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La controreazione nascosta

Un circuito come questo

Circuito retroazionato

Circuito retroazionato

e` evidentemente un sistema retroazionato e usando il metodo di Rosenstark e` facile calcolarne il guadagno di anello, valutarne la stabilita`...

Un fatto invece normalmente passato sotto silenzio nei corsi e nei libri di elettronica (con qualche eccezione come [1] e [6]) e` che se una funzione di trasferimento ha a denominatore una somma, allora necessariamente c'e` una retroazione negativa. Ad esempio un partitore di tensione, che ha funzione di trasferimento \frac{R_1}{R_1+R_2}, ha una somma a denominatore, e quindi e` un sistema retroazionato. I sistemi retroazionati si nascondono in semplici circuiti quali i partitori e altri in cui non si sospetterebbe la presenza di un anello con guadagno. Questo articolo si propone di mostrare sotto un'altra luce questi semplici circuiti.

Non bisogna pero` dirlo agli audiofili, altrimenti non usano piu` neanche i partitori :)

Non tutti i sistemi retroazionati si possono disegnare facilmente come due blocchi \,A e \,\beta. In alcuni casi esistono altre soluzioni molto piu` semplici, per cui questa possibilita` non viene mai esplorata. In altri casi invece la semplice rappresentazione a blocchi non e` facile da ottenere, e spesso non la si utilizza, anche se in ambedue i casi i sistemi sono retroazionati.

Indice

Partitore di tensione

Che un partitore di tensione sia un sistema retroazionato lo si puo` intuire dal fatto che la tensione di uscita dipende dalla corrente che assorbe il carico. I passi logici per ottenere lo schema a blocchi retroazionato sono questi. La tensione di uscita \,V_u e` data dalla tensione di ingresso \,V_i meno la caduta di tensione sulla resistenza \,R_1. La caduta di tensione sulla resistenza \,R_1 e` data da V_{R1}=R_1\cdot I_{R1} e infine la corrente che passa attraverso \,R_1 e` data dalla tensione di uscita ai capi di \,R_2, cioe` I_{R1}=\frac{V_u}{R_2}=V_u\cdot G_2

Nella figura seguente, tratta da [1], c'e` lo schema a blocchi.

FB.gif

FB.gif

Il blocco G2 e` il legame fra la tensione di uscita e la corrente che attraversa R2. Questa corrente passa anche attraverso \,R_1 e provoca una caduta di tensione pari a V_u \cdot G_2 \cdot R_1 che si va a sottrarre dalla tensione di ingresso, che e` proprio quanto dice il diagramma a blocchi.

Il guadagno di anello \,T=A\beta vale \,T=G_2R_1 mentre il guadagno ad anello chiuso e` dato da:

A_f=\frac{1}{1+G_2 R_1}=\frac{1}{1+\frac{R_1}{R_2}}=\frac{R_2}{R_2+R_1}

che e` proprio la relazione del partitore.

La teoria della retroazione c'e`, ed e` visibile nello schema a blocchi. Che convenga usarla in questo caso, direi proprio di no :).

Esiste un altro modo di rappresentare lo stesso partitore con uno schema a blocchi diverso dal precedente. In questo caso si considera che la resistenza \,R_1 trasforma la differenza di potenziale ai suoi capi \,V_1-V_u in una corrente \,I_{R1} e questa corrente viene trasformata in tensione di uscita dalla resistenza \,R_2. Le equazioni sono

I_{R1}=\frac{V_i-V_u}{R_1}=(V_i-V_u)G_1\quad \text{e} \quad V_u=I_{R1}R_2

Il nuovo schema a blocchi di questa interpretazione e` il seguente:

FBa.gif

FBa.gif

In questo caso il guadagno di anello vale \,T=G_1R_2, diverso dal precedente (anche lo schema a blocchi e` diverso!), mentre il guadagno ad anello chiuso e` dato da:

A_f=\frac{G_1R_2}{1+G_1 R_2}=\frac{R_2}{R_1+R_2}

dove nella seconda espressione si e` moltiplicato per \,R_1=\frac{1}{G_1}. Anche se lo schema a blocchi e` diverso, le espressioni sono diverse, il risultato finale e` lo stesso. Questo secondo modello permette anche di trovare l'impedenza vista dall'uscita dal partitore (in pratica l'impedenza di Thevenin). Consideriamo una corrente di disturbo iniettata sull'uscita del partitore. L'impedenza di uscita e` data dal rapporto variazione della tensione di uscita diviso per la corrente iniettata, e ovviamente questa resistenza vale \,R_1/\!/R_2. Se si lavora con le tecniche dei controlli automatici, in questo caso degli schemi a blocchi, la corrente di disturbo iniettata sull'uscita viene rappresentata come nello schema a blocchi a destra:

fbB.gif

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A questo punto per avere l'impedenza di uscita basta calcolare dallo schema a blocchi il rapporto Z_u=\frac{V_u}{I_d} avendo in precedenza annullato il generatore di ingresso \,V_i. L'operazione e` lecita perche' il sistema e` lineare. Per trovare la funzione di trasferimento si ridisegna lo schema a blocchi in modo da evidenziare il blocco \,A e il blocco \,\beta:

