ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Un circuito come questo

Circuito retroazionato

e` evidentemente un sistema retroazionato e usando il metodo di Rosenstark e` facile calcolarne il guadagno di anello, valutarne la stabilita`...

Un fatto invece normalmente passato sotto silenzio nei corsi e nei libri di elettronica (con qualche eccezione come [1] e [6]) e` che se una funzione di trasferimento ha a denominatore una somma, allora necessariamente c'e` una retroazione negativa. Ad esempio un partitore di tensione, che ha funzione di trasferimento $\frac{R_1}{R_1+R_2}$ , ha una somma a denominatore, e quindi e` un sistema retroazionato. I sistemi retroazionati si nascondono in semplici circuiti quali i partitori e altri in cui non si sospetterebbe la presenza di un anello con guadagno. Questo articolo si propone di mostrare sotto un'altra luce questi semplici circuiti.

Non bisogna pero` dirlo agli audiofili, altrimenti non usano piu` neanche i partitori :)

Non tutti i sistemi retroazionati si possono disegnare facilmente come due blocchi $\,A$ e $\,\beta$ . In alcuni casi esistono altre soluzioni molto piu` semplici, per cui questa possibilita` non viene mai esplorata. In altri casi invece la semplice rappresentazione a blocchi non e` facile da ottenere, e spesso non la si utilizza, anche se in ambedue i casi i sistemi sono retroazionati.

Partitore di tensione

Che un partitore di tensione sia un sistema retroazionato lo si puo` intuire dal fatto che la tensione di uscita dipende dalla corrente che assorbe il carico. I passi logici per ottenere lo schema a blocchi retroazionato sono questi. La tensione di uscita $\,V_u$ e` data dalla tensione di ingresso $\,V_i$ meno la caduta di tensione sulla resistenza $\,R_1$ . La caduta di tensione sulla resistenza $\,R_1$ e` data da $V_{R1}=R_1\cdot I_{R1}$ e infine la corrente che passa attraverso $\,R_1$ e` data dalla tensione di uscita ai capi di $\,R_2$ , cioe` $I_{R1}=\frac{V_u}{R_2}=V_u\cdot G_2$

Nella figura seguente, tratta da [1], c'e` lo schema a blocchi.

FB.gif

Il blocco G2 e` il legame fra la tensione di uscita e la corrente che attraversa R2. Questa corrente passa anche attraverso $\,R_1$ e provoca una caduta di tensione pari a $V_u \cdot G_2 \cdot R_1$ che si va a sottrarre dalla tensione di ingresso, che e` proprio quanto dice il diagramma a blocchi.

Il guadagno di anello $\,T=A\beta$ vale $\,T=G_2R_1$ mentre il guadagno ad anello chiuso e` dato da:

$A_f=\frac{1}{1+G_2 R_1}=\frac{1}{1+\frac{R_1}{R_2}}=\frac{R_2}{R_2+R_1}$

che e` proprio la relazione del partitore.

La teoria della retroazione c'e`, ed e` visibile nello schema a blocchi. Che convenga usarla in questo caso, direi proprio di no :).

Esiste un altro modo di rappresentare lo stesso partitore con uno schema a blocchi diverso dal precedente. In questo caso si considera che la resistenza $\,R_1$ trasforma la differenza di potenziale ai suoi capi $\,V_1-V_u$ in una corrente $\,I_{R1}$ e questa corrente viene trasformata in tensione di uscita dalla resistenza $\,R_2$ . Le equazioni sono

$I_{R1}=\frac{V_i-V_u}{R_1}=(V_i-V_u)G_1\quad \text{e} \quad V_u=I_{R1}R_2$

Il nuovo schema a blocchi di questa interpretazione e` il seguente:

FBa.gif

In questo caso il guadagno di anello vale $\,T=G_1R_2$ , diverso dal precedente (anche lo schema a blocchi e` diverso!), mentre il guadagno ad anello chiuso e` dato da:

$A_f=\frac{G_1R_2}{1+G_1 R_2}=\frac{R_2}{R_1+R_2}$

dove nella seconda espressione si e` moltiplicato per $\,R_1=\frac{1}{G_1}$ . Anche se lo schema a blocchi e` diverso, le espressioni sono diverse, il risultato finale e` lo stesso. Questo secondo modello permette anche di trovare l'impedenza vista dall'uscita dal partitore (in pratica l'impedenza di Thevenin). Consideriamo una corrente di disturbo iniettata sull'uscita del partitore. L'impedenza di uscita e` data dal rapporto variazione della tensione di uscita diviso per la corrente iniettata, e ovviamente questa resistenza vale $\,R_1/\!/R_2$ . Se si lavora con le tecniche dei controlli automatici, in questo caso degli schemi a blocchi, la corrente di disturbo iniettata sull'uscita viene rappresentata come nello schema a blocchi a destra:

fbB.gif

A questo punto per avere l'impedenza di uscita basta calcolare dallo schema a blocchi il rapporto $Z_u=\frac{V_u}{I_d}$ avendo in precedenza annullato il generatore di ingresso $\,V_i$ . L'operazione e` lecita perche' il sistema e` lineare. Per trovare la funzione di trasferimento si ridisegna lo schema a blocchi in modo da evidenziare il blocco $\,A$ e il blocco $\,\beta$ :

