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Regula Falsi per circuiti con più generatori

Indice

Sommario

Il metodo descritto in questo articolo estende il metodo della regula falsi applicato alle reti elettriche, ad un solo generatore, per reti elettriche a più generatori.

La regula falsi è un metodo che gli antichi (arabi, egizi, cinesi) utilizzavano per risolvere equazioni di primo grado, del tipo Ax=B.

Con le conoscenze matematiche di oggi un problema del genere farebbe sghignazzare chiunque, ma, se vi dimenticate dell'algebra che conoscete, delle equazioni e di tutta la matematica, con l'aiuto del semplice ragionamento, riuscireste a risolverlo?

Proviamoci!

Un esempio potete trovarlo in [4], magistralmente illustrato da RenzoDF, che riporto qui per comodità:

"se con un tubo piu' un quarto di tubo riesco a fare i 15 metri del giro del bagno, quanto lungo sara' "il tubo" base che ho usato?"

Come fareste senz'algebra? Gli egizi conoscevano a malapena le frazioni...

... ma hanno costruito le piramidi, direbbe qualcuno.


Allora, ci siete riusciti? Ottimo! Ma, alla fine, gli egizi, come facevano?

Gli egizi facevano una ipotesi di soluzione [3]: per esempio, supponevano che il tubo potesse essere lungo 4 m. Un tubo più un suo quarto fa quindi 5m. Hmm... non è giusto, ma 5 m è un terzo di 15 m, ho quindi coperto un terzo del bagno. Quindi il tubo dovrà essere lungo 3 volte tanto, quindi 12m. Funziona? Verifichiamo: 12 m più un suo quarto fa proprio 15m. Ottimo!

La mia ipotesi non è stata tirata completamente a caso, ho infatti scelto 4 m, che è un numero comodo a cui sommare un suo quarto.

Non avrei mai detto che avrei cominciato a interessarmi di egittologia...

Regula falsi applicata alle reti elettriche

Gli egizi e gli antichi cinesi non conoscevano le reti elettriche (e a giudicare dall'ultimo alimentatore stabilizzato che ho comprato direi che nemmeno i cinesi moderni le conoscano, ma lasciamo stare) però notate il bello della matematica: il pensiero astratto e le buone idee matematiche attraversano i millenni e, quando qualcuno trova il modo di applicarle per risolvere problemi moderni, come ha fatto RenzoDF, ne nasce qualcosa di straordinariamente bello e intrigante.

Un teorema è per sempre [De Fermat]

Prendiamo una rete elettrica noiosa da risolvere:

Si richiede di trovare la tensione di uscita. Il problema di per sé non è per nulla complicato, è solo un po' noioso, con i metodi usuali.

La tensione di uscita, possiamo però osservare, è funzione lineare di E1, in pratica \ V_o=\gamma E_1 e il problema richiede di trovare gamma, ispezionando la rete, per poi scrivere Vo.

Ciò che dobbiamo trovare è, a tutti gli effetti, x, nell'equazione b=x\ a. Per risolverlo in modo idraulicamente egizio possiamo supporre di conoscere b, cioè l'uscita del problema (nel nostro circuito Vo) e poi trovare quale sia quel valore dell'ingresso a (il nostro generatore di tensione E1) che renda vera l'equazione. A questo punto abbiamo x, che otteniamo facilmente dividendo b per a, (cioè, nel nostro circuito, gamma, che otteniamo dividendo Vo che abbiamo imposto per E1 che abbiamo trovato). Avendo gamma non resta che moltiplicarlo per E1 "vero", cioè quello presente davvero nel circuito, per avere la soluzione.


Vediamo di scriverlo in formule: V_{o.vero}=\frac{V_{o.falso}}{E_{1.falso}}\cdot E_{1.vero}


Se vi piacciono le proporzioni, potete scriverlo come \frac{V_{o.vero}}{E_{1.vero}}=\frac{V_{o.falso}}{E_{1.falso}} che assume l'aria di qualcosa di estremamente logico per un sistema lineare: La tensione di uscita veramente presente all'uscita sta al generatore posto veramente al suo ingresso come la tensione di uscita imposta da noi sta ad un altro generatore (che abbiamo calcolato).


Abbiamo il metodo! Scegliamo una tensione di uscita qualunque, meglio se comoda rispetto ai valori numerici della rete.


