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Caduta di tensione industriale

Cos'è

La caduta di tensione in una linea è la differenza aritmetica tra i valori efficaci della tensione in partenza, Up, e della tensione in arrivo, Ua. Quindi

Nessun problema dunque calcolarla misurando direttamente i valori di tensione. Ciò che interessa il progettista però è poterla determinare in base alle caratteristiche della linea e del carico.

In continua...

le cose sono abbastanza semplici. E' sufficiente conoscere la corrente I e la resistenza RL della linea. L'unica difficoltà è stabilire la temperatura di funzionamento del conduttore, ma  c'è da dire che essa ha un limite superiore che dipende dall'isolamento. Quindi ci si può riferire a quella ("se se voe stare dala parte del formenton", come dicono in Veneto).

In alternata...

le cose si complicano, sia perché si devono considerare linee monofasi e trifasi, sia in quanto occorre tenere conto, oltre che della resistenza e della corrente, anche della reattanza della linea, XL, e del fattore di potenza del carico, cosfì. Questo per le linee in bassa tensione ed in media è sufficiente, che non sono mai molto lunghe (massimo alcune decine di km) . Per le linee in alta tensione, di lunghezza nettamente superiore, è indispensabile considerare anche gli elementi trasversali, in particolare la capacità di esercizio. Ma non è il nostro caso e l'argomento sarà sviluppato in altra sede (corso sulle linee).

La formula usata

Si complicano, dicevamo, ma non eccessivamente comunque. C'è però una cosa da osservare. Mentre in continua l'espressione della caduta di tensione precedentemente fornita è sostanzialmente esatta, tale non è la formula correntemente usata in alternata. E' una formula approssimata chiamata caduta di tensione industriale. In genere non si specifica approssimata, perché, in condizioni normali, che sono quelle in cui la caduta è piccola rispetto alla tensione nominale, la formula non dà errori apprezzabili. Eccola

Per la resistenza vale sostanzialmente quanto detto per la continua, anche se in teoria occorrerebbe tenere conto dell'effetto pelle che comporta una riduzione della sezione utile del conduttore. Ma è un effetto in genere trascurabile per le usuali linee degli impianti industriali.  Ad ogni modo la resistenza, ed anche la reattanza del resto, di ogni cavo, sono forniti dal produttore dei cavi o da tabelle come quelle mostrate in  questo articolo

Nota: può essere più comoda la seguente formula che mette in evidenza la lunghezza della linea ed i parametri unitari di resistenza e reattanza del cavo

cdt1

Il motivo del perché la formula sia approssimata, e di quanto, lo vediamo dal seguente diagramma vettoriale, che permette, ovviamente, di ricavare anche l'espressione della caduta precedentemente scritta. 

Ogni grandezza in alternata (sinusoidale, è bene specificare) è rappresentabile con un vettore di lunghezza proporzionale al valore efficace, tensione o corrente che siano. Gli angoli tra i vettori rappresentano gli sfasamenti tra le grandezze. La corrente I, sfasata dell'angolo f (fì ) (cioè di quell'angolo il cui coseno trigonometrico è il fattore di potenza)  rispetto alla tensione Ua, provoca una caduta di tensione RL*I in fase con I, rappresentata dal segmento AD, parallelo ad I, ed una caduta reattiva XL*I, in quadratura con I, quindi rappresentata dal vettore PD, perpendicolare ad I. La somma vettoriale

rappresenta la tensione in partenza Up . La caduta di tensione effettiva è dunque data dalla lunghezza del segmento OP meno la lunghezza del segmeto OA che rappresenta Ua. Puntando il compasso in O, si traccia un arco di circonferenza che interseca la retta di OA in B. La caduta è allora rappresentata dal segmento AB che, come si vede, è la somma dei segmenti AH e BH dove il punto H è l'intersezione con la retta di OA della perpendicolare mandata da essa dal punto P. Come già il disegno evidenzia, il segmento BH è abbastanza minore del segmento AH. Nella realtà poi la differenza è ancora molto maggiore di quella che si valuta dal disegno, in quanto la differenza effettiva tra Up ed Ua è sensibilmente inferiore di quella del disegno, dove, per ragioni di chiarezza visiva, i rapporti reali non sono stati rispettati. Si può allora dire che la caduta di tensione può essere approssimata valutando il segmento AH, facilmente calcolabile con la trigonometria. E' infatti la somma tra la proiezione di AD secondo OA e la proiezione di DP sempre secondo OA.

