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Un esercizio con carico tra fase e fase

Indice

Premessa

Un utente è andato a ripescare nel forum un esercizio, di 10 anni fa, su un sistema trifase in cui compariva una strana potenza reattiva capacitiva assorbita da una fase in cui non c'era alcuna capacità.
Ho pensato allora di riproporre quel tipo di esercizio per discuterlo con più dettagli di quanti apparissero nel topic antico. L'esercizio prevede un sistema di alimentazione trifase simmetrico, con generatori a stella senza distribuzione del neutro che alimenta un carico trifase equilibrato collegato a stella, ed un carico monofase derivato tra fase e fase. Si tratta di trovare le correnti erogate dai generatori e le potenze, attiva e reattiva, da essi erogate ed impegnate nelle fasi.
Svolgeremo l'esercizio con quelle specifiche, ma anche considerando tensioni dissimmetriche e carico trifase squilibrato. Lo schema è il seguente

Note: lo scopo dell'esercizio è puramente didattico. L'ho svolto per tenermi in esercizio (come diceva spesso anche RenzoDF ai "tempi d'oro di EY ": eh sì c'è sempre un'età dell'oro! ;); da rimpiangere!? da rinnovare!? ) e per utilizzare una specie di calcolatrice che ho scritto in Python per provare ad imparare questo linguaggio molto diffuso. Avevo perfino intenzione di proporre questa mia applicazione. Però è diventata un guazzabuglio inestricabile, come capita ai programmatori sprovveduti come me, completamente spiazzati, oltre due decenni fa dalla potente programmazione ad oggetti :(. I grafici e le etichette gialle con scritte rosse sono comunque output di tale applicazione)

Tensioni simmetriche e carico trifase equilibrato

dati_1

R_1 = R_2 = R_3 = 3 \, \Omega
X_{L1} = X_{L2} = X_{L3} = 4 \, \Omega
\dot Z_{23}={R_m} = 8 \, \Omega
E_{10} = E_{20} = E_{30}=\frac {400,1}{\sqrt{3}} \, \rm{V}

Si hanno
\bar E_{10} = 231\angle 90 =\text{j}231 \, \rm{V}
\bar E_{20} = 231\angle  - 30 =200-\text{j}115.5 \, \rm{V}
\bar E_{30} = 231\angle  - 150 =-200 - \text{j}115.5 \, \rm{V}

\dot Z_1 = \dot Z_2 = \dot Z_3 = 3 + \rm{j}4 = 5\angle 53{,}13\Omega
Essendo il carico trifase equilibrato, O' ed O hanno lo stesso potenziale per cui si ha
\dot E_1=\dot E_{10}; \dot E_2=\dot E_{20}; \dot E_3=\dot E_{20}
quindi
{{\bar I}_1} = \frac{{{{\bar E}_{10}}}}{{{{\dot Z}_1}}} = \frac{{231\angle 90}}{{5\angle 53{,}13}} = 46{,}2\angle 36{,}87 = 36{,}96 + {\rm{j}}27{,}72{\rm{A}}
{{\bar I}_2} = \frac{{{{\bar E}_{20}}}}{{{{\dot Z}_2}}} = \frac{{231\angle  - 30}}{{5\angle 53{,}13}} = 46{,}2\angle  - 83{,}13 = 5{,}526 - {\rm{j}}45{,}86 \, {\rm{A}}
{{\bar I}_3} = \frac{{{{\bar E}_{30}}}}{{{{\dot Z}_3}}} = \frac{{231\angle  - 150}}{{5\angle 53{,}13}} = 46{,}2\angle  - 203{,}1 =  - 42{,}49 + {\rm{j}}18{,}13{\rm{A}}
La corrente sul carico monofase è
{{\bar I}_{23}} = \frac{{{{\bar U}_{23}}}}{{{R_m}}} = \frac{{{{\bar E}_2} - {{\bar E}_3}}}{{{R_m}}} = \frac{{231 \times \sqrt 3 }}{8} = 50{,}01 \, \text{A}
Le correnti di linea a monte dei due carichi valgono
\begin{array}{l}
{{\bar I}_{L1}} = {{\bar I}_1} = 36{,}96 + {\rm{j}}27{,}72 \, {\rm{A}}\\
{{\bar I}_{L2}} = {{\bar I}_2} + {{\bar I}_{23}} = 5{,}526 - {\rm{j}}45{,}86 + 50,01 = 55{,}54 - {\rm{j}}45{,}86 = 72{,}03\angle  - 39{,}56 \, {\rm{A}}\\
{{\bar I}_{L3}} = {{\bar I}_3} - {{\bar I}_{23}} =  - 42{,}49 + {\rm{j}}18{,}13 - 50.01 =  - 92{,}5 + {\rm{j}}18{,}13 = 94{,}26 \angle 168,9 \, {\rm{A}}
\end{array}
Le potenze complesse delle fasi del carico trifase, transitanti nella sezione St sono
\begin{array}{l}
{{\dot S}_1} = {{\bar E}_1} \cdot {{\hat \bar I}_1} = 231\angle 90 \times 46,2\angle  - 36,87 = 6403 + {\rm{j}}8538\\
{{\dot S}_2} = {{\bar E}_2} \cdot {{\hat \bar I}_2} = 231\angle  - 30 \times 46,2\angle  + 83,1 = 6403 + {\rm{j}}8538\\
{{\dot S}_3} = {{\bar E}_3} \cdot {{\hat \bar I}_3} = 231\angle  - 150 \times 46,2\angle 203,1 = 6403 + {\rm{j}}8538
\end{array}
{\dot S_t} = {\dot S_1} + {\dot S_2} + {\dot S_3} = 19209 + {\rm{j}}25614{\rm{VA}}
mentre le potenze complesse transitanti nella sezione SLtot, quindi erogate dai generatori, sono
\begin{array}{l}
{{\dot S}_{L1}} = {{\bar E}_{10}} \cdot {{\hat \bar I}_{L1}} = 231\angle 90 \times 46,2\angle  -36,87 = 6403 + {\rm{j}}8538\\
{{\dot S}_{L2}} = {{\bar E}_{20}} \cdot {{\hat \bar I}_{L2}} = 231\angle  - 30 \times 72,03\angle 39,56 = 16408 + {\rm{j2763}}\\
{{\dot S}_{L3}} = {{\bar E}_{30}} \cdot {{\hat \bar I}_{L3}} = 231\angle  - 150 \times 94,26\angle  - 168,9 = 16408 + {\rm{j}}14313
\end{array}
{{\dot S}_{Ltot}} = {{\dot S}_{L1}} + {{\dot S}_{L2}} + {{\dot S}_{L3}} = P_L+ \text{j} Q_L=39219 + {\rm{j}}25614{\rm{VA}}

