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Circuiti magneticamente accoppiati

La richiesta del calcolo di coefficienti di auto e mutua induzione pervenuta nel forum, mi ha ricordato questo articolo di un paio d'anni fa, che non avevo pubblicato perché dovevo completarlo. Ora non ricordo più bene cosa dovessi o volessi aggiungervi, per cui ho deciso di pubblicarlo più o meno com'era, aggiungendovi l'esercizio contenuto nella richiesta. E' sorprendente sentirsi dire da chi deve calcolare per esercizio tali coefficienti, che non ha mai visto le loro definizioni o addirittura che sul testo non esistono!
Certo, può essere la bugia di uno studente, però è una cosa che fa pensare alla mutazione introdotta dalla rete nel modo di studiare: sembra non esista più un riferimento guida come un libro di testo, che viene sostituito dai motori di ricerca nei cui risultati spesso ci si perde incapaci di distinguere in essi il flusso logico delle conoscenze che servono.
Ad ogni modo in questo articolo le definizioni dei coefficienti le ho inserite, quindi spero che possano servire a qualche studente che per caso lo pescherà nella marea di pagine che internet gli propone.

Indice

Definizioni

Coefficiente di autoinduzione

Si definisce coefficiente di autoinduzione di un circuito il rapporto tra il flusso concatenato con il circuito e la corrente in esso circolante che lo produce

L=\frac{\Phi_C}{I} \quad [1]

E' un numero intrinsecamente positivo in quanto si considera convenzionalmente come verso positivo per i flussi quello del flusso prodotto dalla corrente circolante nel circuito nel verso assunto come positivo. I due versi sono associati secondo la regola della vite destrogira.

Se il circuito comprende N spire comunque distribuite, si definisce flusso medio attraverso una spira il rapporto tra il flusso concatenato ed il numero di spire

\Phi=\frac{\Phi_C}{N} \quad [2]

Nota la riluttanza \Re del circuito magnetico sede del flusso si ha, per la legge di Hopkinson NI = \Re \Phi, per cui si può scrivere

L = \frac{{N^2}}{\Re} \quad [3]

Coefficiente di mutua induzione

Due circuiti sono mutuamente accoppiati quando il flusso prodotto dalla corrente circolante in un circuito si concatena con l'altro circuito. Si definisce coefficiente di mutua induzione M il rapporto tra il flusso concatenato con un circuito prodotto dalla corrente che circola nell'altro circuito, diviso la corrente di quest'ultimo.
M è positivo se il flusso di mutua induzione è concorde con il flusso di autoinduzione, negativo in caso contrario, quindi dipende dai versi fissati arbitrariamente come positivi per le correnti nei due circuiti.

Due circuiti accoppiati

Nella figura che segue è esemplificato un accoppiamento magnetico tra due circuiti, che sono avvolgimenti di N1 ed N2 spire rispettivamente.


Considerando identico il circuito magnetico in cui si sviluppa il campo prodotto dai due avvolgimenti, quindi considerando la stessa riluttanza, avremo

\begin{array}{l}
{L_1} = \frac{{N_1^2}}{\Re };{L_2} = \frac{{N_2^2}}{\Re }\\
\\
\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}} = \frac{{N_1^2}}{{N_2^2}} \quad [3a]

\end{array}


Suddividiamo ora il flusso prodotto da ciascun circuito in un flusso comune ad entrambi e da un flusso disperso che si concatena con il solo circuito che lo produce.

{\Phi _{11}} = \frac{{{L_1}{I_1}}}{{{N_1}}} : flusso medio totale per ogni spira del circuito di induttanza L1
prodotto dalla corrente circolante nel circuito stesso

{\Phi _{22}} = \frac{{{L_2}{I_2}}}{{{N_2}}} : flusso medio totale per ogni spira del circuito di induttanza L2 prodotto dalla corrente circolante nel circuito stesso

{\Phi _{12}} = \frac{{\left| M \right|{I_1}}}{{{N_2}}}: flusso medio per ogni spira del secondo circuito prodotto dalla corrente circolante nel primo

{\Phi _{21}} = \frac{{\left| M \right|{I_2}}}{{{N_1}}}: flusso medio per ogni spira del primo circuito prodotto dalla corrente circolante nel secondo


