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Sensitivity II - Esempio su circuito di autopolarizzazione per bjt

Indice

Introduzione

Nel precedente articolo [1] sono state definite le sensitivities, cioe` i legami lineari che esistono fra grandezze di funzionamento della rete e i valori di componenti, parametri... Lo scopo della analisi della sensibilita` e` di conoscere come le grandezze di funzionamento della rete dipendano dai parametri che possono variare a causa ad esempio di tolleranze, derive, invecchiamento...

In questo articolo saranno sviluppati alcuni esempi, tutti tratti dall'elettronica analogica, per mostrare sia il metodo di calcolo sia per mostrare alcuni risultati che possono essere utili nella pratica di progettazione.

Non si fara` riferimento alla teoria, gia` sviluppata, saranno solo mostrati esempi con relativi calcoli, sia analitici che numerici.


Circuito di autopolarizzazione per bjt

Polarizzare un transistore vuol dire inserirlo in un circuito che faccia scorrere attraverso il transistore la corrente a riposo voluta dal progettista. Fissare e stabilizzare la corrente e` di importanza fondamentale, perche' quasi tutti i parametri, a cominciare dalla transconduttanza, dipendono dalla corrente che circola nel transistore. Questa corrente inoltre determina le tensioni che si hanno sul transistore, e quindi ad esempio la sua dinamica, ma questo e` un altro problema. Qui sara` analizzato solo il circuito di polarizzazione di un transistore bipolare, per studiare come i cambiamenti dei parametri e componenti facciano variare la corrente di collettore. La stessa metodologia funziona con qualsiasi altro dispositivo, come mosfet, jfet, tubo...

Il circuito di autopolarizzazione [2] e` presentato in figura A,

In figura B si e` provveduto ad eseguire una trasformazione Helmholtz-Thévenin per semplificare la scrittura delle equazioni. I parametri equivalenti sono V_\text{eq}=V_{AL}\frac{R_2}{R_1+R_2}, \,\, R_\text{eq}=R_1/\!/R_2=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}. Anche se per comodita` si useranno le grandezze equivalenti, bisogna ricordare che queste contengono dei parametri che possono cambiare.

Il circuito di autopolarizzazione, con alcuni semplici limiti, puo` rappresentare anche altri circuiti di polarizzazione. Ad esempio facendo tendere R_2\to\infty oppure R_E\to 0 o contemporaneamente R_2\to\infty \,\text{e}\, R_E\to 0 si ottengono i tre circuiti seguenti:

Questi circuiti, specie D ed E, sono meno utilizzati in quanto hanno prestazioni peggiori per quanto riguarda la stabilizzazione della corrente di collettore a riposo, cosa che si vede dal calcolo delle sensibilita`.

La corrente di collettore del circuito di autopolarizzazione e` calcolata scrivendo una equazione alla maglia V_\text{eq}, \,\, R_\text{eq}, \,\,V_\text{BE}. L'incognita della maglia e` la corrente di base \,I_\text{B} oppure quella di emettitore \,I_\text{E}=(\beta_F+1)I_\text{B} dove \,\beta_F e` il guadagno di corrente statico del transistore(*).

L'equazione alla maglia di base e` \,V_\text{eq}-R_\text{eq}I_\text{B}-V_\text{BE}-R_\text{E}(\beta_\text{F}+1)I_\text{B}=0 da cui si ricava la corrente di base I_\text{B}=\frac{V_\text{eq}-V_\text{BE}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}

La corrente di collettore, che e` poi quella che ci interessa, e trascurando l'effetto Early, e` data da

I_\text{C}=\beta_\text{F}I_\text{B}=\beta_\text{F}\frac{V_\text{eq}-V_\text{BE}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}

In questa espressione sono presenti in modo esplicito la resistenza di emettitore \,R_\text{E}, il guadagno di corrente statico \,\beta_\text{F}, la tensione base emettitore \,V_\text{BE}. Ma dentro ai parametri equivalenti V_\text{eq}\,\,R_\text{eq} sono nascosti i valori di V_\text{AL},\,\, R_1,\,\,R_2, da non dimenticarsi quando si fanno le derivate rispetto a questi parametri.


Calcolo delle sensibilita`


La variazione significativa della corrente di collettore e` quella relativa, quindi si lavorera` con sensibilita` (semi)relativa. Le resistenze vengono date con un errore relativo, il guadagno di corrente e` fortemente variabile, anche di questo sono importanti le variazioni relative. La tensione di alimentazione puo` essere specificata con una variazione relativa oppure assoluta, mentre le variazioni della tensione base emettitore sono piu` facilmente trattate come variazioni assolute.