Osservazioni

Le \dot S_{Li} sono le potenze erogate dai generatori; le \dot S_i quelle assorbite dal carico trifase. La differenza dei loro valori rappresenta la variazione delle potenze erogate dai generatori con l'inserzione del carico monofase.
La potenza attiva richiesta dalla resistenza derivata tra le fasi 2 e 3, risulta equamente divisa tra i generatori rispettivi, mentre quella attiva del carico trifase equilibrato è equamente divisa tra le tre fasi. Le potenze attiva erogata dal generatore della fase 2, ad esempio, (PL2), in seguito all'inserzione del carico monofase, incrementa della metà della potenza attiva di quest'ultimo
\begin{array}{l}
P_{L2} - P_2 = 16408 - 6403 = 10005 \, \text{W}\\
{P_{{R_m}}} = \frac{{{{\left( {231 \times \sqrt 3 } \right)}^2}}}{8} = 20010 \,\text{W}\\
\end{array}

(NB: nei calcoli sono state considerate quattro cifre significative)

La potenza reattiva è richiesta solo dal carico induttivo trifase.
L'inserimento del carico monofase lascia inalterata la reattiva della fase 1. Le fasi 2 e 3 risultano squilibrate nell'erogazione di tale potenza. Nella fase 2 la potenza reattiva diminuisce di \Delta Q = Q_2-Q_{L2}=8538-2763=5775 \, \text{var} che è la quantità di cui aumenta nella fase 3: Q_{L3}-Q_3=14313-8538=5775 \, \text{var}

Rappresentazione grafica dei fasori di tensione e corrente

Rappresentazione grafica dei fasori di tensione e corrente

Componenti simmetriche

NB:Per la scomposizione delle terne di fasori si veda l' ultimo paragrafo dell'articolo.

Le tensioni sono simmetriche per cui esiste solo la componente simmetrica diretta.
Le correnti sono invece squilibrate; non essendoci il filo neutro, la componente omopolare è nulla.
Si hanno pertanto, considerando i valori dei dati_1,

\begin{array}{l}
{\bar I_d} = 36.96 + {\rm{j}}56,58 = 67,58\angle 56,84 \, {\rm{A}}\\
{\bar I_i} =  - {\rm{j}}28,9 = 28,9\angle  - 90 \, {\rm{A}}\\
{\bar I_0} = 0 \, {\rm{A}}\\
{\bar E_d} = {\rm{j}}231 = 231\angle 90 \, {\rm{V}}\\
{\bar E_i} = 0 \, {\rm{V}}\\
{\bar E_0} = 0 \, {\rm{V}}
\end{array}
La totale potenza complessa è la somma delle potenze complesse relative alle componenti simmetriche. Si ha cioè

\begin{array}{l}
{{\dot S}_{Ltot}} = {{\dot S}_{L1}} + {{\dot S}_{L2}} + {{\dot S}_{L3}} = 3\left( {{{\bar E}_d}{{\hat \bar I}_d} + {{\bar E}_i}{{\hat \bar I}_i} + {{\bar E}_0}{{\hat \bar I}_0}} \right) = \\
 = 3\left( {{{\bar E}_d}\cos {\varphi _d} + {{\bar E}_i}\cos {\varphi _i} + {{\bar E}_0}\cos {\varphi _0}} \right) + \text{j} 3\left( {{{\bar E}_d}\sin {\varphi _d} + {{\bar E}_i}\sin {\varphi _i} + {{\bar E}_0}\sin {\varphi _0}} \right)
\end{array}
dove \varphi _d, \varphi _i, \varphi _0 sono gli angoli di sfasamento delle correnti di sequenza rispetto alle relative tensioni.