{\Phi _{1d}} = {\Phi _{11}} - {\Phi _{12}} = \frac{{{L_{1d}}{I_1}}}{{{N_1}}}: flusso medio disperso per ogni spira del primo circuito. L1d:induttanza di dispersione del primo circuito

{\Phi _{2d}} = {\Phi _{22}} - {\Phi _{21}} = \frac{{{L_{2d}}{I_2}}}{{{N_2}}}: flusso medio disperso per ogni spira del secondo circuito. L2d: induttanza di dispersione del secondo induttore.

Coefficient1 di dispersione

{\sigma _1} = \frac{{{\Phi _{1d}}}}{{{\Phi _{11}}}} = 1 - \frac{{\left| M \right|}}{{{L_1}}}\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} per il circuito 1 e
{\sigma _2} = \frac{{{\Phi _{2d}}}}{{{\Phi _{22}}}} = 1 - \frac{{\left| M \right|}}{{{L_2}}}\frac{{{N_2}}}{{{N_1}}} per il secondo

si può porre

L1d = σ1L1
L2d = σ2L2

Accoppiamento perfetto

Se i flussi dispersi sono nulli, l'accoppiamento si dice perfetto. Si ha, in tal caso

\begin{array}{l}
{\Phi _{11}} = {\Phi _{12}} \to \frac{{{L_1}{I_1}}}{{{N_1}}} = \frac{{\left| M \right|{I_1}}}{{{N_2}}} \to \frac{{{L_1}}}{{{N_1}}} = \frac{{\left| M \right|}}{{{N_2}}}\\
{\Phi _{22}} = {\Phi _{21}} \to \frac{{{L_2}{I_2}}}{{{N_2}}} = \frac{{\left| M \right|{I_2}}}{{{N_1}}} \to \frac{{{L_2}}}{{{N_2}}} = \frac{{\left| M \right|}}{{{N_1}}}
\end{array}
quindi

\frac{{{L_1}}}{{\left| M \right|}} = \frac{{\left| M \right|}}{{{L_2}}} = \frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = a \quad [4]

a: rapporto di trasformazione

\left| M \right| = \sqrt {{L_1}{L_2}} \quad [5]

Accoppiamento imperfetto

In tal caso si ha

\left| M \right| = k \sqrt {{L_1}{L_2}} \quad [6]

con
0 \le k < 1
e si può verificare che
k^2 = \left( {1 - {\sigma _1}} \right)\left( {1 - {\sigma _2}} \right)

Regime sinusoidale

Consideriamo il doppio dipolo di figura

Esso è costituito da due circuiti, galvanicamente separati. Il primo caratterizzato da un coefficiente di autoinduzione L1 che immaginiamo costituito di N1 spire, il secondo da un coefficiente L2 con N2 spire.
Corrisponde in pratica alla struttura precedente. L'accoppiamento è definito dal coefficiente di mutua induzione M che assumiamo come positivo, il che significa che la tensione mutuamente indotta è concorde con la tensione di autoinduzione. Nel successivo paragrafo analizzermo in dettaglio la questione del segno.

Con in versi delle grandezze indicati nello schema, si possono scrivere le equazioni che definiscono completamente il funzionamento del doppio dipolo in regime sinusoidale.

{{\dot V}_1} = {{\dot Z}_{11}}{{\dot I}_1} + {{\dot Z}_{12}}{{\dot I}_2}
{{\dot V}_2} = {{\dot Z}_{22}}{{\dot I}_1} + {{\dot Z}_{21}}{{\dot I}_2}

Le impedenze che compaiono sono dette auto (pedici uguali) e mutue impedenze (pedici diversi). Applicandono per esse le relazioni che le definiscono si ha