La somma dà la formula mostrata in precedenza. Il fattore k=1,73, che è la radice quadrata di tre, per il caso trifase è dovuto al fatto che in questo caso si deve considerare la tensione concatenata che è 1,73 volte la tensione stellata, per la quale valela formula con k=1 come per il monofase, con la differenza che come lunghezza del filo per calcolare la resistenza di linea si deve considerare l e non 2*l).

L'errore di approssimazione

Usando la precedente formula per calcolare la caduta di tensione, si commette dunque un errore che, in assoluto, è dato dalla lunghezza del segmento BH. Percentualmente è piccolo l'errore, come detto. Però quanto vale? Lo si può mettere in formula nel modo seguente

C'è, come si vede, la necessità di conoscere Up per valutare con precisione la caduta di tensione, il che non è necessari per l'uso della formula approssimata. Si è soliti approssimare anche l'espressione di BH. Normalmente infatti PH<<OP per cui il rapporto tra PH ed OP elevato al quadrato è molto minore di uno. Quindi

Anche questa espressione approssimata dell'errore richiede la conoscenza di Up, ma  non si commette un errore significativo usando Ua che, in condizioni di normale funzionamento, non è mai molto diversa da Up ( in pratica basta considerare la tensione nominale del sistema).L'ordine di grandezza della caduta è di qualche percento (le norme CEI consigliano di non superare il 4%.).

Un esempio

Ed ecco come variano, in funzione dell'angolo di sfasamento del carico, la caduta industriale in una linea trifase di L=200 m, di sezione 120 mm2 (Rl = rL*L= 0,0376 ohm; Xl =xL*L= 0,0188 ohm) con un corrente di I=300 A. (I valori unitari in rL ed xL, ohm/km si trovano nella tabella citata. Si sono considerati sia carichi induttivi che capacitivi. Osserviamo che nel caso di carichi capacitivi, per angoli in valore assoluto superiori all'arcotangente di Rl/Xl, che nel caso dell'esempio vale 63,4°, la caduta è negativa, si ha cioè una sopraelevazione di tensione.

 

La formula della caduta industriale è dunque abbastanza semplice da applicare e l'errore commesso è molto piccolo come si vede anche dal grafico.

Ma se vogliamo essere precisi

è possibile, utilizzando i numeri complessi, ricavare una formula per calcolare la caduta senza introdurre approssimazioni. Il procedimento è di seguito descritto. Poniamo la tensione Ua sull'asse reale, ridisegniamo il precedente grafico vettoriale e scriviamo i numeri complessi che rappresentano i vari vettori.  

Ed ora i vari passaggi per ottenere la formula esatta

In base a questa formula tracciamo sempre il grafici della caduta

Come si vede non c'è differenza apprezzabile con quello approssimato.

Con Scilab

I grafici sono stati tracciati usando Scilab. Di seguitoil codice usato, che basta copiare ed incollare nella finestra di Scilab (senza la numerazione delle linee). Esso permette di modificare i parametri di calcolo (Rl, Xl, tensione U, corrente I).

//INTRODUZIONE DEI DATI

txt=['U(V)=';'Xl (ohm) =';'Rl (ohm)=';'I (A)=';'k='];

C=evstr(x_mdialog('resistenze ed alimentazione',txt,['400';'0.0188';'0.0376';'300';'1.73']));

Up=C(1);

Xl=C(2);

Rl=C(3);

I=C(4);

k=C(5);

//sfasamento

x=[-90:5:90];

 

//ERRORE commesso usando la formula della caduta industriale

err="(I^2/(2*Up))*(Xl*cos(x*%pi/180)-Rl*sin(x*%pi/180))^2"

deff("[y]=f(x)","y=k*"+err)

fplot2d(x,f);

h=get("current_figure");

h.children.grid=[1,1];

h.figure_name="Errore caduta industriale";

h.figure_size=[305,250];

h.axes_size=[350,250];

a=get("current_axes");

xlabel=a.x_label;

xlabel.text=" sfasamento (°)";

ylabel=a.y_label;

ylabel.text=" errore (V)";

 

//Caduta industriale

cdt="I*(Rl*cos(x*%pi/180)+Xl*sin(x*%pi/180))"

deff("[y1]=f1(x)","y1=k*"+cdt)

xset("window",1);

fplot2d(x,f1);

h1=get("current_figure");

h1.children.grid=[1,1];

h1.figure_name="Caduta industriale";

h1.figure_size=[350,250];

h1.axes_size=[350,260];

a1=get("current_axes");

xlabel=a1.x_label;

xlabel.text=" sfasamento (°)";

ylabel=a1.y_label;

ylabel.text=" caduta di tensione (V)";

 

//Caduta effettiva

U=Up/k;