Nel nostro caso solo le componenti di sequenza diretta danno luogo alle potenze

\begin{array}{l}
{P_L} = 3{E_d}{I_d}\cos {\varphi _d} = 3 \times 231 \times 67,58 \times \cos \left( {90 - 56,84} \right) = 39208 \, \text{W}\\
{Q_L} = 3{E_d}{I_d}\sin {\varphi _d} = 3 \times 231 \times 67,58 \times \sin \left( {90 - 56,84} \right) = 25617 \,\rm{var} 
\end{array}
che, a parte le differenze numeriche per le approssimazioni di calcolo, coincidono, rispettivamente, con la somma delle potenze attive e reattive delle tre fasi

dati_2

Manteniamo immutati tutti i dati precedenti tranne \dot Z_{23}= 2 \Omega . In pratica risulta quadruplicata la potenza attiva assorbita dal carico monofase. Quindi abbiamo:
\begin{array}{l}
{R_1} = {R_2} = {R_3} = 3 \, \Omega ;{X_{L1}} = {X_{L2}} = {X_{L3}} = 4 \, \Omega ;{R_m} = 2 \, \Omega \\{E_1} = {E_2} = {E_3} = \frac{400,1}{\sqrt{3}} \, {\rm{V}}
\end{array}

Il carico trifase non risente della variazione (stiamo supponendo che i generatori di tensione siano ideali). Correnti assorbite, quindi potenze relative, rimangono immutate, identiche a quanto calcolato in precedenza. La corrente monofase derivata tra i fili 2 e 3 invece quadruplica per cui si modificano le correnti di linea nei fili 2 e 3
\begin{array}{l}
{{\bar I}_{23}} = \frac{{{{\bar U}_{23}}}}{{{R_m}}} = \frac{{{{\bar E}_{20}} - {{\bar E}_{30}}}}{{{R_m}}} = \frac{{231 \times \sqrt 3 }}{2} = 200,1{\rm{A}}\\
{{\bar I}_{L1}} = {{\bar I}_1} = 36,26 + {\rm{j}}27,72{\rm{A}}\\
{{\bar I}_{L2}} = {{\bar I}_2} + {{\bar I}_{23}} = 5,526 - {\rm{j}}45,86 + 200,1 = 205,6 - {\rm{j}}45,86 = 210,6\angle  - 12,57{\rm{A}}\\
{{\bar I}_{L3}} = {{\bar I}_3} - {{\bar I}_{23}} =  - 42,49 + {\rm{j}}18,13 - 200,1 =  - 242,6 + {\rm{j}}18,13 =\\
= 243,2\angle 175,7{\rm{A}}
\end{array} I tre generatori forniscono ad ogni fase del carico trifase la richiesta potenza attiva; quella richiesta dal carico monofase è ancora equamente divisa tra i generatori delle fasi 2 e 3.
Ora, come si può vedere nei calcoli che seguono, la potenza reattiva assorbita dalla fase 2 diventa negativa. La corrente nella linea 2 è infatti in anticipo sulla rispettiva tensione di fase, come si può vedere nel grafico dei fasori.
La fase 3 si prende in carico tutta la potenza reattiva delle fasi 2 e 3 del carico trifase oltre a quella assorbita ora dal generatore della fase 2.
\begin{array}{l}
{{\dot S}_{L1}} = {{\bar E}_1} \cdot {{\hat \bar I}_{L1}} = 231\angle 90 \times 46,2\angle  - 36,9 = 6403 + {\rm{j}}8538 \, \text{VA}\\
{{\dot S}_{L2}} = {{\bar E}_2} \cdot {{\hat \bar I}_{L2}} = 231\angle  - 30 \times 210,6\angle 12,57 = 46414 - {\rm{j14572}}\, \text{VA}\\
{{\dot S}_{L3}} = {{\bar E}_3} \cdot {{\hat \bar I}_{L3}} = 231\angle  - 150 \times 243,2\angle  - 175,7 = 46428 + {\rm{j31658}}
\, \text{VA}
\end{array}
Il generatore della fase 3 eroga la potenza reattiva induttiva Q_{L3}=31658 \, \text{var}.
Il generatore della seconda fase eroga potenza capacitiva, cioè assorbe potenza induttiva Q_{L2}=14572 \, \text{var}. Le fasi 2 e 3 del carico trifase richiedono una potenza induttiva Q_2 + Q_3 = 8538 \times 2 = 17076 \, \text{var} per cui si ha QL3 = QL2 + Q2 + Q3.
La differenza numerica, inferiore all'un per mille, è dovuta alle approssimazioni.
La potenza attiva richiesta dalla resistenza è ancora equamente suddivisa tra le fasi due e tre.
\begin{array}{l}
{P_{2L}} - {P_2} = 46414 - 6403 = 40011{\rm{W}}\\
{P_{{R_m}}} = \frac{{{{\left( {231 \times \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2} = 80040{\rm{W}}\\
{P_{2L}} - {P_2} = \frac{P_{R_m}}{2}
\end{array}