\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\dot Z}_{11}} = {{\left( {\frac{{{{\dot V}_1}}}{{{{\dot I}_1}}}} \right)}_{{{\dot I}_2} = 0}} = {\rm{j}}\omega {L_1}}\\{{{\dot Z}_{22}} = {{\left( {\frac{{{{\dot V}_2}}}{{{{\dot I}_2}}}} \right)}_{{{\dot I}_1} = 0}} = {\rm{j}}\omega {L_2}}\\\begin{array}{l}{{\dot Z}_{12}} = {\left( {\frac{{{{\dot V}_1}}}{{{{\dot I}_2}}}} \right)_{{{\dot I}_1} = 0}} = {\rm{j}}\omega M\\{{\dot Z}_{21}} = {\left( {\frac{{{{\dot V}_2}}}{{{{\dot I}_1}}}} \right)_{{{\dot I}_2} = 0}} = {\rm{j}}\omega M\end{array}
\end{array}
Quindi le equazioni del doppio dipolo diventano

{{\dot V}_1} = {\rm{j}}\omega {L_1}{{\dot I}_1} + {\rm{j}}\omega M{{\dot I}_2} = {\rm{j}}\omega \left( {{L_1}{{\dot I}_1} + M{{\dot I}_2}} \right)
{{\dot V}_2} = {\rm{j}}\omega M{{\dot I}_1} + {\rm{j}}\omega {L_2}{{\dot I}_2} = {\rm{j}}\omega \left( {M{{\dot I}_1} + {L_2}{{\dot I}_2}} \right)

Circuito equivalente conduttivo

I due circuiti magneticamente accoppiati, quindi senza alcun collegamento conduttivo tra di loro, possono essere sostituiti dal seguente circuito equivalente in cui l'accoppiamento è di tipo conduttivo

Se si ricavano di questo doppio dipolo le auto e mutue impedenze, troviamo infatti gli stessi valori visti in precedenza.

Il segno di M

Nel paragrafo precedente si è assunto M come positivo nella scrittura delle equazioni. In genere negli schemi per stabilire il segno di M si usa contrassegnare con un punto un terminale di ognuno dei due avvolgimenti accoppiati. Se i versi positivi stabiliti per le correnti dei due avvolgimenti escono entrambi (o entrambi entrano) dal terminale contrassegnato con il punto, si considera M > 0; in caso contrario è M < 0

Se si dispone del circuito magnetico in cui è mostrato il senso dell'avvolgimento si può determinare lo schema circuitale contrassegnado con il punto i terminali per stabilire il segno di M.

In figura, nell'avvolgimento di sinistra la corrente entrante in A genera un flusso (regola mano destra) il cui verso è indicato con la freccia rossa. Per generare un flusso concorde nell'avvolgimento di destra la corrente deve entrare da D.
Si puè anche dire che D è il terminale da cui esce la corrente indotta nell'avvolgimento CD dal flusso prodotto dall'avvolgimento AB (corrente naturale): per la legge di Lenz infatti tale corrente deve generare un flusso che si oppone al flusso induttore.
I terminale da contrassegnere con il punto sono allora A e D

Accoppiamento perfetto

Se l'accoppiamento è perfetto, sostituendo le relazioni che lo definiscono nelle equazioni possiamo scrivere

{{\dot V}_1} = {\rm{j}}\omega {L_1}\left( {{{\dot I}_1} + \frac{{{{\dot I}_2}}}{a}} \right) \to {{\dot I}_1} = \frac{{{{\dot V}_1}}}{{{\rm{j}}\omega {L_1}}} - \frac{{{{\dot I}_2}}}{a}

{{\dot V}_2} = {\rm{j}}\omega {L_2}\left( {a{{\dot I}_1} + {{\dot I}_2}} \right) = {\rm{j}}\omega {L_2}a\left( {{{\dot I}_1} + \frac{{{{\dot I}_2}}}{a}} \right)

perciò

{{\dot I}_1} = \frac{{{{\dot V}_1}}}{{{\rm{j}}\omega {L_1}}} - \frac{{{{\dot I}_2}}}{a}
\frac{{{{\dot V}_1}}}{{{{\dot V}_2}}} = \frac{{{L_1}}}{{a{L_2}}} = a

posto \dot I_{12}=-\frac{\dot I_2}{a} le equazioni trovano rappresentazione nello schema


La corrente che percorre l'induttanza L1 è detta corrente magnetizzante
\dot I_{\mu}=\frac{\dot V_1}{\text{j} \omega L_1}

