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La resistenza equivalente: questa sconosciuta!

La maggior parte degli studenti dimentica la definizione di resistenza equivalente, o nemmeno la legge, e ne confonde il calcolo con la ricerca di serie e paralleli, che a volte diventa disperata, specie quando ci sono quei malvagi collegamenti equipotenziali. Quando non ci sono né serieparalleli il marasma è totale e l'unica via d'uscita è inventarli.
Alla inevitabile domanda di qual è la definizione corretta di resistenza equivalente, che in genere faccio in questi casi, ottengo spesso una risposta spazientita, generalmente completamente sbagliata. Si sente che l'interessato sta pensando:" ma che vuole costui? Crede che non conosca una cosa tanto banale? Non è certo quella che mi blocca!" Tralascio gli insegnamenti di forum che regolarmente ricevo. Qualcuno poi, per zittirmi, e dimostrarmi che sa benissimo di cosa sto parlando, mi spedisce un link con la definizione. Il fatto curioso è che quella pagina l'ho scritta io mentre chi me la linka nemmeno l'ha letta.
Tanto per citare una recente risposta, ecco una definizione di resistenza equivalente che mi è stata data:

E' la somma delle resistenze (serie o parallelo) in cui passa corrente, in un circuito con generatori spenti(circuito aperto per quelli di corrente e cortocircuito per quelli di tensione).

Quando in testa uno si ficca una definizione del genere, non va molto lontano; non solo, ma si oppone strenuamente al tentativo che un nonsisanemmenochissia ( scriverebbe CarloMariaManenti se questo fosse uno dei suoi racconti) di estirpargliela per trapiantarvi un'erba più sana.

I concetti di serie e parallelo delle resistenze non sono le fondamenta del concetto di resistenza equivalente tra due punti, ma ne sono una applicazione. Usando i risultati di tale applicazione, si può arrivare alla determinazione di resistenza equivalente in modo piacevole ed elegante, ma solo nel caso particolare in cui siano presenti solo serie e paralleli di resistenze nella rete. In generale non è così e si arriva spesso a reti dove non ci sono né serie né paralleli. Sempre applicando il concetto di resistenza equivalente, è un ostacolo che si supera ricorrendo alla trasformazione stella-triangolo.
In genere quindi per calcolare una resistenza equivalente si ricorre a successive trasformazioni della rete individuando serie e paralleli, finché ci sono, e trasformando stelle in triangoli o viceversa, quando non ci sono né paralleli né serie.

La definizione fondamentale è tuttavia molto semplice:

data una rete passiva, quindi priva di generatori (se ci sono, i generatori indipendenti (o ideali) di tensione vanno sostituiti con un cortocircuito, quelli di corrente con un bipolo aperto) la resistenza equivalente tra due suoi qualsiasi punti A, B è il rapporto tra la tensione applicata tra quei due punti e la corrente che entra dal terminale positivo.

Quindi
R_{AB}=\frac {V_{AB}}{I}

Quali leggi occorre conoscere per effettuare questo calcolo? La risposta è semplicissima: i due principi di Kirchhoff.
Non occorre sapere nulla di paralleli e serie né di stelle e di triangoli. Solo KVL e KCL, rispettivamente la legge di Kirchhoff per le tensioni e quella per le correnti. Questo ovviamente non significa che non si devono imparare anche i concetti di serie, parallelo, stella, e triangolo, ma serve per capire cos'è e qual è il metodo universale per calcolare una resistenza equivalente.

Vediamolo con un

Indice

Esercizio

Calcolare la resistenza equivalente vista dai terminali A e B.

Si dice sempre "vista dai terminali" ma gli occhi che la devono vedere non sono i nostri, e non sono nemmeno occhi, ma sono i poli di un generatore elettrico.

Inseriamo dunque tra A e B un generatore

ad esempio ideale di tensione, di valore qualsiasi E, qundi VAB = E, e calcoliamo la corrente da esso erogata. Facciamo quindi il rapporto tra tensione e corrente e siamo apposto!,( scriverebbe chi non controlla se tale parola esiste sul vocabolario). Potremmo indifferentemente inserire un generatore ideale di corrente, quindi calcolare la tensione ai suoi capi. Caso per caso può essere conveniente, nel senso che ci saranno meno calcoli da fare, l'uno o l'altro. Ma per il momento questo non ci interessa.