nota: la differenza, inferiore allo 0,1% è compatibile con le approssimazioni di calcolo (4 cifre significative, in genere)
Rappresentazione grafica dei fasori

Rappresentazione grafica dei fasori

Carico trifase squilibrato e tensioni simmetriche


\begin{array}{l}
{R_1} = 3 \, \Omega ;{R_2} =5 \, \Omega ;{R_3} = 3 \, \Omega \\ 
{X_{L1}} =4 \, \Omega ;{X_{L2}} =2 \, \Omega ;{X_{L3}} = 8 \, \Omega  \\
{R_{23}} = 5 \, \Omega;  X_{23}= 5 \, \Omega \\
{E_1} = {E_2} = {E_3} = \frac{400}{\sqrt{3}} \, {\rm{V}}
\end{array}

Il carico monofase ora è ohmico-induttivo

NB: nei calcoli che seguono si considerano 4 cifre significative

Correnti nel carico trifase

applicando il metodo dello spostamento del centro stella (vedi richiamo nell'ultimo paragrafo), otteniamo

\begin{array}{l}{{\bar U}_{O'O}} = 46,14 + {\rm{j}}80,38{\rm{V}}\\{{\bar E}_1} =  - 46,14 + {\rm{j}}150,6{\rm{V}}\\{{\bar E}_2} = 153,9 - {\rm{j}}195,9{\rm{V}}\\{{\bar E}_3} =  - 246,1 - {\rm{j}}195,9{\rm{V}}\\{{\bar I}_1} = 18,56 + {\rm{j}}25,46{\rm{A}}\\{{\bar I}_2} = 13,02 - {\rm{j}}44,38{\rm{A}}\\{{\bar I}_3} =  - 31,58 + {\rm{j}}18,92{\rm{A}}\end{array}

Correnti e tensioni nel carico trifase

Correnti e tensioni nel carico trifase

TrimonoDisplayCaricoTrifase.jpeg

TrimonoDisplayCaricoTrifase.jpeg

Le potenze complesse relative sono date da

\begin{array}{l}{{\dot S}_1} = {{\bar E}_1}{{\hat \bar I}_1} = \left( { - 46,14 + {\rm{j}}150,6} \right) \times \left( {18,56 - {\rm{j}}25,46} \right) = 2978 + {\rm{j}}3970{\rm{VA}}\\{{\dot S}_2} = {{\bar E}_2}{{\hat \bar I}_2} = \left( {153,9 - {\rm{j}}195,9} \right) \times \left( {13,02 + {\rm{j}}44,38} \right) = 10700 + {\rm{j}}4279{\rm{VA}}\\{{\dot S}_3} = {{\bar E}_3}{{\hat \bar I}_3} = \left( { - 246,1 - {\rm{j}}195,9} \right) \times \left( { - 31,58 - {\rm{j}}18,92} \right) = 4065 + {\rm{j}}10840{\rm{VA}}\\{{\dot S}_t} = {{\dot S}_1} + {{\dot S}_2} + {{\dot S}_3} = 17740 + {\rm{j}}19090{\rm{VA}}\end{array}


Osservazione

Le potenze erogate dai singoli generatori che alimentano il solo carico trifase, non coincidono con quelle assorbite dalle corrispondenti fasi del carico stesso. Si hanno infatti


\begin{array}{*{20}{l}}{{{\dot S}_{10}} = {{\bar E}_{10}}{{\hat \bar I}_1} = {\rm{j}}231 \times \left( {18,56 - {\rm{j25,46}}} \right) = 5881 + {\rm{j}}4287{\rm{VA}}}\\{{{\dot S}_{20}} = {{\bar E}_{20}}{{\hat \bar I}_2} = \left( {200 - {\rm{j}}115,5} \right) \times \left( {13,02 + {\rm{j}}44,38} \right) = 7730 + {\rm{j}}7372{\rm{VA}}}\\{{{\dot S}_{30}} = {{\bar E}_{30}}{{\hat \bar I}_3} = \left( { - 200 - {\rm{j}}115,5} \right) \times \left( { - 31,58 + {\rm{j}}18,92} \right) = 4130 + {\rm{j}}7431{\rm{VA}}}\end{array}
Naturalmente la potenza complessa globalmente erogata dai tre generatori coincide con la potenza complessa assorbita dal carico trifase {{\dot S}_{10}} + {{\dot S}_{20}} + {{\dot S}_{30}} = 17741 + {\rm{j}}19090{\rm{VA}} = {{\dot S}_t}