Scelgo Vo=1V. Se su R6 c'è 1V, su R4 ci saranno 2V, poichè R5 e R6 sono uguali. In R3 scorrono quindi 0.2 A e su R2 sono presenti 4 V e scorrono 0.4 A. In R1 scorrono quindi 0.6 A, cadono 6 V e quindi E1 deve valere 10 V.


Si fra prima a farlo che a dirlo, così:

Adesso la tensione di uscita falsa (imposta da noi) è 1 V e abbiamo trovato che il generatore che impone quella tensione all'uscita deve valere 10 V. Quanto varrà quindi l'uscita con un generatore pari a 20 V? Ovviamente il doppio, cioè 2V, direbbe Ahmes.

Vo vera sta a Generatore vero come Vo falsa sta a Generatore falso ---> Vo:20 V = 1 V : 10 V, cioè Vo= 2V

Il metodo è stato ampiamente utilizzato sul forum per risolvere le reti più svariate, cercando troverete moltissimi esempi, è stato persino risolto un circuito magnetico con tale metodo, che troverete in [5] (Renzo chiama k quel che io ho chiamato gamma).

Il problema di questo metodo è che consente la soluzione di reti che abbiano un solo generatore.

Estendiamo il metodo

Qualche sera fa stavo leggendo questo articolo di admin e stavo ragionando su questo circuito:

Il circuito non è semplicissimo da risolvere senza effettuare qualche manipolazione, quindi mi chiedevo se fosse possibile risolverlo con la regula falsi. Come ho accennato prima, però, il circuito ha più generatori, quindi la regula falsi non è direttamente applicabile, andrebbe trovata una sua estensione...

Come scrivevo in [1], la regula falsi non fa altro che descrivere una retta in x, che quindi descrive tutte le possibili uscite in funzione di tutti i possibili ingressi, che il risolutore della rete particolarizza in un punto specifico, dato dal particolare generatore imposto alla rete.

Questa retta passa certamente per zero, poichè, essendoci un solo generatore, se l'uscita è nulla l'unica possibilità è che il generatore che eccita la rete sia anch'esso nullo. La retta passa quindi per (0,0), l'origine.

Se sono presenti altri generatori, oltre quello che intendiamo far variare imponendo una qualche uscita numericamente conveniente, ci troviamo a dover risolvere un problema lineare affine, perchè la retta, anche ponendo l'uscita a zero, non passerà più per l'origine.


Se procediamo come prima quello che succede è che calcoliamo un punto su una retta che non passa per l'origine, per poi ricalcolare un punto in una nuova retta (diversa da quella di prima) che invece passa per l'origine. Il risultato sarà ovviamente errato.

Ragionando così ho quindi tratto la semplice conclusione che per applicare la regula falsi con più di un generatore bisognerà prendere due punti per descrivere la retta (prima assumevamo implicitamente che il primo punto fosse zero).

Vediamo di generalizzare.

Questa volta non abbiamo più una espressione del tipo G=\beta \cdot x, ma una espressione del tipo G=\beta \cdot x + \sum_{n=0}^{m} \alpha_n \cdot G_n dove \sum_{n=0}^{m} \alpha_n \cdot G_n è il termine che tiene conto di tutti gli altri generatori presenti nella rete.

Se io isolo un generatore in particolare, da una rete, quando lo spengo, ottengo una tensione di uscita che terrà conto unicamente del contributo di tutti gli altri per il fattore di partizione che la rete introdurrà alla loro variabile indipendente.

Facendo variare poi il generatore che avevo prima spento, otterrò di muovermi su una retta.

La conclusione è che non è importante quanti generatori, oltre a quello scelto sul quale applicare la regula falsi, siano presenti nella rete, ma è importante considerarli lasciando un termine che li comprenda tutti.

Posso quindi riscrivere G=\beta \cdot x + \sum_{n=0}^{m} \alpha_n \cdot G_n come G=\beta \cdot x + G_0 dove \ G_0 è un termine equivalente a tutti gli altri generatori, già riscalati per il fattore che introduce su di loro la rete.


Se ho bisogno di due punti per caratterizzare la mia retta dovrò fare due false ipotesi, che chiamo xA e xB, dalle quali otterrò due generatori falsi, che chiamerò GA e GB.

G è invece il generatore vero, quello che è veramente presente nella rete.

Ho quindi che: \begin{cases}G_A=\beta \cdot x_A + G_0  \\ G_B=\beta \cdot x_B + G_0\end{cases}

mentre la rete risponde alla retta vera G=\beta \cdot x + G_0.