Il quadripolo nel riquadro tratteggiato è detto

trasformatore ideale

Per esso valgono le relazioni

{{\dot I}_{12}} =  - \frac{{{{\dot I}_2}}}{a}
\frac{{{{\dot V}_1}}}{{{{\dot V}_2}}} = a

Valgono le proprietà

1

{{\dot Z}_2} = - \frac{{{{\dot V}_2}}}{{{{\dot I}_2}}} = - \left( {\frac{{\frac{{{{\dot V}_1}}}{a}}}{{ - a{{\dot I}_{12}}}}} \right) = \frac{1}{{{a^2}}}\frac{{{{\dot V}_1}}}{{{{\dot I}_{12}}}} = \frac{{{{\dot Z}_1}}}{{{a^2}}}
L'impedenza vista dal primario è cioè quella al secondario moltiplicata per il quadrato del rapporto di trasformazione.

\dot Z_1= a^2 \dot Z_2
Nota: la definizione di trasformatore ideale può essere data per qualsiasi funzione del tempo delle grandezze tensione e corrente, quindi anche per correnti e tensioni continue. Il trasformatore ideale dunque funziona anche in continua. Si veda in proposito una discussione di qualche anno fa nel forum (trasformatori in continua!?
2

{{\dot S}_1} = {{\dot V}_1}{{\hat I}_{12}} = {P_1} + {\rm{j}}{Q_1} = a{{\dot V}_2}\left( { - \frac{{{{\hat I}_2}}}{a}} \right) = - {{\dot S}_2} = - {P_2} - {\rm{j}}{Q_2}
La potenza complessa entrante nel primario esce completamente dal secondario: il trasformatore ideale è dunque completamente trasparente per le potenze. Nel caso particolare di a = 1 il circuito equivalente può essere rappresentato con

quindi una linea bifilare priva di resistenza, induttanza e capacità.

oppure si può anche scrivere
{{\dot I}_2} = \frac{{{{\dot V}_2}}}{{{\rm{j}}\omega {L_2}}} - a{{\dot I}_1}
da cui, ponendo \dot I_{21}=-a \dot I_1, lo schema


Accoppiamento non perfetto

Poniamo

\begin{array}{l}
{L_1} = L{'_1} + L'{'_1}\\
{L_2} = L{'_2} + L'{'_2}\\
M = \sqrt {L'{'_1} \cdot L'{'_2}} 
\end{array}

quindi

\begin{array}{l}
L{'_1} = {L_{1d}} = {\sigma _1}{L_1}\\
L{'_2} = {L_{2d}} = {\sigma _2}{L_2}\\
L'{'_1} = {L_1} - {L_{1d}} = \left( {1 - {\sigma _1}} \right){L_1}\\
L'{'_2} = {L_2} - {L_{2d}} = \left( {1 - {\sigma _2}} \right){L_2}
\end{array}

Verificando che

\begin{array}{l}
\sqrt {\frac{{L'{'_1}}}{{L'{'_2}}}}  = \sqrt {\frac{{\left( {1 - {\sigma _1}} \right){L_1}}}{{\left( {1 - {\sigma _2}} \right){L_2}}}}  = \sqrt {\frac{{\frac{{\left| M \right|}}{{{L_1}}}\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}}}{{\frac{{\left| M \right|}}{{{L_2}}}\frac{{{N_2}}}{{{N_1}}}}}\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}}  = \sqrt {\frac{{\left| M \right|}}{{{L_1}}}\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}\frac{{{L_2}{N_1}}}{{{N_2}\left| M \right|}}}  = \\
 = \sqrt {\frac{{N_1^2}}{{N_2^2}}\frac{{{L_2}}}{{{L_1}}}\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}} \right)}^2}}  = \frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = a
\end{array}

Possiamo considerare per gli induttori non perfettamente accoppiati, il seguente schema

E' lo schema comunemente adottato per rappresentare i trasformatori reali.
Si noti che la suddivisione delle due induttanze per rappresentare con uno schema l'accoppiamento non perfetto, dà luogo in realtà ad infinite soluzioni in quanto le quattro induttanze devono soddisfare a tre condizioni.