come si può vedere da
\begin{array}{l}{{\dot S}_{10}} - {{\dot S}_1} = \left( {{{\bar E}_{10}} - {{\bar E}_1}} \right){{\hat \bar I}_1} = {{\bar U}_{O'O}}{{\hat \bar I}_1}\\{{\dot S}_{20}} - {{\dot S}_2} = \left( {{{\bar E}_{20}} - {{\bar E}_2}} \right){{\hat \bar I}_2} = {{\bar U}_{O'O}}{{\hat \bar I}_2}\\{{\dot S}_{30}} - {{\dot S}_3} = \left( {{{\bar E}_{30}} - {{\bar E}_3}} \right){{\hat \bar I}_3} = {{\bar U}_{O'O}}{{\hat \bar I}_3}\\{{\dot S}_{10}} + {{\dot S}_{20}} + {{\dot S}_{30}} - {{\dot S}_1} - {{\dot S}_2} - {{\dot S}_3} = {{\bar U}_{O'O}}\left( {{{\hat \bar I}_1} + {{\hat \bar I}_2} + {{\hat \bar I}_3}} \right) = 0\end{array}
(la somma delle tre correnti è nulla per il primo principio di Kirchhoff)

Correnti erogate dai generatori

La corrente nel carico monofase è
{\bar I_{23}} = \frac{{{{\bar U}_{23}}}}{{{{\dot Z}_{23}}}} = \frac{{400}}{{5 + {\rm{j}}5}} = 40 - {\rm{j}}40{\rm{A}}
Quindi le correnti di linea erogate dai generatori sono date da:
{{\bar I}_{L1}} = {{\bar I}_1} = 18,56 + {\rm{j}}25,46{\rm{A}}
{{\bar I}_{L2}} = {{\bar I}_2} + {{\bar I}_{23}} = 53,02 - {\rm{j}}84,38{\rm{A}} {{\bar I}_{L3}} = {{\bar I}_3} - {{\bar I}_{23}} =  - 71,58 + {\rm{j}}58,92{\rm{A}}

Correnti di linea a monte del carico monofase

Correnti di linea a monte del carico monofase

Le corrispondenti potenze complesse sono date da
\begin{array}{l}
{{\dot S}_{L1}} = {{\bar E}_{10}}{{\hat \bar I}_{L1}} = {\rm{j}}231 \times \left( {18,56 - {\rm{j}}25,46} \right) = 5881 + {\rm{j}}4287{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_{L2}} = {{\bar E}_{20}}{{\hat \bar I}_{L2}} = \left( {200 - {\rm{j}}115,5} \right) \times \left( {53,02 + {\rm{j}}84,38} \right) = 20350 + {\rm{j}}10750{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_{L3}} = {{\bar E}_{30}}{{\hat \bar I}_{L3}} = \left( { -200 - {\rm{j}}115,5} \right) \times \left( { - 71,58 - {\rm{j}}58,92} \right) = 7511 + {\rm{j}}20050{\rm{VA}}\\{{\dot S}_{Ltot}} = {{\dot S}_{L1}} + {{\dot S}_{L2}} + {{\dot S}_{L3}} = 33740 + {\rm{j}}35090{\rm{VA}}\end{array}
La potenza complessa del carico monofase è
{{\dot S}_{23}} = {{\bar U}_{23}}{{\hat \bar I}_{23}} = \left( {{{\bar E}_{20}} - {{\bar E}_{30}}} \right){{\hat \bar I}_{23}} = 400 \times \left( {40 + {\rm{j}}40} \right) = 16000 + {\rm{j}}16000{\rm{VA}}

Osservazioni

La variazione della potenza complessa del generatore 2 dopo l'inserzione del carico monofase è data da

\begin{array}{*{20}{l}}{{{\dot S}_{L2}} - {{\dot S}_{20}} = {{\bar E}_{20}}\left( {{{\hat \bar I}_{L2}} - {{\hat \bar I}_2}} \right) = {{\bar E}_{20}}{{\hat \bar I}_{23}} = }\\{ = 20350 + {\rm{j}}10750 - 7730 - {\rm{j}}7372 = 12620 + {\rm{j}}3378{\rm{VA}}}

\end{array}
Quella del generatore della fase 3, da

\begin{array}{*{20}{l}}{{{\dot S}_{L3}} - {{\dot S}_{30}} = {{\bar E}_{30}}\left( {{{\hat \bar I}_{L3}} - {{\hat \bar I}_3}} \right) = }\\{ =  - {{\bar E}_{30}}{{\hat \bar I}_{23}} = 7511 + {\rm{j}}20050 - 4130 - {\rm{j}}7431 = 3381 + {\rm{j}}12619{\rm{VA}}}

\end{array}
La somma delle due variazioni corrisponde naturalmente alla potenza complessa assorbita dal carico monofase

