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Marco Martini
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L'iperbole

Articolo n° 5 su 6 del corso "Le coniche". Vai all'indice del corso.

Paragrafi dell'articolo:

  1. L'iperbole come luogo geometrico
  2. Equazione dell'iperbole
  3. Asintoti
  4. Eccentricità
  5. Simmetria ed intersezione con gli assi coordinati
  6. Curva illimitata
  7. Costruzione
  8. Iperbole equilatera
  9. Proprietà geometriche
  10. Collegamenti con la fisica

L’ iperbole come luogo geometrico

Definiamo l’iperbole come il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi F1 e  F2 detti fuochi.

iperbole =

:

Fig.1 Costruzione geometrica dell’iperbole eseguita con Cabri

Equazione dell’iperbole

Fissiamo nel piano i due fuochi e tra loro distanti 2c e scegliamo un riferimento cartesiano in modo tale che l’asse delle ascisse coincida con la retta per  e e quello delle ordinate con l’asse del segmento .

Allora si ha: ed  con  e P(x,y) è il punto generico dell’iperbole.

La condizione    con  a, si esprime  analiticamente mediante l’equazione:

Dopo alcuni passaggi si ottiene l’equazione del luogo geometrico:

              (*)

 che si dice equazione canonica dell’iperbole avente i fuochi sull’asse x.  (dove )

Analogamente si può dimostrare che, se i fuochi appartengono all’asse y, l’equazione è:

        (**)

che si dice equazione canonica dell’iperbole avente i fuochi sull’asse y (dove )

Asintoti

Consideriamo ora un’iperbole di equazione (*) e una retta di equazione y = mx. Vogliamo determinare per quali valori di m la retta interseca l’iperbole, è esterna all’iperbole o, eventualmente, è tangente all’iperbole. Dal seguente sistema:

                                      

ricaviamo l’equazione risolvente:      

Avremo dunque due soluzioni distinte se , ossia se , mentre non abbiamo nessuna soluzione se , ossia se ;

Pertanto abbiamo dimostrato che una retta di equazione y = mx non interseca l’iperbole se ;  mentre interseca l’iperbole se .

Le rette di equazione  si dicono asintoti dell’iperbole. Esse sono, per così dire, le rette di “confine” tra le rette che intersecano l’iperbole e le rette che non intersecano l’iperbole.

Si deduce che i punti della curva sono contenuti nell’angolo formato dai due asintoti e contenente l’asse x (asse focale).

Gli asintoti sono le diagonali del rettangolo di vertici (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)

Eccentricità

Analogamente all’ellisse, si definisce eccentricità il rapporto:

Per un’iperbole risulta quindi e >1

Ø      Esempi con DERIVE: significato di  a e b.

Fig. 2 iperboli con diversi valori di a

La retta contenente i fuochi è detta asse trasverso, la retta perpendicolare all’asse trasverso nel punto medio del segmento di estremi i due fuochi è detta asse non trasverso

Proprietà dell’iperbole

Simmetria ed intersezione con gli assi coordinati

Nell’ equazione canonica compaiono solo termini di 2° grado in x e y, pertanto l’iperbole è simmetrica rispetto agl iassi coordinati e rispetto all’origine.

L’iperbole di equazione (*) interseca l’asse x nei punti e , che si dicono vertici dell’iperbole, mentre non interseca l’asse y. L’asse x è detto l’asse trasverso e l’asse y asse non trasverso

L’iperbole è una curva illimitata

Da (*), poiché: , si deduce che deve essere:

                                                       cioè             

I punti della curva si trovano quindi al di fuori della striscia delimitata dalle rette x = a e x = -a e possono avere entrambe le coordinate comunque grandi.

Qui di seguito diamo un metodo per costruire un’iperbole con riga e compasso

v     si fissano F1 ed F2 su una retta

v     si pone F1F2 = 2c la distanza focale

v     si indica con O il punto medio del segmento F1F2

v     si fissano due punti A1 ed A2 simmetrici rispetto ad O e a distanza a < c da O

v     si sceglie un punto Q sull’asse focale, esternamente al segmento F1F2

v     si pone r = A2Q

v     con centro in F2 si costruisce la circonferenza di raggio r e con centro in F1 si costruisce la circonferenza di raggio r - 2a

v     si indicano con P1 e P2 i punti di intersezione delle due circonferenze (ammesso che esistano)

v     si dimostra che P1 e P2 appartengono entrambi all’iperbole

COSTRUZIONE CON CABRI.

