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Resistenza equivalente

Per determinare la resistenza equivalente di una qualunque rete resistiva vista da due terminali, è sufficiente immaginare di collegare ai due terminali un generatore ideale di tensione, calcolare la corrente da esso erogata e fare il rapporto tra la f.e.m del generatore e l'intensità di corrente calcolata.

Matematicamente ciò equivale a procedere nel seguente modo. 

Si immagini di scrivere il sistema di equazioni che risolve la rete ricorrendo al metodo delle correnti di maglia. La maglia con il generatore di tensione sia la n. 1 e sia m il numero delle maglie.

Il sistema, utilizzando la notazione matriciale sarà del tipo:

 

La corrente erogata dalla f.e.m. E è I=i1

Si ha allora

Spesso si procede in altro modo, per calcoli e schemi successivi ricorrendo ai concetti di serie e di parallelo.

Più resistenze si dicono in serie quando sono percorse dalla stessa corrente, in parallelo quando sono sottoposte alla medesima tensione.

La resistenza equivalente a n resistenze in serie corrisponde alla somma delle n resistenze mentre la resistenza equivalente di n resistenze in parallelo è l'inverso della somma degli inversi delle n resistenze.

La tensione applicata alla serie è infatti, per il secondo principio di Kirchhoff, la somma delle tensioni ai capi delle singole resistenze, che per la legge di Ohm sono uguali al prodotto delle resistenze per la corrente comune.

Si ha allora:

Nel caso del parallelo invece, per il primo principio di Kirchoff la corrente totale è la somma delle correnti sulle singole resistenze le quali, per la legge di Ohm, sono uguali alla tensione comune diviso la resistenza stessa.

Si ha in definitiva:

Da cui

Il metodo di calcolo consiste perciò nell'individuare serie e/o paralleli di resistenze, sostituirli con il valore della loro resistenza equivalente e procedere fino ad arrivare ad avere una sola resistenza che è la resistenza equivalente totale.

A volte però ci si imbatte in reti in cui non è possibile individuare né resistenza in serie, né resistenze in parallelo com'è il caso della rete di figura ( nota con il nome ponte di Wheatstone)

Si ricorre allora alla trasformazione stella-triangolo.

Stella di resistenze (Y)

Triangolo di resistenze (D)

Una stella è un tripolo costituito da tre resistenze aventi un terminale comune mentre i tre terminali liberi sono collegati a punti di diverso potenziale.

Un triangolo è un tripolo costituito da tre resistenze collegate una di seguito all'altra formando una figura chiusa. I tre punti di connessione delle resistenze sono assimilabili ai vertici di un triangolo e sono collegati a punti di diverso potenziale.

Le equazioni che definiscono la trasformazione si ricavano estendendo il concetto di equivalenza espresso per un bipolo ad un tripolo. Un tripolo è equivalente ad un altro se, considerati due qualsiasi poli dell'uno, la relazione che lega tensione e corrente entrante è la stessa di quella che si ottiene considerando i poli corrispondenti dell'altro tripolo.

Ciò equivale ad impostare il sistema di equazioni

 
che risolto assumendo come incognite RA, RB, RC fornisce la terna di equazioni che definiscono la trasformazione triangolo-stella (D        Y)  mentre risolto assumendo come incognite RAB, RBC, RAC si ottiene la terna di equazioni che definiscono la trasformazione stella-triangolo (Y         D).

Si hanno dunque le relazioni:

DY

YD

Nel caso del ponte di Wheatstone R1, R2, R5 costituiscono una stella (come R3, R4, R5) mentre R1, R3, R5 formano un triangolo (come R2, R4,R5). Sostituendo allora o una stella con il triangolo equivalente o un triangolo con la stella equivalente si ottiene un circuito equivalente composto da resistenze in serie ed in parallelo come si evidenzia nelle figure seguenti.

(RA=R1; RB=R2; RC=R5)

(RAD=R1; RDC=R5; RAC=R3)

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Commenti e note

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di ,

Aiuto
devi specificare i due terminali rispetto ai quali desideri calcolare la resistenza equivalente, se stai interpretando la struttura che hai descritto come un bipolo.

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Se invece la stai pensando come un doppio bipolo con bipolo di ingresso AC e bipolo d'uscita BC, non puoi sostituirla con un'unica resistenza, ma solo trasformare la struttura a pigreco nella stella equivalente struttura a T, costituita pure da tre resistenze. Puoi utilzzare per questo la trasformazione triangolo-stella che puoi trovare qui

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di Aiuto,

Credo che intendesse una rete a triangolo a pigreco, 2 resistenze "verticali" e una "orizzontale" che le collega. In quel caso come si trova la resistenza equivalente?

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di ,

Che tipo di collegamento è il "trasfesale"? Suppongo che tu volessi scrivere trasversale, ma com'è fatta una maglia di tre resistenze di cui una trasversale alle altre due? E tra quali punti dovrebbe essere calcolata la resistenza equivalente?

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di non ho capito !,

se ho una maglia con 3 resitenze di cui 2 in parallelo e 1 trasfesale alle 2. Come faccio a calcolare la resistenza equivalente?

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di ,

Era anche possibile esprimere meglio la richiesta di una spiegazione migliore.

Non mi è chiaro se è una critica alla notazione, non rigorosa dal punto di vista matematico, o alla mancanza di indicazioni sul calcolo del determinante delle matrici. In quest'ultimo caso suggerisco questo link.

Non era comunque obiettivo dell'articolo né il rigore formale matematico, né il metodo di calcolo delle matrici quadrate, dato come argomento propedeutico noto.

Electroportal.net è organizzato in articoli come una rivista, non è un manuale  di Elettrotecnica. La speranza è che siano articoli gradevoli e stimolanti e che il tempo possa dare una maggior completezza al lavoro.

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di Roby,

potevate spiegare meglio la nota matriciale...!!..

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