FBc.gif

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Anche questo schema a blocchi rappresenta un sistema con retroazione negativa: l'inversione, al posto di essere come al solito sul sommatore di ingresso e` lungo il percorso di retroazione, ma c'e` sempre. Il guadagno di anello vale: \,T=G_1R_2 e il guadagno ad anello chiuso e` dato da:

A_f=\frac{V_u}{I_d}=Z_u=\frac{R_2}{1+G_1R_2}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}

che e` appunto quello che sapevamo trovare al volo. Questo pero` fa vedere che anche un semplice partitore e` un sistema con retroazione, e se si applicano correttamente le regole dei sistemi retroazionati, si ottengono i risultati noti per altra via.

Un po' di teoria

In generale un qualunque componente o parametro W entra in forma bilineare in una funzione di trasferimento H in questo modo:

H(s)=\frac{A(s)+W\,B(s)}{C(s)+W\,D(s)}

Questo risultato era stato ricavato da Bode [2], senza pero` che ne vedesse l'applicazione come e` stato poi fatto da Middlebrook nel Teorema dell'Elemento Aggiunto [3].

Si possono definire due valori limite di H, quando W tende ad infinito e W tende a zero. In questo caso si ha

H_0(s)=\frac{A(s)}{C(s)}

e

H_\infty=\frac{B(s)}{D(s)}

Inoltre si puo` ancora definire una grandezza

T(s)=W\frac{D(s)}{C(s)}

Con queste definizioni, la funzione di trasferimento H(s) si puo` scrivere come

H(s)=H_\infty\frac{T(s)}{1+T(s)}+H_0\frac{1}{1+T(s)}

che e` la relazione dei sistemi retroazionati secondo Rosenstark [4][5].

Se \,C(s)=0 oppure \,D(s)=0 allora \,H(s) non si riesce a scrivere nella forma indicata il che significa che non c'e` reazione. Da notare che se \,C(s)=0 oppure \,D(s)=0 non si ha una somma a denominatore, e come detto all'inizio di questo articolo, non c'e` retroazione, mentre una somma a denominatore di una funzione di trasferimento implica che, piu` o meno nascosta, ci sia un anello di retroazione.

Negli esempi mostrati il guadagno di anello e` reale e positivo, e quindi il sistema non puo` diventare instabile.

Il partitore in versione complicata

I seguenti due esempi di feedback sono equivalenti al partitore e sono basati sul primo dei due schemi a blocchi presentati. Al posto di una resistenza \,R_1 si genera in altro modo la caduta di tensione. Immaginiamo di mettere in serie a \,R_2 una resistenza di sense \,R_s (di valore trascurabile rispetto a \,R_2) con il suo amplificatore differenziale di guadagno \,A, che genera quindi una tensione


V_1=A \cdot Rs \cdot I_{R_2}

dove I_{R_2} e` la corrente che passa in \,R_2 e che vale \frac {V_2}{R_2}

La tensione \,V_1 comanda un generatore di tensione pilotato in tensione con guadagno \,k, collegato come in figura a sinistra:

FB1.gif

FB1.gif

La tensione di uscita vale

V_2=V_s-k\cdot V_1=V_s-k\cdot A\cdot V_{R_s}=V_s-k\cdot A\cdot R_s\cdot I_{R_s}=
=V_s-k\cdot A\cdot R_s\frac{V_2}{R_2}=V_2
.

Qui il loop lo si dovrebbe vedere, e se si risolve rispetto a \,V_2 si ottiene

V_2=V_s\frac{R_2}{A\cdot k \cdot R_s+R_2}

dove il termine A\cdot k \cdot R_s e` la resistenza equivalente \,R_1.