Il sistema risolutivo

Come detto conosciamo solo i principi di Kirchhoff, nient'altro, e solo nella loro forma originaria, nessuna scorciatoia, niente. Insomma vogliamo farci del male, come si vedrà, con i passaggi matematici, ma a fin di bene si spera.
La rete ha fisicamente quattro nodi e tre sono le maglie indipendenti. Le equazioni da scrivere per determinare tutte le correnti sono sei: tre ai nodi con KCL e tre alle maglie con KVL

\left( \begin{array}{l}
I - {I_1} - {I_2}_{} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \, \, {\rm{A}}\\
{I_2} - {I_3} - {I_4} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad{\rm{C}}\\
{I_4} - I - {I_5} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \, \, {\rm{D}}\\
{I_1} = \frac{E}{{{R_1}}} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{m1}}\\
{R_2}{I_2} + {R_4}{I_4} = E \quad \quad \quad \quad \, \, \,{\rm{m2}}\\
{R_3}{I_3} - {R_1}{I_1} + {R_2}{I_2} = 0 \quad \quad {\rm{m3}}
\end{array} \right.

Le maglie considerate sono indicate nei tre schemi seguenti. Si passa da una rete all'altra togliendo un ramo a quella che precede.

Nota: in realtà, dal punto di vista elettrico i nodi effettivi, cioè con diverso potenziale, sono tre in quanto B e D coincidono: il collegamento fisico tra di essi è equipotenziale. L'equazione al nodo D si può ignorare se la corrente nel collegamento equipotenziale non ci interessa, come nel nostro caso.

Soluzione del sistema per sostituzione

(che è un po' come esagerare nella tortura dei passaggi matematici :) )
Ignorando, come detto, l'equazione D, L'espressione di I1 che ricaviamo dalla m1, la sostituiamo nelle altre quattro equazioni
 \begin{array}{l}
I - \frac{E}{{{R_1}}} - {I_2}_{} = 0\\
{I_2} - {I_3} - {I_4} = 0\\
{R_2}{I_2} + {R_4}{I_4} = E\\
{R_3}{I_3} - E + {R_2}{I_2} = 0
\end{array}

Ricaviamo I2 dalla prima e sostituiamo nelle altre tre
\begin{array}{l}
I - \frac{E}{{{R_1}}} - {I_3} - {I_4} = 0\\
{R_2}\left( {I - \frac{E}{{{R_1}}}} \right) + {R_4}{I_4} = E\\
{R_3}{I_3} - E + {R_2}\left( {I - \frac{E}{{{R_1}}}} \right) = 0
\end{array}

Ricaviamo I4 dalla prima e sostituiamo nelle altre due

 \begin{array}{l}
{R_2}\left( {I - \frac{E}{{{R_1}}}} \right) + {R_4}\left( {I - \frac{E}{{{R_1}}} - {I_3}} \right) = E\\
{R_3}{I_3} - E + {R_2}\left( {I - \frac{E}{{{R_1}}}} \right) = 0
\end{array}

Ora ricaviamo I3 dalla seconda

{I_3} = \frac{E}{{{R_3}}} - \frac{{{R_2}}}{{{R_3}}}I + E\frac{{{R_2}}}{{{R_3}{R_1}}}

e sostituiamo nella prima

{R_2}I - E\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} + {R_4}I - E\frac{{{R_4}}}{{{R_1}}} - E\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}} + \frac{{{R_4}{R_2}}}{{{R_3}}}I - E\frac{{{R_4}{R_2}}}{{{R_3}{R_1}}} = E

Facciamo un po' d'ordine raccogliendo

E\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} + \frac{{{R_4}}}{{{R_1}}} + \frac{{{R_4}}}{{{R_3}}} + \frac{{{R_4}{R_2}}}{{{R_3}{R_1}}}} \right) = I\left( {{R_2} + {R_4} + \frac{{{R_4}{R_2}}}{{{R_3}}}} \right)