Il trucco ora consiste nello scrivere le tre equazioni come proporzione.

Ricavo x dalla retta vera: x=\frac{G-G_0}{\beta}

moltiplico numeratore e denominatore per xAxB

x=\frac{G\left(x_A-x_B\right )-G_0\left(x_A-x_B\right )}{\beta \left(x_A-x_B\right )}

e espando

\ \beta x_A- \beta x x_B=G x_A-G x_B-x_A G_0+x_B G_0

La vedete anche voi la proporzione ora? No? Basta raccogliere \ x-x_A e \ x-x_B in modo creativo icon_mrgreen.gif


\ \left (x-x_A \right )\left (G-\beta x_B-G_0 \right)=\left (x-x_B \right )\left (G-\beta x_A-G_0 \right)

adesso mi ricordo anche delle due equazioni


\begin{cases}G_A=\beta \cdot x_A + G_0  \\ G_B=\beta \cdot x_B + G_0\end{cases}

e riscrivo come:

\ \left (x-x_A \right )\left (G-G_B \right)=\left (x-x_B \right )\left (G-G_A \right)

o anche

\ \frac{x-x_A }{G-G_A}=\frac{x-x_B }{G-G_B}

o se volete vederla con la notazione propria delle proporzioni:

\ x-x_A :G-G_A=x-x_B :G-G_B


E' una cosa estremamente semplice da applicare: faccio una ipotesi sull'uscita e calcolo quanto vale un generatore che mi scelgo, poi ne faccio una seconda (distante a sufficienza dalla prima) e calcolo di nuovo quanto dovrebbe valere lo stesso generatore di prima e poi recito la proporzione:

La differenza fra l'incognita e il primo valore che ho imposto sta alla differenza fra il generatore vero e il valore che ho trovato per primo come la differenza fra l'incognita e il secondo valore che ho imposto sta alla differenza fra il generatore vero e il valore che ho trovato per secondo.

Il metodo che ho descritto assomiglia al metodo della doppia falsa posizione o elchataym, portato in europa da Fibonacci [2]. Chi volesse approfondire può leggere il bel libro [6]. La lettura è scorrevole e l'ho trovato molto interessante, fra ieri e oggi l'ho finito!

Facciamo ora qualche esempio per illustrare il metodo, diverso da quanto ho già riportato nel thread [1].

Esempio 1: Applicazione pedissequa del metodo

Troviamo Vo dalla rete:

Scelgo di variare E2, che ha un valore antipatico per i calcoli. Devo ora imporre una tensione di uscita per trovare quale valore di E2 la realizza.

Nessuno mi vieta di scegliere una tensione di uscita nulla (con un solo generatore non lo posso fare), ormai, quindi questa è proprio la prima scelta che faccio.

Impongo Vo=0V

Se la tensione Vo è nulla, allora la tensione su R1 deve essere pari a E1, invertita di segno, per cui la corrente circolante nella maglia è 0.5 A e la caduta su R2 è quindi pari a 10V, per cui anche E2 deve valere 10V, invertita di segno, per avere Vo=0V.

Come seconda scelta, impongo Vo=5V, perchè se faccio così la tensione su R1 dovrà essere nulla e la corrente che scorre nella maglia sarà altrettanto nulla. Questo significa che E2 deve valere 5V.

Ora imposto la proporzione:

\ \frac{V_o-0}{17-(-10)}=\frac{V_o-5}{17-5}


da cui immediatamente Vo=9V.

Considerazione

Nel circuito appena risolto, nel primo in cui ho applicato la doppia regula falsi, ho scelto Vo=0V per avere un vantaggio risolutivo. Nel secondo ho scelto Vo=5V per avere un caso diverso ma altrettando vantaggioso, sapendo che avrei poi trovato che la tensione ai capi di R1 sarebbe stata nulla. Tanto valeva imporre immediatamente VR1=0V e calcolare Vo.

A ben pensarci, essendo la rete lineare, posso imporre qualunque tensione o corrente pari al valore che mi fa comodo (una sola però, ovviamente), sarà poi sufficiente calcolare la tensione che mi interessa e calcolare la tensione del generatore che ho scelto di variare. Questo potrebbe risultare più comodo e darmi ulteriore libertà, per sveltire ulteriormente la risoluzione della rete.icon_idea.gif

Per trovare la soluzione del prossimo circuito viene sfruttata questa considerazione.

Esempio 2:Il circuito risolto da carloc

Mi riferisco al secondo circuito dell'articolo sullo spostamento dei generatori, di cui ho già parlato poco fa, di admin, e in particolare al secondo esempio, questo:

In questo circuito viene richiesto di calcolare la potenza erogata dal generatore indipendente di corrente e dal generatore indipendente di tensione.

Attenzione: La potenza, essendo pari al prodotto di due variabili da determinarsi, non è lineare, quindi non si può applicare direttamente il metodo della doppia regula falsi.

Nessuno però ci vieta di valutare la tensione ai capi del generatore di corrente e la corrente erogata dal generatore di tensione, con doppia la regula falsi, e poi moltiplicarle per le rispettive grandezze.

Scelgo, come generatore target, Vg, volendo calcolare vx, perchè, una volta nota vx mi sarà immediato calcolare la corrente erogata da Vg e la tensione ai capi di Ig (per ispezione).


Come prima tensione falsa scelgo Vx=0V. La rete diventa:

Da cui è veramente banale tirare fuori i valori che ho riportato nel rettangolo azzurro.

Come seconda rete scelgo di annullare Vg (posso scegliere una tensione qualunque, quindi anche Vg). Nuovamente la rete diventa molto semplice:

R1 finisce per essere in parallelo ad R2 ed, essendo fra loro uguali, la corrente assorbita da Ig si divide anch'essa in due parti uguali.

A questo punto posso impostare la proporzione:

\ \frac{V_x-0}{10-2}=\frac{V_x-(-1)}{10-0}

da cui immediatamente Vx=4V.


A questo punto, conoscendo Vx, posso scrivere tensioni e correnti sulla rete, poi posso fare i prodotti e calcolare le potenze.

A tal proposito, poichè il valore di R4 non era indicato (e per calcolare tensioni e correnti non serve) ho assunto fosse pari a 1Ω. Se così non fosse bisognerebbe ricalcolare la tensione su R4 e la tensione su Ig.

Esempio 3:Calcolo di una resistenza equivalente

Nessuno vieta di usare il metodo per calcolare la resistenza equivalente di un circuito.

Si vuole valutare la Req fra i punti A e B della rete seguente:


Per valutare la resistenza equivalente applico ai morsetti AB un generatore di tensione pari a 10V e valuto la corrente che la rete assorbe, la quale, come ho disegnato, si divide in I1 e I2.

Duplico quindi l'unico generatore E in due generatori E1 e E2, che applico ai lati del ponte di Wheatstone.

Scelgo come target E2 e nella prima rete impongo VR3=0V.


Nella seconda rete scelgo I1=0A.


Considerazione

Essendo la rete lineare, è inutile che faccia due proporzioni per trovare separatamente I1 e I2 per poi sommarle. Posso sommarle prima, sapendo che I=I1+I2 e poi fare la proporzione su I.

Nel primo circuito \ I_1+I_2=\frac{7}{15}\ \rm{A} e nel secondo ovviamente \ I_1+I_2=1\ \rm{A}.

Fare questo è equivalente a fare la sovrapposizione degli effetti, con la unica differenza che la sovrapposizione degli effetti si fa sovrapponendo gli ingressi della rete (i vari generatori), mentre qui stiamo sovrapponendo le uscite.

La rete è però lineare e quindi non se ne accorge. icon_mrgreen.gif


Imposto quindi la proporzione:

\ \frac{I-\frac{7}{15}}{10-12}=\frac{I-1}{10-65}

da cui \ I=446.54 \ \rm{mA} e \ R_{eq}=E/I=22.39\ \Omega

Esempio 4: Un circuito complicato

Veniamo adesso al circuito complicato dell'articolo di admin. Eccolo:

Scelgo E6 come generatore da far variare e impongo, nel primo circuito VR7=0. Riporto quindi sullo schema tutte le tensioni e le correnti che mi servono, cominciando dalla tensione su R4, che è pari a E3, essendo VR7=0...

Per il secondo circuito scelgo VR4=0.


Nel mettere tutte le tensioni e le correnti mi sono cronometrato. 3 minuti e 34 secondi esatti in totale, fra entrambe le reti. Per fare i disegni con FidoCadJ ci ho impiegato quasi 15 minuti !

Imposto quindi la proporzione:

\ \frac{V_{AB}-5.5}{10-(-23.5)}=\frac{V_{AB}-23.5}{10-54.5}

da cui \ V_{AB}=13.2 \ \rm{V}.


