Questo è il seguito dell'articolo Grandezze e unità di misura - I [1]. E' un seguito rimasto per lungo tempo nel cassetto -- circa 5 anni! -- perché volevo aggiungere qualche esempio nell'ultimo paragrafo. Non l'ho fatto per ragioni di tempo, ma direi che tutto sommato è pubblicabile così com'è.

Il sottotitolo di questa seconda parte potrebbe essere: Sì, va be', ma perché usare grandezze e unità di misura nelle equazioni?

La diffusione del Sistema internazionale delle unità di misura (SI) ha sicuramente ridotto in modo drastico il numero delle unità di misura in circolazione, semplificando così le necessità di conversione. Purtroppo, però, per ragioni di economicità, tradizione, pigrizia ecc., in alcuni settori della scienza e della vita quotidiana persiste ancora l'uso di unità non facenti parte dell'SI. Poiché pasticciare con le unità di misura può portare a problemi come quello del Mars Climate Orbiter [2], è allora importante saper eseguire le conversioni in modo corretto, e il calcolo delle grandezze può essere un valido aiuto per questo compito. Con il calcolo delle grandezze la conversione tra unità di misura può essere fatta per sostituzione, ricordandosi che un'unità di misura non è nient'altro che una particolare grandezza.

Oh, con questo articolo esco un po' da quelli che sono i miei soliti argomenti. Recentemente, infatti, mi è capitato di dover scrivere una libreria C che permettesse di fare calcoli ragionevolmente veloci con i numeri razionali (tenendo conto di alcune criticità di cui dirò al §8). Mi sembra sufficientemente completa da potervela proporre, nel caso qualcun altro avesse questo tipo di esigenza.

La libreria è scritta in C standard, per cui non ci dovrebbero essere grossi problemi di portabilità. E' però richiesto un compilatore che implementi lo standard C99. Chi usasse il compilatore gcc può compilare con l'opzione -std=c99.

Questa libreria definisce tre tipi di razionali, uno per ogni tipo intero supportato dal C:

A complemento di quanto descritto nell'articolo [1], voglio qui descrivere un fenomeno di instabilità che si verifica negli attuatori capacitivi: oltre a rappresentare un interessante esercizio di fisica (ehm, per due o tre lettori, diciamo), il fenomeno ha una certa rilevanza per la realizzazione degli attuatori capacitivi integrati [2]. Chi è matematicamente debole di cuore, dopo l'Introduzione, può saltare alle Conclusioni.

Un attuatore capacitivo è un condensatore che sfrutta la forza elettrostatica agente sulle armature per generare uno spostamento dipendente dalla tensione di comando applicata.

Si consideri allora un dispositivo costituito da due armature piane e parallele di area [Formula], poste perpendicolarmente ad un generico asse : un'armatura sia fissa, l'altra mobile nella direzione dell'asse [Formula] e solidale a una molla di richiamo di costante elastica ; il possibile moto oscillatorio dell'armatura mobile sia frenato da uno smorzatore viscoso (fig. 1).

Quello del calcolo della forza che si esercita tra le armature di un condensatore è un argomento che è stato trattato più volte nel forum di ElectroYou (p.es. qui e qui): è un calcolo semplice -tipicamente viene fatto con un metodo energetico-, ma che presenta alcuni trabocchetti. Scopo di questo articolo è proprio quello di mettere in guardia da questi trabocchetti, rivedendo il calcolo della forza passo per passo.

Con riferimento alla figura 1 qui sotto, supponiamo di avere un condensatore piano con un'armatura fissa e una mobile, connesso a un circuito di alimentazione. Supponiamo che esista una posizione di riposo in cui le armature del condensatore abbiano distanza [Formula] e fissiamo un asse di riferimento per la posizione dell'armatura mobile in modo tale che nella posizione di riposo questa abbia coordinata 0; scegliamo l'orientamento dell'asse di riferimento in modo tale che l'armatura fissa abbia coordinata [Formula].

Di sonde per oscilloscopio ce ne sono di diversi tipi: passive, attive, attive differenziali, di corrente, per alta tensione ecc. Ognuna è nata per soddisfare specifiche esigenze, ma tutte hanno uno scopo comune: ridurre l'errore di misura che nasce quando si collega un circuito in prova a un oscilloscopio.

In questo articolo, nato da una discussione del forum, cercherò di descrivere da cosa è causato l'errore citato e come funzionano le sonde più semplici, quelle passive con attenuazione (tipicamente 10:1).

WARNING: c'è chi dice che la sonda vada usata sempre. Usa la sonda! talvolta sembra un mantra ripetuto a garanzia di una buona misura. Non è così: la sonda passiva per oscilloscopio si usa per risolvere uno specifico problema, ma ha anche degli "effetti collaterali": la necessità del suo uso va valutata caso per caso e, talvolta, è meglio non usarla.

Questa analisi è un collage - con qualche aggiunta - di alcuni post scritti per una discussione nata nel forum su richiesta di MaxSplatter. E' una "piccola" analisi perché i) è basata su approssimazioni non sempre pienamente giustificabili, ii) è limitata a un particolare tipo di trasduttore e a un particolare integrato di condizionamento (l'AD598 della Analog Devices) e iii) non è supportata da risultati sperimentali (ma magari questi ce li fornirà MaxSplatter!). Nondimeno, penso che possa essere un'analisi interessante e che possa costituire una buona base per analisi più raffinate, soprattutto tenendo conto del fatto che non è sempre facile reperire materiale sull'argomento. Disclaimer: tocca sorbirsi un po' di matematica...

In questo articolo diviso in due parti proveremo a dare qualche idea di cosa siano le grandezze e di come si utilizzino nella scrittura delle equazioni. In questa prima parte introdurremo il concetto di grandezza e l'idea di calcolo delle grandezze; nella seconda parte vedremo di illustrare con alcuni esempi l'utilità di questo tipo di calcolo.

Quando scriviamo equazioni come [Formula] o i simboli che vi compaiono non denotano semplici numeri, ma valori di grandezze. Come lo conosciamo oggi, il concetto di grandezza (quantity) è stato introdotto nel 1873 da James Clerk Maxwell nel suo A treatise on electricity and magnetism [1]. Ecco le parole di Maxwell:

Il risultato di una misurazione è un rapporto tra due grandezze omogenee: una da determinare, e una di riferimento a cui viene assegnato un valore convenzionale che definisce l'unità di misura per quel tipo di grandezze. Il valore di una generica grandezza [Formula] può allora essere espresso come il prodotto di un valore numerico, indicato con , e di una unità di misura, indicata con [Formula] (come osservato da Maxwell, l'unità di misura è essa stessa una grandezza - una particolare grandezza):

Un semplice elenco di utili strumenti Matematici FREE, mirati alla tipologia dei frequentatori di Electroportal, ma non solo.

Sono stati aggiunti alla lista anche alcuni software DEMO particolarmente interessanti.

Le richieste di chiarimenti possono essere postate nella sottosezione Software per calcoli e simulazioni del Forum di ElectroYou.

download (9 MB) FREE [Formula]

Un potente software per l'analisi dei dati, alla ricerca dell'equazione descrittiva; sviluppato alla Cornell University e ora evoluto nella versione 2 (Formulize), sicuramente da provare. Tutorial introduttivi e documentazione disponibili a partire dalla Homepage

Il primo dei due video introduttivi

NB Le applicazioni sono innumerevoli e non solo in campo numerico ma anche in campo simbolico; si veda per esempio