Esercizi

1

Calcolare i coefficienti di auto e mutua induzione degli avvolgimenti del circuito magnetico di figura done la permeabilità del ferro è considerata infinita.
Oltre ai dati evidenziati nel disegno occorre tener conto della sezione dei traferri da considerare, per tutti, pari a S=90 \, \text{cm}^2

Circuito elettrico equivalente

I tratti a permeabilità infinita hanno riluttanza nulla. Si deve tener perciò conto della riluttanza dei soli traferri

\begin{array}{l}
{R_1} = {R_4} = \frac{{{t_1}}}{{{\mu _0}S}} = \frac{{4 \times {{10}^{ - 3}}}}{{4\pi {{10}^{ - 7}} \times 90 \times {{10}^{ - 4}}}} = 354 \, {\rm{k}}{{\rm{H}}^{ - 1}}\\
{R_2} = {R_3} = \frac{{{t_2}}}{{{\mu _0}S}} = \frac{{2 \times {{10}^{ - 3}}}}{{4\pi {{10}^{ - 7}} \times 90 \times {{10}^{ - 4}}}} = 177\,{\rm{k}}{{\rm{H}}^{ - 1}}
\end{array}
Il terminale in cui si impone la corrente di ingresso determina la polarità del generatore che rappresenta la fem.

Calcolo di L1

Per definizione il coefficiente di autoinduzione è il rapporto tra il flusso concatenato con l'avvolgimento e la corrente dell'avvolgimento stesso che è l'unica a produrre quel flusso. Il flusso concatenato è il flusso che attraversa una spira moltiplicato per il numero delle spire, ammettendo l'assenza di dispersioni come nel nostro caso in cui si è assunta infinita la permeabilità del ferro. Il flusso che attraversa una spira si calcola utilizzando il circuito elettrico equivalente dove è stata annullata la corrente del secondo avvolgimento, quindi la corrispondente forza magnetomotrice

\begin{array}{l}
{L_1} = {\left. {\frac{{{\phi _{C1}}}}{{{I_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}} = {\left. {\frac{{{N_1}{\phi _1}}}{{{I_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}}\\
{\phi _1} = \frac{{{N_1}{I_1}}}{{{R_{eq1}}}}\\
{R_{eq1}} = {R_1}||{R_3} + {R_2}||{R_4} = 2 \times \frac{{354 \times 177 \times {{10}^6}}}{{\left( {354 + 177} \right) \times {{10}^3}}} = 236 \times {10^3} \, {{\rm{H}}^{ - 1}}\\
{R_{eq1}} = 2 \times \frac{{354 \times 177 \times {{10}^6}}}{{\left( {354 + 177} \right) \times {{10}^3}}} = 236 \times {10^3} \, {{\rm{H}}^{ - 1}}\\
{L_1} = \frac{{N_1^2}}{{{R_{eq1}}}} = \frac{{{{120}^2}}}{{236 \times {{10}^3}}} = 0{,}061 \, {\rm{H}}
\end{array}

Calcolo di L2

Le considerazioni sono analoghe a quelle del caso precedente. In questo caso si annulla la corrente nell'avvolgimento 1

\begin{array}{l}
{L_2} = {\left. {\frac{{{\phi _{C2}}}}{{{I_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}} = {\left. {\frac{{{N_2}{\phi _2}}}{{{I_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}}\\
{\phi _2} = \frac{{{N_2}{I_2}}}{{{R_{eq2}}}}\\
{R_{eq2}} = {R_1}||{R_2} + {R_3}||{R_4} = 2 \times \frac{{354 \times 177 \times {{10}^6}}}{{\left( {354 + 177} \right) \times {{10}^3}}} = 236 \times {10^3} \, {{\rm{H}}^{ - 1}}\\
{L_2} = \frac{{N_2^2}}{{{R_{eq2}}}} = \frac{{{{180}^2}}}{{236 \times {{10}^3}}} = 0{,}137 \, {\rm{H}}
\end{array}

Calcolo di M

In questo caso si mantiene la corrente in uno dei due avvolgimenti, ad esempio N1, e si calcola il flusso nelle spire dell'altro lasciato aperto.

M = {\left. {\frac{{{\phi _{C2}}}}{{{I_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}} = {\left. {\frac{{{N_2}{\phi _2}}}{{{I_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}}


\begin{array}{l}
{\phi _2} = \phi '' - \phi ' =  - 0,334{\phi _1}\\
\phi ' = {\phi _1}\frac{{354}}{{531}} = 0,667{\phi _1}\\
\phi '' = {\phi _1}\frac{{177}}{{531}} = 0,333{\phi _1}
\end{array}

M = \frac{{{N_2}{\phi _2}}}{{{I_1}}} =  - \frac{{180 \times 0,334{\phi _1}}}{{{I_1}}} =  - \frac{{180 \times 120 \times 0,334}}{{236 \times {{10}^3}}} =  - 0{,}031 \, {\rm{H}}

Nota: M risulta negativo. Significa che il flusso prodotto da un avvolgimento nell'altro è contrario a quello prodotto dall'avvolgimento stesso. Per avere M positivo la corrente, in uno dei due deve entrare dal terminale opposto. Allora secondo la convenzione del pallino, i due avvolgimenti devono essere così rappresentati

2

\begin{array}{l}
{e_1} = 10\sqrt 2 \sin \omega t{\rm{ }} \, \text{V} \quad {e_2} = 10\sqrt 2 \cos \omega t{\rm{ }}\, \text{V} \quad f = 50\,{\rm{Hz}}\\
{L_1} = {L_2} = 15{,}9 \, {\rm{mH }} \quad \left|{\rm{M}} \right|{\rm{ = 6{,}4 \, mH}}\\
C = 318  \, \mu {\rm{F }}\quad {R_1} = {R_2} = 5 \, \Omega
\end{array}

Determinare la tensione ai capi del condensatore.


Soluzione

Ricaviamo il circuito equivalente dove, sulle induttanze L1 ed L2 accoppiate sono stati assegnati i punti per stabilire il segno di M nelle equazioni alle maglie.

Scegliendo le due correnti di maglia come indicato, poiché l'una entra dal corrispondente punto mentre l'altra esce, il segno di M sarà negativo. La mutua induttanza sarà allora rappresentata dalla espressione

\text{j}X_M=\text{j} \omega M = -\text{j} 2 \pi 50 \times 6{,}4 \times 10^{-3}=-\text{j}2 \, \Omega
Le equazioni di maglia sono perciò

\begin{array}{l}
\left[ {{R_1} + {\rm{j}}\left( {{X_{{L_1}}} - {X_C}} \right)} \right]{{\dot I}_1} - {\rm{j}}\left( {{X_M} - {X_C}} \right){{\dot I}_2} = - {{\dot E}_1}\\
- {\rm{j}}\left( {{X_M} - {X_C}} \right){{\dot I}_1} + \left[ {{R_2} + {\rm{j}}\left( {{X_{{L_2}}} - {X_C}} \right)} \right]{{\dot I}_2} = {{\dot E}_2}
\end{array}
Posto, in base ai dati del testo,

