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Misura di una resistenza: il ponte di Wheatstone

Indice

Premessa

Da un punto di vista strettamente sperimentale, lo scopo di una misura non è quello di determinare l'esatto valore di una grandezza ma piuttosto individuare un idoneo intervallo che contenga tale grandezza con una probabilità ragionevole.
Misurare una resistenza può apparire un'operazione semplice e alla portata di tutti..."basta avere un tester con adeguato fondo scala"...ma in realtà è così solo se si prescinde dalla precisione e dall'accuratezza con cui vogliamo ottenere il risultato.
La teoria e la pratica delle misure elettriche ci insegnano che esistono diversi metodi per misurare una resistenza i quali vanno applicati in base all'ordine di grandezza e alla precisione che si desidera ottenere.
Il primo e il più conosciuto è senz'altro il metodo volt-amperometrico che consente di determinare il valore di una resistenza alimentata con un'opportuna tensione continua Vcc, misurando tensione e corrente e facendone poi il rapporto. La precisione della misura in questo caso dipende solo dalla qualità e dalla corretta calibrazione della strumentazione di misura utilizzata (un voltmetro e un amperometro) e normalmente consente di soddisfare la maggior parte delle esigenze pratiche.

In tutti quei casi in cui occorra invece misurare una resistenza con una precisione superiore a quella fornita dal metodo volt-amperometrico si può utilizzare un metodo di misura che adotta uno schema circuitale detto ponte di Wheatstone.
In questo articolo verranno approfonditi gli aspetti teorici e pratici legati al ponte di Wheatstone affrontando in maniera analitica tutti i concetti. Non saranno invece analizzati i vari possibili metodi di risoluzione circuitale che l'elettrotecnica ci offre, peraltro già trattati in quest'ottimo articolo al quale umilmente rimando gli eventuali interessati.

La condizione di equilibrio del ponte di Wheatstone

Il ponte di Wheatstone è costituito da quattro rami ciascuno contenente una resistenza.
Esso viene normalmente alimentato per mezzo di un generatore di tensione costante Vcc ed è utilizzato allo scopo di determinare il valore incognito di una delle quattro resistenze.
La seguente Fig. 1 mostra lo schema circuitale del ponte di Wheatstone.

È possibile individuare una diagonale di alimentazione CD e una diagonale di rivelazione AB.
Nella diagonale AB si collega un milliamperometro o un millivoltmetro in grado di rilevare la presenza di una tensione anche minima VAB (oppure di rilevare la relativa corrente IAB).
Il ponte si dice in condizioni di equilibrio quando la tensione VAB è nulla (in tal caso ovviamente anche la corrente IAB sarà nulla).
In condizioni di equilibrio si avrà dunque

(1)\; \; \; V_{AB}=V_{AD}-V_{BD}=0\Rightarrow V_{AD}=V_{BD}

e la corrente erogata dal generatore si ripartisce unicamente sui due rami C-A-D e C-B-D come mostra la Fig. 2.


Applicando la regola del partitore di tensione si può scrivere che

(2)\;\;\; V_{AD}=V_{cc}\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\;\;\;\;\;\; V_{BD}=V_{cc}\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}

e sostituendo nella (1) si ottiene:

(3)\;\;\; \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}

Procedendo con lo sviluppo matematico si ha:

(4)\;\;\; R_{2}\cdot(R_{3}+R_{4})=R_{4}\cdot(R_{1}+R_{2})

(5)\;\;\; R_{2}\cdot R_{3}+R_{2}\cdot R_{4}=R_{1}\cdot R_{4}+R_{2}\cdot R_{4}

Semplificando il termine R_{2}\cdot R_{4} comune ad entrambi i membri infine si ottiene:

(6)\;\;\; R_{1}\cdot R_{4}=R_{2}\cdot R_{3}

o equivalentemente:

(7)\;\;\; \frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}

La (6) o la (7) rappresentano matematicamente la condizione di equilibrio del ponte di Wheatstone.
In tale condizione risulta pertanto uguale il prodotto incrociato delle resistenze dei quattro rami (6) oppure, equivalentemente, risulta uguale il rapporto tra le due resistenze dei due rami C-A-D e C-B-D (7).
La condizione di equilibrio, come si può dedurre, non è influenzata da eventuali instabilità della tensione di alimentazione e questo rappresenta un ulteriore vantaggio dell'utilizzo del ponte di Wheatstone nelle misure di resistenza.

La condizione di massima sensibilità voltmetrica

Durante l'esecuzione di una misura occorre ricercare la condizione di equilibrio facendo in modo che tale condizione sia la più stabile possibile. Ogni piccolo scostamento deve essere rilevato in maniera sensibile dal millivoltmetro mediante l'indicazione di una tensione di squilibrio Vsq tra A e B.