Zl=sqrt(Rl^2+Xl^2);

alpha=(180/%pi)*atan(Xl/Rl);

phi=x;

cdt="(sqrt(U^2+2*U*Zl*I*cos((alpha-phi)*(%pi/180))+(Zl*I)^2)-U)"

deff("[y2]=f2(phi)","y2=k*"+cdt);

xset("window",2);

fplot2d(phi,f2);

h2=get("current_figure");

h2.children.grid=[1,1];

h2.figure_name="Caduta effettiva";

h2.figure_size=[350,250];

h2.axes_size=[350,260];

a2=get("current_axes");

xlabel=a2.x_label;

xlabel.text=" sfasamento (°)";

ylabel=a2.y_label;

ylabel.text=" caduta di tensione (V)";

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Commenti e note

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di ,

La linea non è comunque molto lunga; quindi ci si può ancora accontentare del modello con resistenza e reattanza longitudinali, trascurando i parametri trasversali, ai fini della caduta di tensione. I valori di resistenza e reattanza che stai usando vanno bene. Per il calcolo delle correnti in gioco è però consigliabile usare il circuito equivalente a pigreco nominale, con l'ammettenza trasversale totale suddivisa in due parti poste all'ingresso ed all'uscita.

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di ,

Capisco che questa formula non sia corretta, avevo letto la nota all'interno dell'articolo. Tuttavia speravo di poter almeno avere un dato di riferimento per capire l'ordine di grandezza. Come ho detto non padroneggio la materia pienamente e avrei bisogno di capire almeno dove reperire qualche dato o qualche formula adeguata. Non é che mi puó dare un aiuto in questo senso almeno? La ringrazio comunque molto...

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di ,

Come premesso, per linee in Alta tensione, il metodo di calcolo proposto in questo articolo non è adeguato. Occorre tenere condo dei parametri trasversali.

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di ,

Salve, ho letto questo articolo con interesse e attenzione. Ho un problema molto serie legato alla caduta di tensione di una linea di trasmissione lunga in CA trifase, sulla quale dovrei calcolare una caduta di tensione diciamo sommaria per la quale volevo usare la formula sopra citata. I miei parametri sono:
Tensione 138 kV Potenza attiva 99 MW
Fattore di potenza 0.9
Lunghezza 51 km
con cavo 636 mcm (la linea è sudamericana)
so inoltre che la linea sarà con cavi in Al, per i parametri mi sono rifatto a : questo data della 3M dal quale ho ricavato resistenza (0.0875 ohm/km) e reattanza induttiva (0.2576 ohm/km). Il mio problema è che con i valori della 3M la reattanza induttiva alta mi porta a perdite molto alte e non ho modo di verificare questo dato (la resitenza invece è quella anche calcolandola con la classica formula). Qualcuno può darmi una mano...gliene sarei molto grato! (il mio capo mi stà alle calcagna ma ne capisce meno d me...)

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di moviemaniac,

Che valori si possono utilizzare per rozero e alfa nel caso di conduttore in alluminio? Grazie

Risposta: Qui c'è una tabella

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di ,

Andrea, la caduta di tensione effettiva deve essere minore a quella massima imposta dal problema.

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di Andrea,

La caduta di tensione effettiva(o industriale) deve risultare minore rispetto alla caduta di tensione della linea in un problema?

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di Aristide,

nel caso di una linea complessa come ad esempio quella di distribuzione di un impianto elettrico con varie ramificazioni (partenza da diversi quadri), la caduta di tensione totale si ottiene "semplicemente" sommando le cadute di tensione relative ai vari rami?

Risposta automatica:

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di ,

LVela,
ti sbagli: nessuno considera il segmento AP uguale ad AB.
Il fatto è che il segmento AP non rappresenta la caduta di tensione che interessa. Ciò che si desidera sapere è quale tensione c'è all'arrivo per una data tensione in partenza, INDIPENDENTEMENTE dalla fase tra le due tensioni.
La caduta è dunque definita come la DIFFERENZA ARITMETICA tra la tensione in partenza e quella in arrivo ( è ciò che è scritto del resto all'inizio dell'articolo).
Il segmento AP non è la differenza aritmetica ma il modulo della differenza geometrica.
Il segmento AB invece è proprio la differenza aritmetica.

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di LVela,

non credo sia corretto considerare la lunghezza del segmento AB uguale a quella del segmento AP che dovrebbe rappresentare la vera caduta di tensione. potete chiarirmi questo dubbio?

Rispondi

di ,

Grazie della segnalazione, Romeo. Ho provveduto a correggere.

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di Bucchi Romeo,

nella nota "può essere più comodo......" ad Xl: sostituire resistenza unitaria con reattanza unitaria.

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