X_{L_1}=X_{L_2}=\omega L_1=314 \times 15{,}9 \times 10^{-3}=5\, \Omega
{{\dot E}_2} = {\rm{j}}10;{{\dot E}_1} = 10
{X_C} = \frac{1}{{\omega C}} = \frac{{{{10}^6}}}{{314 \times 318}} = 10 \, \Omega
Si ha dunque
\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {5 - {\rm{j5}}} \right){{\dot I}_1} + {\rm{j}}8{{\dot I}_2} =  - 10}\\{{\rm{j}}8{{\dot I}_1} + \left( {5 - {\rm{j5}}} \right){{\dot I}_2} = {\rm{j}}10}\end{array}} \right.\\\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - {\rm{j5}}}&{{\rm{j}}8}\\{{\rm{j}}8}&{5 - {\rm{j5}}}\end{array}} \right| = {\left( {5 - {\rm{j5}}} \right)^2} - {{\rm{j}}^2}64 =  - {\rm{j50 + 64}} = 81,2\angle  - 38\\{\Delta _{{I_1}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 10}&{{\rm{j}}8}\\{{\rm{j}}10}&{5 - {\rm{j5}}}\end{array}} \right| =  - 50 + {\rm{j50}} - {{\rm{j}}^2}80 = 30 + {\rm{j50 = 59,3}}\angle {\rm{59}}\\{\Delta _{{I_2}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - {\rm{j5}}}&{ - 10}\\{{\rm{j}}8}&{{\rm{j}}10}\end{array}} \right| = {\rm{j50}} - {{\rm{j}}^2}50 + {\rm{j80}} = 50 + {\rm{j130 = 139}}\angle {\rm{69}}\\{I_1} = \frac{{{\Delta _{{I_1}}}}}{\Delta } = \frac{{{\rm{59,3}}\angle {\rm{59}}}}{{81,2\angle  - 38}} = 0,730\angle 97\\{I_2} = \frac{{{\Delta _{{I_2}}}}}{\Delta } = \frac{{{\rm{139}}\angle {\rm{69}}}}{{81,2\angle  - 38}} = 1,71\angle 107\\{I_C} = {I_2} - {I_1} = 1,71\angle 107 - 0,730\angle 97 = \\ =  - 0,5 + {\rm{j}}1,64 + 0,0890 - {\rm{j}}0,724 =  - 0,411 + {\rm{j}}0,916 = 1,00\angle 114
\end{array}

{{\dot V}_{BF}} = {{\dot V}_C} = - {\rm{j}}{X_C}{{\dot I}_C} = - {\rm{j}}10 \times 1,00\angle 114 = 10\angle \, 24{\rm{V}}
\Downarrow
{v_{BF}}(t) = 10\sqrt 2 \sin (314t + 24^\circ )

Controllo con LTSpice

Il mutuo accoppiamento tra induttori in LTSpice si ottiene con la direttiva K.
Disegnato allora il circuito, vi si aggiunge la direttiva nella forma

K L1 L2 k

dove k è il coefficiente di accoppiamento tra gli induttori che va inserito come numero positivo in quanto LTSpice considera sempre come verso positivo della corrente negli induttori quello uscente dal terminale contrassegnato con il pallino. Se si mette il segno meno è come se in un conduttore il pallino fosse nell'altro terminale. Nel nostro caso k =\frac{\left| M \right|}{\sqrt{L_1L_2}}=\frac {6,4}{15,9}=0,402

Esercizio1LTspice.jpeg

Esercizio1LTspice.jpeg

Esercizio1GraficoVc.jpeg

Esercizio1GraficoVc.jpeg

LTSpice mostra anche il transitorio nell'ipotesi che il condensatore sia inizialmente scarico. E' stato infatti inserito nel valore di C anche ic=0 che indica il valore iniziale della tensione di cui la direttiva TRAN tiene conto per la presenza dell'opzione uic.

Trasformatore con LTSpice

Quanto segue è ricavato pagina della Linear Technology nonché dal video associato
Per rappresentare un trasformatore con rapporto di trasformazione a in LTSpice, si usano due induttori con valori tali il cui rapporto è uguale al rapporto dei quadrati del numero di spire \to [3a]. Li si accoppia poi con la direttiva K ponendo k = 1 che significa accoppiamento perfetto. Quindi

 K L1 L2 1 

Nel caso dell'esempio sotto riportato si ha a=\frac 1 3 quindi si è scelto L_1=1 \, \mu \text{H}, L_2=9 \, \mu \text{H}

Nota: LTspice, per eseguire correttamente i calcoli, necessita di una resistenza in serie al generatore maggiore di zero. In caso contrario si ha il seguente messaggio

Bibliografia

  • Elettrotecnica generale - Giovanni Someda - ed. Patron
  • Circuiti Elettrici - Joseph A. Edminister - Shaum Libri - 1975

Link

esterni

Nel forum di EY

nei blog di EY

4

Commenti e note

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di ,

Un grande professore....!!!!!

Rispondi

di ,

Ecco fatto....archiviato nei files da tenere sempre a portata di mano come esempio per ogni evenienza.....

Rispondi

di ,

Troppa grazia, gammaci :)

Rispondi

di ,

Magistrale compendio sui circuiti magnetici! Grazie Zeno. Nei preferiti.

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