Prendiamo una circonferenza di centro un punto F1 e raggio a piacere ed un punto esterno ad essa, F2. Preso un punto A sulla circonferenza si traccia la retta AF1 e l’asse del segmento AF2. Il loro punto di intersezione appartiene all’iperbole.

Il procedimento eseguito è il seguente:

  1. Circonferenza di centro F1 e raggio a piacere
  2. Punto F2 esterno alla circonferenza
  3. Punto A appartenente alla circonferenza
  4. Retta AF1 e segmento AF2
  5. Asse del segmento AF2
  6. Punto P intersezione tra l’asse e retta AF1
  7. Luogo dei punti P al variare di A

Iperbole equilatera

Se nell’ equazione canonica precedente è a = b, l’iperbole si dice equilatera e le equazioni stesse divengono:

·       se l’asse trasverso è l’asse x       

·       se l’asse trasverso è l’asse y      

Gli asintoti sono le rette di equazione:    e   , cioè le bisettrici dei quadranti e sono perciò perpendicolari tra loro.

Assumiamo come assi cartesiani gli asintoti dell’iperbole equilatera. Il nuovo sistema XOY si può pensare ottenuto dal sistema xOy mediante una rotazione di un angolo di ampiezza  attorno ad O. Utilizzando le formule di rotazione che consentono di passare dal sistema xOy al sistema XOY e viceversa, si ottiene l’equazione di un’iperbole equilatera riferita agli asintoti.

,    con k

Osserviamo i due casi:

·       k > 0: l’iperbole è situata nel 1° e 3° quadrante;

·       k < 0: l’iperbole è situata nel 2° e 4° quadrante.

Esempi: disegnare le seguenti iperboli ,

Facciamo notare agli studenti che il grafico della funzione  esprime la “legge di proporzionalità inversa”.

Intersezioni di un’iperbole con una retta e condizione di tangenza

Le coordinate dei punti comuni ad un’iperbole di equazione  e a una retta di equazione  sono le soluzioni del sistema:

A seconda che per l’equazione risolvente risulti: , , , la retta r è rispettivamente secante, tangente, esterna all’iperbole.

La condizione di tangenza è .

Condizioni per determinare l’equazione di un’iperbole

Per determinare l’equazione di un’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, cioè del tipo:

 

sono necessarie due condizioni, comparendo in essa due coefficienti a e b. Indichiamo alcuni dei casi che si possono presentare:

1.      Passaggio per due punti (non simmetrici rispetto agli assi o rispetto all’origine);

2.      conoscenza delle coordinate di un fuoco e dell’equazione di un asintoto;

3.      conoscenza delle coordinate di un vertice e di un fuoco.

Per determinare l’equazione di un’iperbole equilatera, sia essa del tipo: ,  è sufficiente una sola condizione, che non sia la conoscenza degli asintoti o l’eccentricità, costanti per ogni iperbole equilatera, ma che può essere per esempio data dal passaggio per un dato punto o dalla tangenza ad una data retta.

Esempi: determinare l’equazione dell’iperbole avente come asse focale l’asse x, come asintoti le rette di equazione  e passante per il punto A(2;1).

Iperbole equilatera traslata

Sia data la curva di equazione:

                 (1)

dove i coefficienti a, b, c, d sono costanti assegnate, con c e d non contemporaneamente nulli. Si dimostra che a seconda dei valori assunti dai coefficienti, essa rappresenta o una retta o un’iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani.

1.       e               

la (1) diventa:

equazione che rappresenta una retta di coefficiente angolare m =

 e   da cui si ricava:

ad = bc

Si ottiene in generale la retta  , privata del suo punto di ascissa

2.       e        Þ     iperbole equilatera traslata

Esempi: disegnare la curva di equazione . Si tratta di un’iperbole equilatera traslata, avente per il centro di simmetria il punto O1 (1;-2) e per asintoti le rette: x = 1 e

y = - 2.

Fig. 3 iperbole traslata

Esercizi proposti con DERIVE

Provare a sostituire al posto di a, b, c, d dei valori numerici rispettando le condizioni 1.- 2.- 3.,  e vedere cosa succede.