FBc.gif

Anche questo schema a blocchi rappresenta un sistema con retroazione negativa: l'inversione, al posto di essere come al solito sul sommatore di ingresso e` lungo il percorso di retroazione, ma c'e` sempre. Il guadagno di anello vale: $\,T=G_1R_2$ e il guadagno ad anello chiuso e` dato da:

$A_f=\frac{V_u}{I_d}=Z_u=\frac{R_2}{1+G_1R_2}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

che e` appunto quello che sapevamo trovare al volo. Questo pero` fa vedere che anche un semplice partitore e` un sistema con retroazione, e se si applicano correttamente le regole dei sistemi retroazionati, si ottengono i risultati noti per altra via.

Un po' di teoria

In generale un qualunque componente o parametro W entra in forma bilineare in una funzione di trasferimento H in questo modo:

$H(s)=\frac{A(s)+W\,B(s)}{C(s)+W\,D(s)}$

Questo risultato era stato ricavato da Bode [2], senza pero` che ne vedesse l'applicazione come e` stato poi fatto da Middlebrook nel Teorema dell'Elemento Aggiunto [3].

Si possono definire due valori limite di H, quando W tende ad infinito e W tende a zero. In questo caso si ha

$H_0(s)=\frac{A(s)}{C(s)}$

e

$H_\infty=\frac{B(s)}{D(s)}$

Inoltre si puo` ancora definire una grandezza

$T(s)=W\frac{D(s)}{C(s)}$

Con queste definizioni, la funzione di trasferimento H(s) si puo` scrivere come

$H(s)=H_\infty\frac{T(s)}{1+T(s)}+H_0\frac{1}{1+T(s)}$

che e` la relazione dei sistemi retroazionati secondo Rosenstark [4][5].

Se $\,C(s)=0$ oppure $\,D(s)=0$ allora $\,H(s)$ non si riesce a scrivere nella forma indicata il che significa che non c'e` reazione. Da notare che se $\,C(s)=0$ oppure $\,D(s)=0$ non si ha una somma a denominatore, e come detto all'inizio di questo articolo, non c'e` retroazione, mentre una somma a denominatore di una funzione di trasferimento implica che, piu` o meno nascosta, ci sia un anello di retroazione.

Negli esempi mostrati il guadagno di anello e` reale e positivo, e quindi il sistema non puo` diventare instabile.

Il partitore in versione complicata

I seguenti due esempi di feedback sono equivalenti al partitore e sono basati sul primo dei due schemi a blocchi presentati. Al posto di una resistenza $\,R_1$ si genera in altro modo la caduta di tensione. Immaginiamo di mettere in serie a $\,R_2$ una resistenza di sense $\,R_s$ (di valore trascurabile rispetto a $\,R_2$ ) con il suo amplificatore differenziale di guadagno $\,A$ , che genera quindi una tensione

$V_1=A \cdot Rs \cdot I_{R_2}$

dove $I_{R_2}$ e` la corrente che passa in $\,R_2$ e che vale $\frac {V_2}{R_2}$

La tensione $\,V_1$ comanda un generatore di tensione pilotato in tensione con guadagno $\,k$ , collegato come in figura a sinistra:

FB1.gif

La tensione di uscita vale

$V_2=V_s-k\cdot V_1=V_s-k\cdot A\cdot V_{R_s}=V_s-k\cdot A\cdot R_s\cdot I_{R_s}=$

$=V_s-k\cdot A\cdot R_s\frac{V_2}{R_2}=V_2$

.

Qui il loop lo si dovrebbe vedere, e se si risolve rispetto a $\,V_2$ si ottiene

$V_2=V_s\frac{R_2}{A\cdot k \cdot R_s+R_2}$

dove il termine $A\cdot k \cdot R_s$ e` la resistenza equivalente $\,R_1$ .