A\cdot k \cdot R_s=R_1

Dividendo per \,R_2, per portarsi nella forma solita

\frac{A}{1+A\beta}
si ottiene:
V_2=V_s\frac{1}{1+\frac{A\cdot k \cdot R_s}{R_2}}=V_s\frac{1}{1+\frac{R_1}{R_2}}=V_s\frac{R_2}{R_1+R_2}

Si puo` anche calcolare il guadagno di anello. Si lavora ad esempio all'uscita dell'amplificatore, scollegando l'uscita dell'amplificatore A dal generatore k, iniettando nel generatore k una tensione \,V_1 e calcolando la tensione che si ha all'uscita di A, che viene chiamata \widehat{V_1}, come mostrato nella figura seguente:

fb1b.gif

fb1b.gif

Per trovare il guadagno di anello si annullano i generatori indipendenti, in questo caso \,V_s, e si calcola \widehat{V_1} cioe` la tensione di ritorno in funzione di \,V_1, ottenendo:

\widehat{V_1}=V_1\cdot (-k)\frac{1}{R_2}R_s\cdot A

Il guadagno di anello

\,T=A\beta

e` per definizione

T=-\frac{\widehat{V_1}}{V_1}
e quindi si ha
T=-\frac{A(-k)R_s}{R_2}=\frac{A\cdot k\cdot R_s}{R_2}=\frac{R_1}{R_2}=R_1G_2

che e` proprio il guadagno di anello calcolato in precedenza. Se si vuole vederlo in un altro modo, un po' piu` astratto, si puo` usare il circuito di destra, che e` equivalente a quello analizzato dove si vede meglio il sommatore/sottrattore. Le equazioni sono esattamente le stesse, si e` solo spostato il guadagno \,k del generatore pilotato all'interno dell'amplificatore A, e si e` rappresentato la sottrazione con un blocco al posto di mettere in serie a \,V_sun generatore di tensione pilotato.

Trasformatore connesso con retroazione

Un altro caso di retroazione (negativa) si ha ad esempio in questo circuito:

FB2.gif

FB2.gif

Qui il loop e` anche facile da vedere: si preleva la tensione di uscita \,V_u e la si confronta con la tensione di ingresso \,V_s. L'equazione di questo circuito e`:

V_u=V_s-\frac{N_s}{N_p}V_u
.

Trovando il valore di \,V_u si ottiene

V_u=V_s\frac{1}{1+\frac{N_s}{N_p}}

Anche qui il guadagno di anello e` positivo, quindi retroazione negativa. Si puo` anche invertire il collegamento del trasformatore (ad esempio scambiano i terminali del secondario, cosi` da avere i pallini dalla stessa parte), la retroazione diventa positiva, e lascio ai curiosi di scoprire cosa capita a \,V_u quando \,N_s=N_p e la retroazione e` positiva. Si puo` vedere cosa capita sia con le equazioni, sia ragionando sul circuito.

Da notare che questo circuito normalmente lo si usa con l'ingresso dove e` indicata \,V_u e l'uscita dove e` indicata \,V_s. Cosi` mi pare sia piu` facile da analizzare, altrimenti diventerebbe una retroazione corrente corrente.

Questi circuiti ovviamente non vanno normalmente analizzati con i metodi della retroazione, sono solo due esempi per far vedere che questa si insinua dove meno ce lo aspettiamo (basta che ci sia una somma a denominatore che si e` in presenza di una reazione)

Ringraziamenti

Questo articolo deriva da alcuni post che avevo scritto circa la retroazione che compare in contesti inaspettati. Ringrazio ADMIN che ha messo insieme gli articoli, e a me e` solo rimasto da dare una ripulita! Wed_17, Piercarlo e TardoFreak sono stati "instrumental" a manifestare le loro curiosita` e perplessita`, spingendomi a scrivere poi questa pappardella, il cui scopo neanche tanto nascosto e` di confondere le idee :)

Riferimenti

[1] Beccari, C. - Teoria dei Circuiti Elettronici, CLUT 1997.

[2] Bode, H.W - Network Analysis and Feedback Amplifier Design, van Nostrand 1945.

[3] Middlebrook, R.D. "Null Double Injection and the Extra-Element Theorem," IEEE Tr. on Ed, Vol. 32, No. 3, Aug. 1989, pg 167-180.

[4] Rosenstark, S. - Feedback amplifier principles, Macmillan 1986.

[5] Rosenstark, S. "A Simplified Method of Feedback Amplifier Analysis", IEEE Tr. on Ed, Vol. 17, No. 4, Nov, 1974, pg 192-198.

[6] Rossetto, L. - Elettronica Analogica: Approfondimenti, Esculapio 2015.

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Commenti e note

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di ,

Veramente favoloso!

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di ,

Questi articoli fanno vedere sempre "oltre"... Grazie Isidoro! :)

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di ,

Molto interessante, anche perché nelle notazioni e nella metodologia respiro una certa aria di casa :-)

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di ,

Articolo veramente interessante, è soprendente vedere come la retroazione entri in gioco anche nei circuiti più banali; non me ne sarei neanche accorto se il buon Isidoro non me lo avesse fatto notare

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di ,

Finalmente un articolo che toglie alla parola "retroazione" l'incarnata banalità del "filo che torna indietro". Grazie Isidoro, ottimo lavoro!

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