Per determinare l’equazione di un’iperbole equilatera traslata occorrono tre condizioni indipendenti. Infatti, l’equazione , essendo , può essere scritta nella forma seguente:

  o anche .  Avendo posto   ,  , .

E’ sufficiente perciò determinare h, k, l.

Si possono presentare i casi seguenti:

1. conoscenza delle coordinate del centro di simmetria (o delle equazioni degli asintoti) e passaggio per un punto;

2. conoscenza dell’equazione di un asintoto e passaggio per due punti;

3. passaggio per tre punti.

Facciamo vedere agli allievi che considerando un’iperbole equilatera di  equazione operando una opportuna traslazione degli assi si ottiene un’equazione del tipo  . Indicato con P’(X,Y) il punto immagine di P(x,y), consideriamo la  traslazione data da:

Sostituendo le nuove coordinate in  troviamo l’equazione della curva immagine dell’iperbole:

                           

da cui:

Proprietà geometriche dell’iperbole

L’iperbole equilatera gode della seguente proprietà:

1) Sia P un punto dell’iperbole equilatera. Al variare di P, l’area del triangolo delimitato dalla retta tangente all’iperbole in P e dagli asintoti è costante. 

Dimostrazione

Sia P  un generico punto dell’iperbole di equazione xy = k. Ricaviamo l’equazione della retta t tangente all’iperbole in P utilizzando la legge dello sdoppiamento:

                          da cui,                 

Poiché P appartiene all’iperbole, , quindi sostituendo si ha l’equazione di t:

 

Determiniamo ora i punti A e B di intersezione di t con gli assi cartesiani:

                              B: ,                             quindi

A(0, )   ,            

L’area di AOB, che è rettangolo in O, risulta quindi:

Area AOB =    

Si noti che P è il punto medio del segmento di estremi A e B

Pertanto non dipende da P.

Più in generale, si potrebbe dimostrare che:

L’area di un triangolo delimitato dal centro dell’iperbole e dai punti di intersezione della tangente all’iperbole in un suo punto P e gli asintoti è uguale al prodotto dei semiassi

Analogamente si può facilmente dimostrare che:

2) Ogni rettangolo avente per vertici un punto P dell’iperbole equilatera, le proiezioni di P sugli assi e l’origine ha area uguale a .

Quest’ultima proprietà dovrebbe essere già nota agli allievi, poiché esprime il rapporto di proporzionalità inversa tra due grandezze (due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante).

3) La tangente a un’iperbole in un suo punto P taglia gli asintoti in due punti equidistanti da P

Collegamenti con la Fisica

q       Ottica: anche l’iperbole gode di una proprietà ottica. Se ponessimo una sorgente luminosa in uno dei suoi due  fuochi e considerassimo il ramo dell’iperbole come una parete riflettente internamente, la luce si rifletterebbe andando all’infinito, ma sulla stessa retta su cui si trova l’altro fuoco.

Fig.4  proprietà ottica iperbole

q       Legge di Boyle - Mariotte:    

Il comportamento della pressione di un  gas (a temperatura costante) in funzione del suo volume, viene espresso dal grafico seguente:

 

Fig. 5  grafico della pressione del gas in funzione del suo volume

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Commenti e note

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di giovy,

perché l iperbole non è una funzione?mentre quella omografica si?grazie in anticipo è spiegato molto bene.

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di Diego,

Vorrei sapere come ricvare l'equazione dell'iperbole avendo due sue tangenti. Grazie in anticipo

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di anonymous,

si dovrebbe spiegare meglio perché l'equazione dell'iperbole diventa xy=k

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di Zizi84,

Come mai � trattato solo il caso in cui l iperbole � espressa in forma canonica? Nel caso in cui non lo sia, come si pu� riconoscere e come si studia

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di mirko,

come mai non si parla mai del dove sono posizionati i vertici di un iperbole rif. agli asintoti e quelli di un funzione omografica?
Risposta automatica: porre il quesito nel Forum di matematica

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di Sarah,

credo che la comprensione di quali siano gli asintoti di un' iperbole sia semplificata se fossero evidenziati in un grafico

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di Ed,

sarebbe utile aggiungere i modi x capire come è girata la parabola nella funzione omografica guardando il determinante e aggiungere la formula estesa della translata mx^2+ny^2+ax+by+c=0 e le formule che ne derivano...

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