E\left( {\frac{{{R_3}{R_1} + {R_2}{R_3} + {R_3}{R_4} + {R_1}{R_4} + {R_4}{R_2}}}{{{R_3}{R_1}}}} \right) = I\left( {\frac{{{R_2}{R_3} + {R_3}{R_4} + {R_4}{R_2}}}{{{R_3}}}} \right)

Ricaviamo finalmente la resistenza equivalente

{R_{AB}} = \frac{E}{I} = \frac{{{R_1}{R_2}{R_3} + {R_1}{R_3}{R_4} + {R_4}{R_2}{R_1}}}{{{R_3}{R_1} + {R_2}{R_3} + {R_3}{R_4} + {R_1}{R_4} + {R_4}{R_2}}}

Esaminiamo la formula

Ma che espressione strana, forse si penserà.

Manipoliamola un po'

\begin{array}{l}
{R_{AB}} = \frac{{{R_1}\left( {{R_2}{R_3} + {R_3}{R_4} + {R_4}{R_2}} \right)}}{{{R_3}{R_1} + {R_2}{R_3} + {R_3}{R_4} + {R_1}{R_4} + {R_4}{R_2}}} = \\
\\
 = \frac{{{R_1}\left[ {{R_2}\left( {{R_3} + {R_4}} \right) + {R_3}{R_4}} \right]}}{{{R_1}\left( {{R_3} + {R_4}} \right) + {R_2}\left( {{R_3} + {R_4}} \right) + {R_3}{R_4}}} = \\
\\
 = \frac{{\frac{{{R_1}\left[ {{R_2}\left( {{R_3} + {R_4}} \right) + {R_3}{R_4}} \right]}}{{{R_3} + {R_4}}}}}{{\frac{{{R_1}\left( {{R_3} + {R_4}} \right) + {R_2}\left( {{R_3} + {R_4}} \right) + {R_3}{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}}}
\end{array}
quindi
{R_{AB}} = \frac{{{R_1}\left( {{R_2} + \frac{{{R_3}{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}} \right)}}{{{R_1} + {R_2} + \frac{{{R_3}{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}}}

Ma

R_{34}={\frac{{{R_3}{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}}

se sfogliamo un testo di elettrotecnica, vediamo che è la formula del parallelo per le due resistenze R3 ed R4; e si dà il caso che esse siano proprio in parallelo nel circuito! Entrambe sono infatti collegate tra i punti C e B.

quindi possiamo scrivere

{R_{AB}} = \frac{{{R_1}\left( {{R_2} + {R_{34}}} \right)}}{{{R_1} + {R_2} + {R_{34}}}}

ma

R2 + R34 è la formula per la serie di R2 ed R34
E anche stavolta si dà il caso che siano in serie nel circuito!

quindi possiamo scrivere

{R_{AB}} = \frac{{{R_1}{R_{234}}}}{{{R_1} + {R_{234}}}}

Ma questo è il parallelo tra R1 ed R234 che sono effettivamente in parallelo

Conclusione

Ah, ecco perché avremmo potuto seguire la strada più comoda della successiva ricerca di serie e paralleli! (& company, cioè conversione stella-triangolo eventuali!)
Quello mostrato è però il metodo generale per determinare la resistenza equivalente.
Non è in genere la strada più bella, ma è quella che porta sempre al risultato.
E' il punto di partenza, ma abbiamo scoperto l'acqua calda, come si dice: le definizioni sono sempre il punto di partenza, il reset da cui ripartire ogni volta che i nostri neuroni non riescono a generare sinapsi per circuiti che appaiono complicati.

Non so se questo articolo può essere utile per imprimere nella mente di un nuovo elettrotecnico cos'è la resistenza equivalente. Ad ogni modo ci ho provato. Avrò se non altro un nuovo link per i prossimi utenti che si ostineranno a non voler impararne la definizione mentre un turbine di serie, paralleli, stelle e triangoli balla davanti ai loro occhi.