Uno scostamento dall'equilibrio è in genere causato da una variazione (anche molto piccola) di una delle resistenze del ponte dovuta a fattori intrinseci e/o ambientali.

Andremo ora a determinare la condizione di massima sensibilità del ponte, ossia quella condizione in cui la tensione di squilibrio risulta massima a fronte di una minima variazione di una resistenza.

Partiamo da una condizione di equilibrio in cui, come abbiamo già visto, si ha:

(6)\;\;\; R_{1}\cdot R_{4}=R_{2}\cdot R_{3}\;\;\;\;\;\; (7)\;\;\; \frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}

Supponiamo che, ad esempio, la resistenza R4 sia soggetta alla seguente variazione

(8)\;\;\; R^{'}_{4}=R_{4}+\Delta R

che genera la seguente tensione di squilibrio (Fig. 3):

(9)\;\;\; V_{sq}=V_{AD}-V_{BD}\neq0

Applicando le formule del partitore di tensione (2) a questa nuova condizione e trascurando la comunque piccola corrente Isq rispetto alle correnti dei rami principali, si può scrivere:

(10)\;\;\; V_{sq}=V_{cc} \left (\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}-\frac{R_{4}+\Delta R}{R_{3}+R_{4}+\Delta R}  \right )

Sviluppando e semplificando si ha:

(11)\;\;\; V_{sq}=V_{cc}\;\frac{R_{2}\cdot \left (R_{3}+R_{4}+\Delta R  \right )-\left ( R_{1}+R_{2} \right )\cdot \left ( R_{4}+\Delta R \right )}{\left ( R_{1}+R_{2} \right )\cdot \left ( R_{3}+R_{4}+\Delta R \right )}


(12)\;\;\; V_{sq}=V _{cc}\frac{R_{2}R_{3}+R_{2}R_{4}+R_{2}\Delta R-R_{1}R_{4}-R_{1}\Delta R-R_{2} R_{4}-R_{2}\Delta R}{\left(R_{1}+R_{2}\right)\left(R_{3}+R_{4}+\Delta R\right)}

Tenendo conto della condizione (6) e semplificando si ricava:

(13)\;\;\; V_{sq}=-V_{cc}\;\frac{R_{1}\cdot \Delta R}{\left ( R_{1}+R_{2} \right )\cdot \left ( R_{3}+R_{4}+\Delta R \right )}

Infine, poiché al denominatore il termine ΔR è certamente trascurabile rispetto a (R3 + R4), si ottiene:

(14)\;\;\; V_{sq}=-V_{cc}\;\frac{R_{1}\cdot \Delta R}{\left ( R_{1}+R_{2} \right )\cdot \left ( R_{3}+R_{4} \right )}

Tenendo inoltre conto che in condizioni di equilibrio si ha anche VCA=VCB, applicando il partitore di tensione si può scrivere:

(15)\;\;\; \frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{3}+R_{4}}

Dalla (15) si ricava:

(16)\;\;\; R_{1}=R_{3}\; \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{3}+R_{4}}

Sostituendo la (16) nella (14) si ottiene:

(17)\;\;\; V_{sq}=-V_{cc}\;\frac{R_{3}\cdot \Delta R}{\left (R_{3}+R_{4} \right )^{2}}

Ora poniamo:

(18)\;\;\; \alpha =\frac{R_{3}}{R_{4}}\;\;\; \Rightarrow \;\;\; R_{3}=\alpha \cdot R_{4}

La (17) allora può essere così scritta:

(19)\;\;\; V_{sq}=-V_{cc}\;\frac{\alpha \cdot R_{4}\cdot \Delta R}{R{_{4}}^{2}\cdot \left (1+\alpha  \right )^{2}}=-V_{cc}\;\frac{\alpha}{\left (1+\alpha  \right)^{2}}\; \frac{\Delta R}{R_{4}}

A parità di tensione di alimentazione Vcc del ponte e di variazione relativa ΔR / R4 della resistenza, la tensione di squilibrio risulta dunque essere proporzionale ad una funzione del parametro α che esprime il rapporto tra le resistenze che confluiscono in uno stesso nodo di rilevazione in condizioni di equilibrio:

(20)\;\;\; V_{sq}\propto  f\left ( \alpha  \right )= \frac{\alpha }{\left ( 1+\alpha  \right )^{2}}

La Fig.4 rappresenta l'andamento della funzione f\left ( \alpha  \right )\;\; in scala logaritmica (α non può assumere valori negativi in quanto rappresenta un rapporto di resistenze):

Fig. 4 Massima sensibilità voltmetrica del ponte

Fig. 4 Massima sensibilità voltmetrica del ponte


Come si può vedere, utilizzando la scala logaritmica, la funzione f\left ( \alpha  \right ) risulta simmetrica rispetto all'ascissa 1 e presenta un massimo proprio per α = 1, valore in corrispondenza del quale, a parità di variazione relativa della resistenza R4, anche la tensione di squilibrio assume valore massimo (in modulo).

α = 1 rappresenta dunque la condizione di massima sensibilità del ponte di Wheatstone che, tenuto conto di (18) e (7), si può esprimere analiticamente come segue:

(21)\;\;\; \alpha =1\;\;\; \Rightarrow \;\;\; R_{3}=R_{4}\;\;\; \Rightarrow \;\;\;R_{1}=R_{2}

La condizione di massima sensibilità del ponte richiede, dunque, che siano uguali le resistenze di ciascun ramo principale del ponte C-A-D e C-B-D.


Il ponte di Wheatstone in pratica

Fin qui gli aspetti teorici e analitici del ponte di Wheatstone che, come già detto, viene utilizzato per determinare il valore di una resistenza incognita.

Analizziamo adesso alcuni risvolti pratici che evidenziano le peculiarità di questo metodo di misura.

Le resistenze coinvolte nel processo di misura vengono spesso così denominate:

Rc resistenza campione ad elevata precisione
R1 e R2 resistenze ausiliarie
Rx resistenza incognita

La resistenza campione Rc può essere fissa o variabile dando luogo a due differenti configurazioni del ponte aventi caratteristiche ben diverse.


Misura con Rc fissa

In questo caso, l'unica configurazione possibile del ponte è la seguente in Fig. 5:

Poiché occorre ricercare l'equilibrio (VAB=0) in condizioni di massima sensibilità voltmetrica, è necessario soddisfare contemporaneamente le seguenti relazioni:

R_{1}\cdot R_{c}=R_{x}\cdot R_{2}\;\;\;\;\; equilibrio

\frac{R_{1}}{R_{x}}=\frac{R_{2}}{R_{c}}=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; massima\, sensibilit\grave{a}

In questo caso, ovviamente, R1 e R2 devono essere entrambi variabili altrimenti, se fosse ad esempio variabile solo R2, si riuscirebbe a raggiungere l'equilibrio del ponte ma non si riuscirebbe a soddisfare la condizione di massima sensibilità voltmetrica.

Esecuzione pratica della misura:

1. Si agisce su R2 in modo da soddisfare la seconda parte della condizione di massima sensibilità:

R_{2}=R_{c}\Rightarrow\frac{R_{2}}{R_{c}}=1

2. Successivamente si agisce su R1 fino al raggiungimento dell'equilibrio (VAB=0):

R_{1}\cdot R_{c}=R_{x}\cdot R_{2}

Nota: a questo punto rimane automaticamente soddisfatta anche la prima parte della condizione di massima sensibilità voltmetrica!

3. Si ricava la resistenza incognita come segue:

R_{x}=\frac{R_{1}}{R_{2}}\cdot R_{c}

Con questa configurazione, dunque, in base al teorema differenziale sulla propagazione degli errori, l'errore percentuale con cui si misura la resistenza incognita vale:

\Delta R_{x}\%=\Delta R_{1}\%+\Delta R_{2}\%+\Delta R_{c}\%


Misura con Rc variabile

In questo caso una configurazione possibile del ponte è la seguente in Fig. 6:

Il vantaggio di questa configurazione è quello di avere un lato (C-A-D) completamente variabile e di poter invertire la posizione di R1 con R2.

Le condizioni di equilibrio e massima sensibilità voltmetrica sono espresse dalle seguenti relazioni:

R_{1}\cdot R_{c}=R_{2}\cdot R_{x}\;\;\;\;\; equilibrio

\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{x}}{R_{c}}=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; massima\, sensibilit\grave{a}

Esecuzione pratica della misura:

1. Si agisce su R1 e R2 facendo in modo che siano nominalmente uguali per soddisfare la prima parte della condizione di massima sensibilità:

R_{1}=R_{2} \Rightarrow\frac{R_{1}}{R_{2}}=1

2. Successivamente, agendo su Rc, si ricerca l'equilibrio fino ad ottenere VAB=0 e soddisfare la seguente relazione:

R_{1}\cdot R_{c}=R_{2}\cdot R_{x}

Nota: a questo punto rimane automaticamente soddisfatta anche la seconda parte della condizione di massima sensibilità!

3. Si determina la resistenza incognita R{_{x}}^{'}\left(=R_{c}^{'}\right).

4. Si inverte R1 con R2.

5. A causa delle incertezze sui valori nominali delle resistenze il ponte potrebbe non essere più in equilibrio, in tal caso si riesegue il passo 2.