Guadagno statico di corrente


Cominciamo il calcolo delle sensitivity relative della corrente di collettore rispetto \,\beta_\text{F}, alla resistenza \,R_\text{E} e quella semirelativa rispetto a \,V_\text{BE} che sono le tre grandezze esplicite presenti nell'espressione della corrente di collettore.


\begin{align}
\bar S^{I_\text{C}}_{\beta_\text{F}}&=\frac{\partial I_\text{C}}{\partial \beta_\text{F}}\,\frac{\beta_\text{F}}{I_\text{C}}=\frac{(V_\text{eq}-V_\text{BE})(R_\text{eq}+R_\text{E})}{(R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E})^2}\,\frac{\beta_\text{F}}{\beta_\text{F}\frac{V_\text{eq}-V_\text{BE}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}}=\\
&=\frac{R_\text{eq}+R_\text{E}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}
\end{align}


Da questa espressione si puo` subito osservare che


\lim_{R_{\text{E}} \to 0}\bar S^{I_\text{C}}_{\beta_\text{F}}= \lim_{R_{\text{E}} \to 0}\frac{R_\text{eq}+R_\text{E}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}=1


cioe` se non c'e` la resistenza di emettitore, come nei circuiti D ed E, la corrente di collettore non e` stabilizzata contro le variazioni di \,\beta_\text{F}

Per avere una buona stabilizzazione e` necessario che R_\text{eq}\ll (\beta_\text{F}+1)R_\text{E}


Resistenza di emettitore


La sensitivity della corrente di collettore \,I_\text{C} rispetto alla resistenza di emettitore \,R_\text{E} viene calcolata nello stesso modo di prima. Con qualche badilata di noiose derivate si ottiene:


\begin{align}
\bar S^{I_\text{C}}_{R_\text{E}}&=\frac{\partial I_\text{C}}{\partial R_\text{E}}\,\frac{R_\text{E}}{I_\text{C}}=-\frac{\beta_\text{F}(\beta_\text{F}+1)(V_\text{eq}-V_\text{BE})}{(R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E})^2}\,\frac{R_\text{E}}{\beta_\text{F}\frac{V_\text{eq}-V_\text{BE}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}}=\\
&=-\frac{(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}
\end{align}


Il segno negativo di questa sensitivity indica che se la resistenza di emettitore aumenta, la corrente di collettore diminuisce, come e` ovvio dal circuito. Osservando l'espressione si potrebbe concludere che per avere un buon progetto si dovrebbe porre \,R_\text{eq}\gg (\beta_\text{F}+1)R_\text{E} che e` giusto l'opposto di quanto trovato nel paragrafo precedente. Sembra che Murphy, il miglior amico dei progettisti, abbia colpito ancora :).

In realta` in questo caso non si deve soddisfare la relazione appena scritta sopra. La ragione e` che comunque al massimo questa sensibilita` puo` arrivare a  \bar S^{I_\text{C}}_{R_\text{E}}=-1 che non e` tanto male in quanto e` una dipendenza dal valore di un resistore, la cui stabilita` e precisione, se necessario, possono essere molto elevate. Invece nel paragrafo precedente si stava cercando di ridurre l'effetto della variazione di \,\beta_\text{F} che e` una grandezza assolutamente fuori controllo e molto variabile!

Tensione base emettitore


Procedendo come prima, si puo` trovare la sensitivity semirelativa rispetto alle variazione assolute di \,V_\text{BE}. Derivando \,I_\text{C} rispetto a \,V_\text{BE} e dividendo per \,I_\text{C}, come da definizione di sensibilita` semirelativa, si ha:


\begin{align}
\tilde S^{I_\text{C}}_{V_\text{BE}}&=\frac{\partial I_\text{C}}{\partial V_\text{BE}}\,\frac{1}{I_\text{C}}=-\frac{\beta_\text{F}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}\,\frac{1}{\beta_\text{F}\frac{V_\text{eq}-V_\text{BE}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}}=\\
&=-\frac{1}{V_\text{eq}-V_\text{BE}}
\end{align}

Per ridurre l'effetto delle variazioni di \,V_\text{BE} dovute per esempio alle variazioni di temperatura, si deve progettare il circuito in modo che \,V_\text{eq}\gg V_\text{BE}. D'altra parte non si puo` salire troppo con la \,V_\text{eq} perche' si aumenta la tensione sull'emettitore riducendo la dinamica di uscita dell'amplificatore.