La potenza complessa del generatore 1 rimane immutata
\dot S_{10}= \dot S_{L1}

componenti simmetriche

Le tensioni dei generatori hanno la sola componente simmetrica diretta, per ipotesi. Le correnti squilibrate hanno invece sia una componente diretta che una inversa. La componente omopolare è invece nulla, non essendoci il neutro
\begin{array}{l}{{\bar I}_d} = 50,65 + j48,7 \, \rm{A}\\{{\bar I}_i} =  - 32,09 - j23,24 \, \rm{A}\\{{\bar I}_0} = 0\end{array}

Le totali potenze del sistema sono dovute quindi alla sole sole componenti dirette
{{\dot S}_{Ltot}} = 3{{\bar E}_d}{{\hat \bar I}_d} = 3 \times {\rm{j}}231 \times \left( {50,65 - j48,7} \right) = 33750 + {\rm{j}}35100 \, {\rm{VA}}

NB: la differenza numerica, di circa lo 0,3 per mille, è compatibile con le approssimazioni di calcolo (4 cifre significative)

Carico trifase squilibrato e tensioni dissimmetriche


\begin{array}{l}
R_1 = 3 \, \Omega ;R_2 =5 \, \Omega ;R_3 = 10 \, \Omega \\ 
X_{L1} =-4 \, \Omega ;X_{L2} =4 \, \Omega ;X_{L3} = 0 \, \Omega  \\
R_{23} = 0 \, \Omega;  X_{23}= 7 \, \Omega \\
E_{10} = 100+ \rm{j}200 \, {\rm{V}} \\
E_{20} = 140 - \rm{j}200 \, {\rm{V}}\\
E_{30} = -150 - \rm{j}150 \, {\rm{V}}
\end{array}

NB: è stato lasciato per la reattanza della fase 1 il simbolo XL1 e nel disegno il simbolo di induttanza, ma, ovviamente, avendo anteposto il segno "-" nel valore, si tratta di una capacità

Correnti nel carico trifase

applicando il metodo dello spostamento del centro stella, otteniamo
\begin{array}{l}{{\bar U}_{O'O}} =  - 112,7 - {\rm{j}}17,58{\rm{V}}\\{{\bar E}_1} = 212,7 + {\rm{j}}217,6{\rm{V}}\\{{\bar E}_2} = 252,7 - {\rm{j}}182,4{\rm{V}}\\{{\bar E}_3} =  - 37,3 - {\rm{j}}32,4{\rm{V}}\\{{\bar I}_1} =  - 9,289 + {\rm{j}}60,14{\rm{A}}\\{{\bar I}_2} = 13,02 - {\rm{j}}46,9{\rm{A}}\\{{\bar I}_3} =  - 3,73 - {\rm{j}}13,24{\rm{A}}\end{array}

Carico Trifase: tensioni e correnti

Carico Trifase: tensioni e correnti

Le corrispondenti potenze complesse sono

\begin{array}{l}
{{\dot S}_1} = {{\bar E}_1}{{\hat \bar I}_1} = \left( {212,7 + {\rm{j}}217,6} \right) \times \left( { - 9,289 - {\rm{j}}60,14} \right) = 11100 - {\rm{j}}14810{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_2} = {{\bar E}_2}{{\hat \bar I}_2} = \left( {252,7 - {\rm{j}}182,4} \right) \times \left( {13,02 + {\rm{j}}46,9} \right) = 11840 + {\rm{j}}9477{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_3} = {{\bar E}_3}{{\hat \bar I}_3} = \left( { - 37,3 - {\rm{j1}}32,4} \right) \times \left( { - 3,73 + {\rm{j}}13,24} \right) = 1892{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_t} = {{\dot S}_1} + {{\dot S}_2} + {{\dot S}_3} = 24832 - {\rm{j}}5333{\rm{VA}}
\end{array}
Come in precedenza, le potenze erogate dai singoli generatori che alimentano il solo carico trifase, non coincidono con quelle assorbite dalle corrispondenti fasi del carico stesso. Si hanno infatti
\begin{array}{l}
{{\dot S}_{10}} = {{\bar E}_{10}}{{\hat \bar I}_1} = \left( {100 + {\rm{j}}200} \right) \times \left( { - 9,289 - {\rm{j}}60,14} \right) = 11099 - {\rm{j}}7872{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_{20}} = {{\bar E}_{20}}{{\hat \bar I}_2} = \left( {140 - {\rm{j}}200} \right) \times \left( {13,02 + {\rm{j}}46,9} \right) = 11203 + {\rm{j}}3962{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_{30}} = {{\bar E}_{30}}{{\hat \bar I}_3} = \left( { - 150 - {\rm{j}}150} \right) \times \left( { - 3,73 + {\rm{j}}13,2} \right) = 2545 - {\rm{j}}1427{\rm{VA}}
\end{array}
Naturalmente la potenza complessa globalmente erogata dai tre generatori coincide con la potenza complessa assorbita dal carico trifase
{{\dot S}_{10}} + {{\dot S}_{20}} + {{\dot S}_{30}} = 24847 - {\rm{j}}5337{\rm{VA}} = \dot S_t