6. Si calcola nuovamente l'incognita R{_{x}}^{''}\left(=R_{c}^{''}\right).

7. Infine si esegue la media aritmetica dei valori così misurati:

R{_{x}}=\frac{R{_{x}}^{'}+R{_{x}}^{''}}{2}

Con lo scambio delle resistenze la misura di Rx non risente degli errori relativi di R1 e R2 in quanto si annullano nell'eseguire la media, essendo tali errori simmetrici rispetto alla posizione esatta di equilibrio.
L'errore percentuale varrà dunque:

\Delta R_{x}\%=\Delta R_{c}\%

ottenendo un livello di precisione della misura decisamente migliore rispetto alla configurazione con Rc fissa.

Conclusioni

Nella pratica delle misure elettriche le resistenze R1, R2 e Rc sono delle cassette di resistenze a decadi e il loro valore può essere facilmente impostato con delle semplici manopole.
In Fig. 7, a puro titolo di esempio, una tipica cassetta di resistenze:

Fig. 7 Esempio di cassetta di resistenze

Fig. 7 Esempio di cassetta di resistenze

In particolare, la resistenza campione Rc deve essere scelta ad elevata precisione (si trovano fino a 0,02%) in modo da effettuare una misura molto accurata della resistenza incognita sfruttando la configurazione del ponte con Rc variabile.

Occorre evidenziare, inoltre, che il campo di misura del ponte di Wheatstone è limitato sia superiormente, a causa della massima potenza dissipabile sugli elementi resistivi delle cassette, sia inferiormente, a causa delle resistenze di contatto che influenzerebbero negativamente la misura di una resistenza incognita di piccolo valore.
In pratica il ponte di Wheatstone viene normalmente utilizzato per la misura di resistenze nel campo 1\Omega\div1M\Omega .

Nei prossimi articoli è mia intenzione approfondire l'argomento dei ponti di misura parlando del doppio ponte di Kelvin-Thomson, utilizzato per la misura di resistenze inferiori a , e del ponte di Wheatstone in alternata, utilizzato per la caratterizzazione di un'impedenza.

Bibliografia

\left[1\right]\;\; Appunti personali del corso di "Misure Elettriche".

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Commenti e note

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di ,

chiaro e conciso, mi piace, un articolo interessante, complimenti

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di ,

Grazie per i complimenti @andreadimonti Per quanto riguarda la configurazione del ponte con Rc fissa (fig. 5), dopo aver impostato R2=Rc, l'equilibrio del ponte può essere raggiunto solo variando R1 fino a che R1=Rx e cioè R1/Rx=1 che è la prima parte della condizione di massima sensibilità. Daniele.

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di ,

ottimo articolo. una domanda: la condizione di equilibrio la "leggo" con il millivoltmetro dovendo arrivare, variando la resistenza R1 (nel caso di Rc fissa) fino a ottenere VAB = 0; dove vedo che ho raggiunto la prima parte della condizione di massima sensibilità voltmetrica? andrea

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di ,

@fairyvilje...grazie a te per l'apprezzamento!!

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di ,

Grazie per questo articolo :) Mi ha fatto capire piuttosto bene

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di ,

Grazie Attilio e RenzoDF per i complimenti. @RenzoDF: concordo, per ottenere la (17) era più semplice differenziare, ho però volutamente applicato strumenti matematici più semplici per rendere i passaggi comprensibili anche a quelli che non hanno dimistichezza con il calcolo differenziale!! Comunque grazie!!!

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di ,

Complimenti per l'articolo, non e' facile condensare in poche righe il "ponte" piu' famoso della storia dell'elettrotecnica, ad ogni modo aggiungerei il termine dovuto alla sensibilita' nell'incertezza della misura. BTW per ottenere la (17) forse era piu' semplice differenziare ;)

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di ,

Complimenti, articolo ben scritto!

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di ,

Grazie uboss... in effetti avevo intenzione di parlare anche dei resistori a 4 morsetti (per limitare le resistenze di contatto) e della possibilità di invertire la tensione di alimentazione (per limitare l'influenza delle forze termoelettriche) ma poi mi sembrava di appesantire troppo l'articolo. Comunque grazie del consiglio...mi prometto di implementare l'articolo appena posso.

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di ,

Ottimo articolo. Però aggiungerei alcune limitazioni che derivano dal modello che si usa per parametrizzare il circuito. Per avere misure con un'incertezza più bassa bisogna tener conto sopratutto del contributo delle resistenze di contatto che agiscono sui 4 resistori. Inoltre anche eventuali forze-termoelettromotrici possono squilibrare il ponte.

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