Tensione di alimentazione


La tensione di alimentazione \,V_\text{AL} e` nascosta nella tensione equivalente della maglia di base: V_\text{eq}=V_\text{AL}\frac{R_2}{R_1+R_2}. Per calcolare le sensitivities rispetto a questa tensione, bisogna scrivere esplicitamente l'espressione della tensione equivalente e poi derivare rispetto alla tensione di alimentazione. Poiche' non c'e` nulla di divertente e di eccitante nel fare derivate semplici (**), viene fornito direttamente il risultato sia per la semirelativa che per la relativa.


\tilde S^{I_\text{C}}_{V_\text{AL}}=\frac{1}{V_\text{AL}-V_\text{BE}\left (1+\frac{R_1}{R_2}\right )}


\bar S^{I_\text{C}}_{V_\text{AL}}=\frac{V_\text{AL}}{V_\text{AL}-V_\text{BE}\left (1+\frac{R_1}{R_2}\right )}=\frac{V_\text{eq}}{V_\text{eq}-V_\text{BE}}

L'ultima espressione dice che poiche' la tensione \,V_\text{eq} deve essere abbastanza maggiore di \,V_\text{BE}, la sensibilita` relativa della corrente di collettore rispetto alle variazioni di tensione di alimentazione e` poco piu` di uno. Comunque con questo circuito non si puo` scendere piu` di tanto. Questo pero` non e` un grosso inconveniente, perche' se aumentando la tensione di alimentazione aumenta in modo praticamente uguale la corrente di collettore, la caduta di tensione sulla resistenza di collettore rimane una frazione fissa della tensione di alimentazione, mantenendo ottimizzata la dinamica.

Resistenze R1 e R2


In questo caso servono le sensibilita` relative. Purtroppo le espressioni che risultano per le sensibilita` relative sono pesanti da maneggiare, e non forniscono suggerimenti per un progetto. Si puo` pero` fare una semplificazione osservando che \,R_1 e \,R_2 compaiono in due punti nell'espressione di \,I_\text{C} sia in \,V_\text{eq} che in \,R_\text{eq}


I_\text{C}=\frac{V_\text{eq}(R_1,R_2)-V_\text{BE}}{R_\text{eq}(R_1,R_2)+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}


Poiche' in un buon progetto si ha R_\text{eq}\ll (\beta_\text{F}+1)R_\text{E} si puo` pensare di trascurare l'effetto della variazione delle resistenze su \,R_\text{eq} ma di conservarlo soltanto nel termine di \,V_\text{eq}. In questo modo la funzione che da` la corrente di collettore diventa:

I_\text{C}=\frac{V_\text{AL}\frac{R_2}{R_1+R_2}-V_\text{BE}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}


Con questa approssimazione le sensitivity relative risultano:

\bar S^{I_\text{C}}_{R_1}\approx -\frac{R_1}{R_1+R_2}\frac{V_\text{eq}}{V_\text{eq}-V_\text{BE}}

\bar S^{I_\text{C}}_{R_2}\approx +\frac{R_1}{R_1+R_2}\frac{V_\text{eq}}{V_\text{eq}-V_\text{BE}}

Esempio su un circuito

Proviamo a fare i conti su questo circuito, progettato "a buon senso" in modo che abbia una corrente di collettore di circa 2\,\text{mA}

Le resistenze sono al \pm 5\,%, il guadagno statico di corrente del transistore e` compreso fra \,120 < \beta_\text{F} < 300 (questa non e` una piccola variazione): si considera come valore nominale la media aritmetica dell'intervallo \,\beta_\text{Fn}=210, con un intervallo di variazione relativo pari a \delta_{\beta_\text{F}} =\pm 43\,% . La tensione di alimentazione puo` variare di \delta_{V_\text{AL}}=\pm 15\,% intorno al valore nominale V_\text{ALn}=12\,\text{V}, la tensione V_\text{BE}=(.67\pm .05)\text{V}

Il progetto a buon senso prevede che si abbia sull'emettitore circa un 10\div 20\,% della tensione totale, che la tensione rimanente sia piu` o meno ugualmente suddivisa fra la resistenza di collettore e la tensione \,V_\text{CE}, e infine che la corrente nel partitore di base sia molto maggiore della corrente di base stessa. La corrente nominale trovata in simulazione e` di 2.037\,\text{mA}. Da notare che in simulazione sono presenti molti piu` effetti secondari e non lineari non inclusi in questa analisi lineare.


