato da 2 indici (rispettivamente riga e colonna) che rappresentano la posizione di questo nella matrice. Ovviamente per gli elementi di un vettore vi è un solo indice. I software matematici che gestiscono matrici, mettono a disposizione speciali funzioni che permettono di intervenire nella loro costruzione ed elaborazione. In particolare Mathcad Express si presenta così:

Un recente ed accalorato dibattito nel Forum di EY, riguarda la convenienza di investimenti nel risparmio energetico. Tra i fautori del "risparmio ad ogni costo" (sic!) e gli scettici del "meglio un uovo oggi che una gallina domani", credo occorra fare chiarezza sui metodi di valutazione di tale convenienza. Non sono un esperto di matematica finanziaria, ma me ne dovetti occupare una trentina di anni fa in occasione della prima crisi energetica, che fece schizzare in alto i costi del petrolio e quindi delle bollette energetiche. Facevo allora parte di un'azienda che costruiva macchine elettriche ed in particolare di un gruppo di sviluppo che si interessava delle (a quei tempi) nuove applicazioni dell'elettronica di potenza. Il problema era questo: le soluzioni "avanzate" costavano all'incirca il triplo delle soluzioni convenzionali, ma permettevano un risparmio energetico, che le avrebbero rese più convenienti dopo pochi anni di esercizio.

L'argomento è ricorrente nel Forum di EY: in quanto tempo si scarica una batteria? E' evidente che della batteria bisogna conoscere, oltreché la tensione nominale, anche la sua "capacità" (riferita all'accumulo di energia). Questa è solitamente espressa in Ah (amperora) anziché in Wh (come sarebbe più corretto trattandosi di energia), supponendo praticamente costante (al valore nominale) la tensione della batteria durante tutta la durata di scarica.

Con questo dato è possibile quindi valutare tale durata ad una data corrente prelevata. Se la capacità è ad es. 50Ah, è ragionevole pensare che si possano prelevare 5A per 10 ore, oppure 10A per 5ore, e così via. Ma è sempre vero questo? E' evidente che no.

Proseguendo quanto detto nell' articolo precedente sull'uso di Mathcad Express nella simulazione del comportamento di un motore in continua, vediamo ora il calcolo del parametri che definiscono il comportamento dinamico del motore.

Un primo transitorio è l'andamento della corrente d'armatura, supposto di applicare istantaneamente la tensione V (andamento "a gradino"). Poiché l'avvolgimento rotorico ha una resistenza (Ra) ed un induttanza (La), possiamo schematizzare il circuito così:

Si suppone inoltre che il rotore sia bloccato, in modo da non generare alcuna fcem. Possiamo allora scrivere l'equazione del circuito:[Formula] e ponendo : si può scrivere:[Formula] E' quindi un'equazione differenziale in Ia, che ha per soluzione:

La recente disponibilità di un'edizione gratuita (anche se di potenzialità ridotta) di Mathcad, il Mathcad Express, rende possibile l'uso di questo strumento ad una vasta platea di utenti. Per questo penso siano oggi validi esempi di applicazione a problemi di elettrotecnica e di elettronica. Fra i più facili sotto questo aspetto, sono quelli relativi alla simulazione del comportamento del motore in corrente continua. Questa prima parte riguarda le prestazioni di un motore ad eccitazione indipendente, in regime stazionario (o semplicemente a regime), mentre una successiva riguarderà i comportamenti dinamici (in accelerazione o decelerazione).

I dati principali che caratterizzano un motore sono i cosiddetti dati di targa, e cioè la tensione nominale V, in volt, la potenza nominale P, in watt, e la velocità di rotazione ω, in giri/min, che corrisponde a quella potenza.