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Commenti e note

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di ,

@ migluigi64. una misurazione non è sempre (http://www.electroyou.it/phpBB2/viewtopic.php?t=28702&p=232466#p232466) risolutiva da sola, anche perchè a volte occorrono più strumenti non riconducibili sempre ad un semplice multimetro (alias tester),e vuoi per quanto egregiamente indicato da PietroBaima.

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di ,

Il motivo per il quale si procede teoricamente e non con un approccio pratico/euristico sta nella predittività teorica. Quando si progetta una rete non si possono certo mettere a caso le resistenze della rete stessa fino ad ottenere il valore complessivo cercato. Immagina di avere una rete con anche solo una decina di resistenze: come cambia la resistenza equivalente del bipolo cambiando la resistenza numero x? In questo caso è necessario calcolare il valore della resistenza equivalente per via teorica, in modo da capire in profondità come quel singolo contributo influenzi il comportamento della rete. Senza parlare poi del fatto che, spesso, è molto peggio fare una misura in laboratorio piuttosto che quattro conti...

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di ,

Sai migluigi64, non ci avevo proprio pensato. Terrò presente: la tua idea è geniale!

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di ,

scusate ma se si usasse un tester o un ohmmetro non si farebbe prima.

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di ,

dopo 50 anni dal diploma e non avendo mai avuto la necessità di calcolare la resistenza equivalente l'argomento era sparito dalla mia memoria sono stato contento che me lo abbia ravvivato

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di ,

E' un piacere leggere questi articoli! Rispolverare l'elettrotecnica base è sempre utile. Grazie!

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di ,

Una pignolata che viene fuori in una dimostrazione delle formule di Blackman. L'impedenza e l'ammettenza sono due funzioni di trasferimento rispettivamente fra tensione e corrente e fra corrente e tensione. Nelle funzioni di trasferimento si ha uscita/ingresso e quindi quando si vuole trovare l'impedenza bisognerebbe usare un generatore di corrente di prova e calcolare la tensione ai suoi capi, invece per calcolare l'ammettenza (I/V) si eccita con un generatore di tensione (ingresso) e si calcola la corrente (uscita). Ovviamente Y=1/Z e quindi si puo` usare il generatore che si vuole e poi eventualmente prendere il reciproco del risultato. Tranne quando si dimostrano le formule di Blackman, in cui e` necessario prendere il generatore giusto!

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di ,

polirematica ... se morivo ieri non lo sapevo... ;)

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di ,

Chiaro ed esaustivo. Grazie Zeno :)

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di ,

Infatti io il concetto di resistenza o più in generale impedenza equivalente l'ho imparato nel momento in cui ho fatto i due porta con mutuo induttore. Alle superiori, insegnano solo il concetto di "resistenza equivalente" come un insieme di cose che diventano una sola, che non sono più "reali" ma una virtuale con le stesse caratteristiche della precedente.

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di ,

Grande admin come sempre semplice e chiaro, come bere un bicchier d'acqua. Articolo molto utile, non sarebbe male lasciarlo fisso in prima pagina. Grazie, e a quando il prossimo ?... :)

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di ,

Quote: siamo apposto!,( scriverebbe chi non controlla se tale parola esiste sul vocabolario). fine Quote. Eh no... la parola apposto esiste eccome! Può essere un participio passato (come giustamente dice dimaios) ma anche un aggettivo! Basta usarlo APPOSTO giusto... Scherzi a parte, volevo fare un complimento a Zeno (mi piace personalizzarlo invece di chiamarlo admin) perchè, se avete notato, con questo escamotage ha spiegato il significato di resistenza equivalente. Credo che dovremmo ringraziarlo, soprattutto per l'aiuto che offre a gli altri, anche in mancanza di gratitudine.

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di ,

Articolo molto chiaro e soprattutto molto utile! Ce ne vorrebbero di più così! Grazie admin :)

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di ,

Oltre all'utile ripasso sulla resistenza equivalente ho riscoperto cos'e' una polirematica grazie al fantastico riferimento alla parola APPOSTO ( participio passato del verbo apporre ) !!!! Grazie admin.

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di ,

Sempre chiaro nell'esposizione e interessante negli argomenti trattati, soprattutto a mio avviso molto utile.

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