La corrente nel carico monofase vale
{{\bar I}_{23}} = \frac{{{{\bar U}_{23}}}}{{{{\dot Z}_{23}}}} = \frac{{{{\bar E}_{20}} - {{\bar E}_{30}}}}{{{{\dot Z}_{23}}}} = \frac{{140 - {\rm{j}}200 + 150 + {\rm{j}}150}}{{{\rm{j}}7}} = = \frac{{290 - {\rm{j}}50}}{{{\rm{j}}7}} = -7,143 - {\rm{j}}41,43{\rm{A}}
e la sua potenza complessa vale
{{\dot S}_{23}} = {{\bar U}_{23}}{{\hat \bar I}_{23}} = \left( {290 - {\rm{j}}50} \right) \times \left( { - 3,73 + {\rm{j}}13,2} \right) = {\rm{j}}12373{\rm{VA}}
Le correnti di linea valgono
\begin{array}{l}{{\bar I}_{L1}} = {{\bar I}_1} =  - 9,289 + {\rm{j}}60,14{\rm{A}}\\{{\bar I}_{L2}} = {{\bar I}_2} + {{\bar I}_{23}} = 13,02 - {\rm{j}}46,9 - 7,143 - {\rm{j}}41,43 = 5,877 - {\rm{j}}88,33{\rm{A}}\\
{{\bar I}_{L3}} = {{\bar I}_3} - {{\bar I}_{23}} =  - 3,73 - {\rm{j}}13,24 + 7,143 + {\rm{j}}41,43 = 3,413 + {\rm{j}}28,19{\rm{A}}
\end{array}

Trimono3-4j_54J_10_7j_100_200j150-200j-150-150j.jp

Trimono3-4j_54J_10_7j_100_200j150-200j-150-150j.jp

Le corrispondenti potenze complesse valgono
\begin{array}{l}
{{\dot S}_{L1}} = {{\bar E}_{10}}{{\hat \bar I}_{l1}} = \left( {100 + {\rm{j}}200} \right) \times \left( { - 9,289 - {\rm{j}}60,14} \right) = 11100 - {\rm{j7872VA}}\\
{{\dot S}_{L2}} = {{\bar E}_{20}}{{\hat \bar I}_{L2}} = \left( {140 - {\rm{j}}200} \right) \times \left( {13,02 + {\rm{j}}46,9} \right) = 18490 + {\rm{j}}11190{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_{L3}} = {{\bar E}_{30}}{{\hat \bar I}_{L3}} = \left( { - 150 - {\rm{j}}150} \right) \times \left( { - 3,73 + {\rm{j}}13,24} \right) =  - 4740 + {\rm{j}}3716{\rm{VA}}\\
{{\dot S}_{Ltot}} = {{\dot S}_{L1}} + {{\dot S}_{L2}} + {{\dot S}_{L3}} = 24850 + {\rm{j7034VA}}
\end{array}
Naturalmente tale potenza è la somma della potenza complessa del carico trifase e di quella del carico tra fase e fase
{{\dot S}_{Ltot}} = {{\dot S}_t} + {{\dot S}_{23}}

Osservazioni

Valgono naturalmente le stesse osservazioni del caso precedente circa le variazioni di potenza complessa dei generatori con l'inserzione del carico monofase. Quindi:
Non si modifica la potenza complessa erogata dal generatore della fase 1 in quanto non si modifica la corrente

{{\dot S}_{L1}} = {{\bar E}_{10}}{{\hat \bar I}_{L1}} = {{\bar E}_{10}}{{\hat \bar I}_1} = {{\dot S}_{10}} Si modificano invece le potenze complesse erogate dai generatori 2 e 3 e la loro variazione corrisponde alla potenza complessa del carico monofase
\begin{array}{l}{{\dot S}_{L2}} - {{\dot S}_{20}} = {{\bar E}_{20}}\left( {{{\hat \bar I}_{L2}} - {{\hat \bar I}_2}} \right) = {{\bar E}_{20}}{{\hat \bar I}_{23}}\\{{\dot S}_{L3}} - {{\dot S}_{30}} = {{\bar E}_{30}}\left( {{{\hat \bar I}_{L3}} - {{\hat \bar I}_3}} \right) =  - {{\bar E}_{30}}{{\hat \bar I}_{23}}\\{{\dot S}_{L2}} - {{\dot S}_{20}} + {{\dot S}_{L3}} - {{\dot S}_{30}} = \left( {{{\bar E}_{20}} - {{\bar E}_{30}}} \right){{\hat \bar I}_{23}} = {{\bar U}_{23}}{{\hat \bar I}_{23}}\end{array}
La precedente equazione complessa si scinde nelle due reali per le potenze attive e reattive
PL2 + PL3P20P30 = 0
QL2 + QL3Q20Q30 = Q23 con i nostri valori numerici, rispettivamente
(18490 - 4740 - 11203 - 2545 = 2 \approx 0)