Valutazione quantitativa


Valutiamo ora le sensitivities le cui espressioni sono state trovare in precedenza. Il valori dell'equivalente Helmholtz-Thévenin sono

V_\text{eq}=12\,\text{V}\frac{10\,\text{k}\Omega}{33\,\text{k}\Omega+10\,\text{k}\Omega}=2.79\,\text{V} e

R_\text{eq}=10\,\text{k}\Omega/\!/33\,\text{k}\Omega=7.67\,\text{k}\Omega

Le sensitivities ai vari parametri valgono:

\bar S^{I_\text{C}}_{\beta_\text{F}}=\frac{R_\text{eq}+R_\text{E}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}=
\frac{7.67\,\text{k}\Omega+1\,\text{k}\Omega}{7.67\,\text{k}\Omega+(210+1)1\,\text{k}\Omega}=0.04


\bar S^{I_\text{C}}_{R_\text{E}}=-\frac{(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}{R_\text{eq}+(\beta_\text{F}+1)R_\text{E}}=-\frac{(210+1)1\,\text{k}\Omega}{7.67\,\text{k}\Omega+(210+1)1\,\text{k}\Omega}=-.965


\tilde S^{I_\text{C}}_{V_\text{BE}}=-\frac{1}{V_\text{eq}-V_\text{BE}}=-\frac{1}{2.79\,\text{V}-0.67\,\text{V}}=-\frac{1}{2.12\,\text{V}}=-.472\,\text{V}^{-1}


\bar S^{I_\text{C}}_{V_\text{AL}}=\frac{V_\text{eq}}{V_\text{eq}-V_\text{BE}}=\frac{2.79\,\text{V}}{2.79\,\text{V}-0.67\,\text{V}}=1.32


\bar S^{I_\text{C}}_{R_1}=-\frac{R_1}{R_1+R_2}\frac{V_\text{eq}}{V_\text{eq}-V_\text{BE}}=-\frac{33\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega+33\,\text{k}\Omega}\,\frac{2.79\,\text{V}}{2.79\,\text{V}-0.67\,\text{V}}=-1.01


\bar S^{I_\text{C}}_{R_2}=+\frac{R_1}{R_1+R_2}\frac{V_\text{eq}}{V_\text{eq}-V_\text{BE}}=\frac{33\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega+33\,\text{k}\Omega}\,\frac{2.79\,\text{V}}{2.79\,\text{V}-0.67\,\text{V}}=1.01

Le possibili buone notizie sono che la sensibilita` della corrente di collettore al variare del \,\beta_\text{F} sembra decisamente bassa, il che compensa le ampie variazioni del parametro. La risposta alle variazioni di \,V_\text{BE} potrebbe essere importante, ma per ridurla bisognerebbe sacrificare dinamica di uscita. Le altre sensitivity sono dalle parti di 1, e dipendono da resistenze (o tensioni di alimentazione). Potrebbe essere necessario usare delle resistenze di precisione o una stabilizzazione della tensione di alimentazione.


Calcoliamo ora gli errori dei singoli contributi:

\,\delta_{I_\text{C}}=\bar S^{I_\text{C}}_{\beta_\text{F}}\,\delta_{\beta_\text{F}}=.04\cdot(\pm43\,%)=\pm 1.7\,% questa sensibilita` e` calcolata ben oltre al normale campo di validita dell'approssimazione lineare.

Il risultato della simulazione della variazione di beta e` mostrato in questa figura:

Sens1.png

Sens1.png

In ascissa c'e` il \,\beta_\text{F}, che varia da 120 a 300, in ordinata la percentuale di errore della corrente di collettore. Si nota che, essendo usciti dal campo di linearita`, la curva presenta un errore piu` limitato verso destra (1.4%), e maggiore verso sinistra (-2.5%).


Variazione con la resistenza \,R_{E} si calcola come in precedenda. In questo casi ci si attende una variazione relativa di corrente

\,\delta_{I_\text{C}}=\bar S^{I_\text{C}}_{R_\text{E}}\,\delta_{R_\text{E}}=-.965\cdot(\pm 5\,%)=\pm.0483=4.83\,%

Sens3.PNG

Sens3.PNG

La simulazione spice indica che vi e` una leggera non linerita`, e l'errore relativo si sviluppa fra +5\,% quando la resistenza e` al valore minimo e -4.5\,% quando la resistenza e` al valore massimo.