Diciamo che mi sento soddisfatto, ho risolto il circuito con la regula falsi come volevo. eusa_dance.gif

Esempio 5: Velocità di esecuzione

Quello che mi soddisfa di questo metodo è la velocità con cui mi ha permesso di risolvere alcune reti, molte delle quali direttamente facendo i calcoli a mente (ma in questo l'esperto incontrastato è il mai abbastanza lodato IsidoroKZ)


Mi chiedevo se fosse possibile utilizzarlo per risolvere più velocemente reti noiose.


Per esempio, torniamo alla rete iniziale:


A questa rete posso aggiungere un secondo generatore di tensione, di valore pari a 0V, e poi sceglierlo come generatore da far variare. Lo aggiungo, come da schema sottostante e, per il primo circuito, scelgo VR4=0:


Nel secondo circuito scelgo VR3=0.

La proporzione risulta essere quindi: (la riporto per puro esercizio)

\ \frac{V_o-(-\frac{20}{3})}{0-(-\frac{40}{3})}=\frac{V_o-15}{0-20}

In reti più complicate potrebbe essere ancora meglio. Questa rete è semplice, in fondo.

Esempio 6: Variare la VBE di un transistor

Ecco la superstraclassica rete di polarizzazione di un transistor, per la quale generazioni di studenti hanno sognato VBE=0.7V e β = 100. Vogliamo calcolare Vo.


Scelgo di variare la VBE e assumo VR2=0, per il primo circuito.


Per il secondo circuito impongo IB=0.


Imposto quindi la proporzione:

\ \frac{V_o-(-108)}{0.7-(-121.2)}=\frac{V_o-12}{0.7-6}

da cui \ V_o=7 \ \rm{V}

Conclusione

Ho svolto molti altri circuiti, presi qui e là dal forum, per divertirmi, ma alla fine ho deciso di riportare i più significativi, sperando di aver scritto qualcosa di utile che mi ha regalato qualche ora di spensieratezza.

Se avete idee, suggerimenti, o circuiti che reputate utili e interessanti, non esitate a farmi sapere. Posso aggiungerli a questo articolo, possiamo discuterne sul forum o, perchè no, sarei onorato di aggiungere qui un link ad un articolo tutto vostro sull'argomento!

Ringraziamenti

Appena torno a Torino vado a visitare il museo egizio per rendere omaggio a Ahmes, mentre, adesso, rendo omaggio a RenzoDF, ringraziandolo per l'ispirazione idraulica che mi ha dato!

Riferimenti e bibliografia

[1] Regula falsi con più generatori, EY Forum

[2] Metodo della doppia falsa posizione, EY Forum

[3] Problemi del papiro di Rhind, EY Forum

[4] Metodo della regula falsi in egiziano e ieratico, EY Forum

[5] Regula falsi applicata ad un circuito magnetico (edit 3), EY Forum

[6] Keith Devlin I numeri magici di Fibonacci BUR Rizzoli (trovate il metodo a pagina 98 e seguenti, sulla versione per ipad-Kindle, ma per l'edizione cartacea la pagina dovrebbe corrispondere.)

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Commenti e note

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di ,

Ti ringrazio!

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di ,

È un bellissimo articolo. Complimenti Pietro

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di ,

Grazie anche a te

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di ,

Sei un mito!

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di ,

Grazie

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di ,

Articolo Magistrale....

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di ,

E invece sì.

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di ,

WOW... Ragazzi così finirò per montarmi la testa
Non merito tanto.
Grazie

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di ,

Beh, che dire? Riprendendo Tardofreak: Nome omen! :). Oppure, parafrasando un altro famoso: "Tu sei Pietro e su questa pietra EY erigerà la sua Elettrotecnica". Insomma, molto bello l'articolo, artistico, creativo: l'elettrotecnica come un gioco dove una scelta iniziale astuta, permette di provare anche il piacere di effettuare calcoli semplici con leggi fondamentali. L'onda lunga di RenzoDF, (l'Ahmes del terzo millenio?) ci ha permesso di scoprire anche questa perla! ;)

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di ,

Molto bello. Bravo Pietro.

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di ,

Grazie, caro TardoFreak!

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di ,

Grande Pietro!

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di ,

E' un grande onore per me, Renzo, ricevere i complimenti da te.
Grazie

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di ,

Sono senza parole Pietro, veramente una pietra miliare, un lavoro che va a completare e collegare le diverse antiche tecniche risolutive! I miei COMPLIMENTI e son certo anche quelli di Ahmes!!!

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