11190 + 3716 - 3962 + 1427 = 12371 \approx 12373
Si verifica, nel caso specifico, che la potenza attiva erogata dal generatore 3 diventa negativa; cioè non è erogata ma assorbita. E' il generatore 2 che gliela fornisce questa potenza, insieme a quella che deve essere fornita alla fasi 2 e 3 del carico trifase. Il carico monofase non assorbe potenza attiva essendo una pura reattanza induttiva.

componenti simmetriche

Ricaviamo le componenti simmetriche delle tensioni dei generatori e delle correnti di linea. Per queste ultime, non essendoci il neutro, la componente omopolare è nulla. Si ricavano
\begin{array}{l}{{\bar E}_{\rm{d}}}{\rm{ = 49,43 + j208,7V;  }}{{\bar I}_{\rm{d}}}{\rm{ = 28,99 + j30,78A}}\\{{\bar E}_{\rm{i}}}{\rm{ = 20.57 + j41.28V;  }}{{\bar I}_i} =  - 38,28 + {\rm{j}}29,36{\rm{A}}\\{{\bar E}_{\rm{0}}}{\rm{ = 30 - j50V;              }}{{\bar I}_0} = 0{\rm{A}}\end{array}

Le potenze in gioco sono prodotte dalle componenti simmetriche corrispondenti. Quindi abbiamo
\begin{array}{l}
\dot S = 3\left( {{{{\rm{\bar E}}}_{\rm{d}}}{{{\rm{\hat \bar I}}}_{\rm{d}}} + {{{\rm{\bar E}}}_{\rm{i}}}{{{\rm{\hat \bar I}}}_{\rm{i}}}} \right) = 3\left[ \begin{array}{l}\left( {{\rm{49,43 + j208,7}}} \right)\left( {{\rm{28,99 - j30,78}}} \right) + \\ + \left( {{\rm{20.57 + j41.28}}} \right)\left( { - 38,28 - j29,36} \right)\end{array} \right] = \\ = 3 \times \left( {7857 + {\rm{j}}4529 + 424 - {\rm{j}}2184} \right) = 24843 + {\rm{j}}7035{\rm{VA}}\end{array}

Richiami

Spostamento del centro stella

La formula è un'applicazione del teorema di Millman per una rete binodale.
\begin{array}{l}{{\bar U}_{O'O}} = \frac{{\frac{{{{\bar E}_{10}}}}{{{{\dot Z}_1}}} + \frac{{{{\bar E}_{20}}}}{{{{\dot Z}_2}}} + \frac{{{{\bar E}_{30}}}}{{{{\dot Z}_3}}}}}{{\frac{1}{{{{\dot Z}_1}}} + \frac{1}{{{{\dot Z}_2}}} + \frac{1}{{{{\dot Z}_3}}}}}\\{{\bar E}_1} = {{\bar E}_{10}} - {{\bar U}_{O'O}}\\{{\bar E}_2} = {{\bar E}_{20}} - {{\bar U}_{O'O}}\\{{\bar E}_3} = {{\bar E}_{30}} - {{\bar U}_{O'O}}\end{array}

sulle componenti simmetriche

Data una terna dissimmetrica di fasori \bar A_1, \bar A_2, \bar A_3 il primo fasore delle tre terne simmetriche che compongono la terna dissimmetrica è dato dalle formule
\begin{array}{l}{{\bar A}_0} = \frac{{{{\bar A}_1} + {{\bar A}_2} + {{\bar A}_3}}}{3}\\{{\bar A}_d} = \frac{{{{\bar A}_1} + \dot \alpha {{\bar A}_2} + {{\dot \alpha }^2}{{\bar A}_3}}}{3}\\{{\bar A}_i} = \frac{{{{\bar A}_1} + {{\dot \alpha }^2}{{\bar A}_2} + \dot \alpha {{\bar A}_3}}}{3}\\\dot \alpha  = {e^{j\frac{2}{3}\pi }} = 1\angle 120 =  - \frac{1}{2} + {\rm{j}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\{{\dot \alpha }^2} = {e^{j\frac{4}{3}\pi }} = 1\angle 240 =  - \frac{1}{2} - {\rm{j}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}
Si veda in proposito questo antico articolo
Dissimmetria
Ci sono anche alcuni esercizi
Esercizi sui sistemi trifasi dissimmetrici - 1
Esercizi sui sistemi trifasi dissimmetrici - 2

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Commenti e note

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di ,

L'intenzione di un articolo con il programma Python c'è ancora, ma dovrei riuscire a realizzare qualcosa di più decente e comprensibile. Ci proverò ma la vedo dura! :(

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di ,

Un Testo di Elettrotecnica di riferimento.......Vorrei vedere un articolo sul programma in Pyton (che mi sono riproposto di studiare, tanto per pasticciarci sopra, ma sono piu' indietro di te).

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