La variazione relativa di corrente di collettore rispetto alla variazione della tensione \,V_\text{BE} vale:

\,\delta_{I_\text{C}}=\tilde S^{I_\text{C}}_{V_\text{BE}}\,\delta_{V_\text{BE}}=-.472\,\text{V}^{-1}\cdot(\pm .05)\text{V}=\pm.0236=2.56\,%

Il risultato della simulazione e` in figura:

Sens2.PNG

Sens2.PNG

In ascissa la variazione della tensione base emettitore, in ordinata il corrispondente cambiamento percentuale della corrente di collettore, misurato in \pm2.53\,%, con ottima aderenza al calcolo. La variazione di tensione e` stata ottenuta per mezzo di un generatore in serie alla base. Cambiare la \,V_\text{BE} campiando la temperatura avrebbe cambiato anche il valore del \,\beta_\text{F}. In questo modo si tengono separate le cause di variazione.

La variazione della corrente di collettore al variare della tensione di alimentazione e` data da:

\,\delta_{I_\text{C}}=\bar S^{I_\text{C}}_{V_\text{AL}}\,\delta_{V_\text{AL}}=1.32\cdot(\pm 15\,%)=\pm19.8\,%

La simulazione fornisce questo risultato:

Sens4.PNG

Sens4.PNG

In ascissa e` rappresentata la percentuale dell'errore della tensione di alimentazione, in ordinata l'errore percentale della corrente di collettore: in questo caso in perfetto accordo con i conti.

Infine restano da verificare i conti per le due resistenze del partitore di base. Durante i calcoli si era fatta una approssimazione, trascurando le variazioni della resistenza \,R_\text{eq}. Il simulatore non terra` conto di questa approssimazione.

\delta_{I\text{C}}=\bar S^{I_\text{C}}_{R_1}\,\delta_{R_1}=-1.01\cdot (\pm 5\,%)=\mp 5.1\,\%

\delta_{I\text{C}}=\bar S^{I_\text{C}}_{R_1}\,\delta_{R_1}=1.01\cdot (\pm 5\,%)=\pm 5.1\,\%

I risultati della simulazione sono in figura

SENS5.PNG

SENS5.PNG

In ascissa la variazione percentuale di \,R_1 ed \,R_2 e in ordinata la variazione percentuale delle correnti di collettore. La curva in salita si riferisce ad \,R_2 mentre quella in discesa si riferice a \,R_1

Conclusioni

Anche se i conti sono un po' pesanti, l'informazione che se ne ricava e` importante, perche' non solo dice quali saranno le prestazioni del circuito, ma indica anche dove agire nel caso le prestazioni fossero insufficienti.

Nel caso della polarizzazione di uno stadio bipolare a discreti, questo metodo di calcolo e` piu` o meno solo una curiosita` (ma non sempre). Nei prossimi esempi vedremo l'analisi delle senstivity applicata ai filtri attivi e agli amplificatori differenziali.

Riferimenti

[1] IsidoroKZ - Sensitivity I - Definizioni e applicazioni - ElectroYou

[2] Sedra - Smith - Microelectronic Circuits Oxford, Chapt. 5.5

NOTE

(*) La corrente di collettore in un transistore che lavora in zona attiva diretta, e` una funzione non lineare della corrente di base \,I_\text{C}=I_\text{C}(I_\text{B}) e dipende anche da tante altre cause, temperatura, tensione \,V_\text{CE}, storia passata del transistore, cioe` maltrattamenti che ha subito, specie valanga della giunzione base-emettitore.

Inoltre fra un transistore e l'altro il guadagno di corrente e` enormemente variabile, dipende da "come e` venuto". La formula \,I_\text{C}=\beta_\text{F} I_\text{B} e` una molto grossolana modellazione del comportamento del transistore.

Per queste ragioni un buon progetto non deve essere basato sul valore del beta: qualunque suo valore, ragionevole, deve far funzionare il circuito. E` molto piu` scientifico credere a Babbo Natale piuttosto che a \,I_\text{C}=\beta_\text{F} I_\text{B} con un valore di guadagno costante e conosciuto.


(**) Confesso: per calcolare le derivate, semplificare le espressioni et similia, ho usato un programma di manipolazione algebrica, Derive.

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Commenti e note

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di ,

Finendo di leggere i tuoi articoli, posso andare a sostenere l'esame di elettronica analogica ad occhi chiusi...(anche un po col millman)

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