$A\cdot k \cdot R_s=R_1$

Dividendo per $\,R_2$ , per portarsi nella forma solita

$\frac{A}{1+A\beta}$

si ottiene:

$V_2=V_s\frac{1}{1+\frac{A\cdot k \cdot R_s}{R_2}}=V_s\frac{1}{1+\frac{R_1}{R_2}}=V_s\frac{R_2}{R_1+R_2}$

Si puo` anche calcolare il guadagno di anello. Si lavora ad esempio all'uscita dell'amplificatore, scollegando l'uscita dell'amplificatore A dal generatore k, iniettando nel generatore k una tensione $\,V_1$ e calcolando la tensione che si ha all'uscita di A, che viene chiamata $\widehat{V_1}$ , come mostrato nella figura seguente:

fb1b.gif

Per trovare il guadagno di anello si annullano i generatori indipendenti, in questo caso $\,V_s$ , e si calcola $\widehat{V_1}$ cioe` la tensione di ritorno in funzione di $\,V_1$ , ottenendo:

$\widehat{V_1}=V_1\cdot (-k)\frac{1}{R_2}R_s\cdot A$

Il guadagno di anello

$\,T=A\beta$

e` per definizione

$T=-\frac{\widehat{V_1}}{V_1}$

e quindi si ha

$T=-\frac{A(-k)R_s}{R_2}=\frac{A\cdot k\cdot R_s}{R_2}=\frac{R_1}{R_2}=R_1G_2$

che e` proprio il guadagno di anello calcolato in precedenza. Se si vuole vederlo in un altro modo, un po' piu` astratto, si puo` usare il circuito di destra, che e` equivalente a quello analizzato dove si vede meglio il sommatore/sottrattore. Le equazioni sono esattamente le stesse, si e` solo spostato il guadagno $\,k$ del generatore pilotato all'interno dell'amplificatore A, e si e` rappresentato la sottrazione con un blocco al posto di mettere in serie a $\,V_s$ un generatore di tensione pilotato.

Trasformatore connesso con retroazione

Un altro caso di retroazione (negativa) si ha ad esempio in questo circuito:

FB2.gif

Qui il loop e` anche facile da vedere: si preleva la tensione di uscita $\,V_u$ e la si confronta con la tensione di ingresso $\,V_s$ . L'equazione di questo circuito e`:

$V_u=V_s-\frac{N_s}{N_p}V_u$

.

Trovando il valore di $\,V_u$ si ottiene

$V_u=V_s\frac{1}{1+\frac{N_s}{N_p}}$

Anche qui il guadagno di anello e` positivo, quindi retroazione negativa. Si puo` anche invertire il collegamento del trasformatore (ad esempio scambiano i terminali del secondario, cosi` da avere i pallini dalla stessa parte), la retroazione diventa positiva, e lascio ai curiosi di scoprire cosa capita a $\,V_u$ quando $\,N_s=N_p$ e la retroazione e` positiva. Si puo` vedere cosa capita sia con le equazioni, sia ragionando sul circuito.

Da notare che questo circuito normalmente lo si usa con l'ingresso dove e` indicata $\,V_u$ e l'uscita dove e` indicata $\,V_s$ . Cosi` mi pare sia piu` facile da analizzare, altrimenti diventerebbe una retroazione corrente corrente.

Questi circuiti ovviamente non vanno normalmente analizzati con i metodi della retroazione, sono solo due esempi per far vedere che questa si insinua dove meno ce lo aspettiamo (basta che ci sia una somma a denominatore che si e` in presenza di una reazione)

Ringraziamenti

Questo articolo deriva da alcuni post che avevo scritto circa la retroazione che compare in contesti inaspettati. Ringrazio ADMIN che ha messo insieme gli articoli, e a me e` solo rimasto da dare una ripulita! Wed_17, Piercarlo e TardoFreak sono stati "instrumental" a manifestare le loro curiosita` e perplessita`, spingendomi a scrivere poi questa pappardella, il cui scopo neanche tanto nascosto e` di confondere le idee :)

Riferimenti

[1] Beccari, C. - Teoria dei Circuiti Elettronici, CLUT 1997.

[2] Bode, H.W - Network Analysis and Feedback Amplifier Design, van Nostrand 1945.

[3] Middlebrook, R.D. "Null Double Injection and the Extra-Element Theorem," IEEE Tr. on Ed, Vol. 32, No. 3, Aug. 1989, pg 167-180.

[4] Rosenstark, S. - Feedback amplifier principles, Macmillan 1986.

[5] Rosenstark, S. "A Simplified Method of Feedback Amplifier Analysis", IEEE Tr. on Ed, Vol. 17, No. 4, Nov, 1974, pg 192-198.

[6] Rossetto, L. - Elettronica Analogica: Approfondimenti, Esculapio 2015.

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

La controreazione nascosta

Indice

Partitore di tensione

Un po' di teoria

Il partitore in versione complicata

Trasformatore connesso con retroazione

Ringraziamenti

Riferimenti

Inserisci un commento

Argomenti correlati

Tag Cloud

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits