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Da Maxwell alla legge di Biot e Savart

Indice

Abstract

In questo articolo mostrerò i passaggi che permettono di formulare la legge di Biot e Savart a partire dalle equazioni di Maxwell, definendo, preliminarmente, il potenziale vettore nel regime quasi stazionario magnetico.

Jean-Baptiste Biot e Félix Savart formularono la loro legge nel 1820.

James Clerk Maxwell pubblica la prima edizione del magistrale Treatise on electricity and magnetism nel 1873, introducendo il concetto ardito della corrente di spostamento .

Noi seguiremo il percorso inverso. Partendo dalle equazioni di Maxwell, arriveremo a formulare la legge di Biot e Savart, percorrendo 50 anni di storia.

Definizioni

  • Regime stazionario: le grandezze fisiche che caratterizzano il comportamento macroscopico del fenomeno fisico sono costanti nel tempo.
  • Regime dinamico: le grandezze fisiche che caratterizzano il comportamento macroscopico del fenomeno fisico sono variabili nel tempo.
  • Regime quasi stazionario magnetico: si trascura il contributo del vettore spostamento elettrico, pertanto la genesi del campo magnetico h è dovuta solo alla corrente di conduzione.
  • Mezzo localmente omogeneo: i parametri caratteristici del mezzo sono omogenei (costanti) all'interno di un volume infinitesimo.
  • Mezzo lineare: mezzo in cui le risposte del sistema presentano una relazione lineare con le sollecitazioni.


Quando trascurare la corrente di spostamento

In molte applicazioni è lecito trascurare la corrente di spostamento rispetto alla corrente di conduzione. In questi casi si parla di regime quasi stazionario magnetico e le equazioni di Maxwell si semplificano. E' utile definire un parametro di discriminazione nel dominio della frequenza. La corrente totale è:


\overline{J_{t}}=\overline{J_{c}}+\overline{J_{s}}=\sigma \overline{E}+j\omega \varepsilon \overline{E}


indicando con σ la conducibilità del mezzo e con \varepsilon la costante dielettrica. Il rapporto dei moduli dei due termini


\frac{\left | \overline{J_{s}} \right |}{\left |\overline{J_{c}}  \right |}=\frac{\omega \varepsilon }{\sigma }=\omega \left ( \varepsilon \rho  \right )=\omega \tau


permette di definire il parametro di discriminazione ωτ, ove τ è la costante di rilassamento. Se \omega \tau \ll 1 è possibile trascurare la corrente di spostamento rispetto alla corrente di conduzione, se \omega \tau \gg  1 è trascurabile la corrente di conduzione rispetto alla corrente di spostamento.

Definizione del potenziale vettore A nel regime quasi stazionario magnetico

In regime quasi stazionario magnetico, in un mezzo lineare e almeno localmente omogeneo, le equazioni di Maxwell assumono la seguente forma:


rot\overline{E}=-\frac{\partial \overline{B}}{\partial t}


rot\overline{B}=\mu \overline{J}


div\overline{B}=0


div\overline{D}=\rho _{v}


I diversi termini hanno il seguente significato:


  • \overline{E}: campo elettrico;
  • \overline{B}: induzione magnetica;
  • \overline{J}: densità di corrente di conduzione;
  • \overline{D}: spostamento elettrico;
  • μ: permeabilità magnetica;
  • ρv: densità volumica di carica libera.


Quando la divergenza di un qualsiasi campo è nulla, il campo stesso può essere definito a mezzo del rotore di un secondo campo. La terza equazione di Maxwell permette di associare al campo \overline{B} un campo vettoriale \overline{A}. Le sorgenti del potenziale vettore magnetico \overline{A}, quindi, sono definite dalle seguenti posizioni:


rot\overline{A}=\overline{B}


div\overline{A}=0


L'ultima posizione è detta vincolo di Coulomb.


Ricordando la proprietà degli operatori vettoriali rot\left (rot\overline{\Psi }  \right )=grad\left (div\overline{\Psi }  \right )-\Delta \overline{\Psi } e sostituendo la prima posizione nella seconda equazione di Maxwell:


rot\overline{B}=\mu \overline{J}


rot\left (rot\overline{A }  \right )=grad\left (div\overline{A }  \right )-\Delta \overline{A }=\mu \overline{J}


otteniamo


\Delta \overline{A}=-\mu \overline{J} (equazione vettoriale di Poisson del potenziale vettore)


la cui soluzione è


\overline{A}\left ( P' \right )=\frac{\mu }{4\pi }\int \frac{\overline{J}\left ( P \right )d\tau }{r}


L'integrale è esteso all'intero volume di definizione del vettore J. Dalla conoscenza del potenziale vettore possiamo risalire al vettore induzione:


\overline{B}\left ( P' \right )=\frac{\mu }{4\pi }\int rot\left (\frac{\overline{J}\left ( P \right )d\tau }{r}  \right )


Legge elementare di Biot e Savart

Nella ipotesi di conduttori sottili gli integrali di A e B si semplificano in integrali di linea. Trasferendo il carattere vettoriale di J all'elemento infinitesimo dl della linea media del tubo di flusso di J, possiamo scrivere:


\overline{A}\left ( P' \right )=\frac{\mu }{4\pi }I\oint \left ( \frac{\overline{dl}}{r} \right )


\overline{B}\left ( P' \right )=\frac{\mu }{4\pi }I\oint rot\left ( \frac{\overline{dl}}{r} \right )


Adesso consideriamo il piano (xy) contenente il punto di calcolo P' e l'elemento dl, quest'ultimo orientato secondo l'asse x.

Piano cartesiano.gif

Piano cartesiano.gif

Nel sistema di riferimento cartesiano, l'operatore di rotore ha la seguente espressione formale


rot\Psi =\begin{vmatrix}
\widehat{i} &\widehat{j}  &\widehat{k} \\ 
 \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}  &\frac{\partial }{\partial z} \\ 
 \Psi _{x}&\Psi _{y}  &\Psi _{z} 
\end{vmatrix}


Nel nostro caso l'elemento dl non ha componenti secondo l'asse y e z, inoltre, data la simmetria geometrica, sarà nulla qualsiasi variazione secondo l'asse z. Pertanto:


rot\left ( \frac{\overline{dl}}{r} \right ) =\begin{vmatrix}
\widehat{i} &\widehat{j}  &\widehat{k} \\ 
 \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}  &\frac{\partial }{\partial z} \\ 
 \frac{\left |dl\right |}{r}&0  &0 
\end{vmatrix}=-\widehat{k} \frac{\partial }{\partial y}\left (\frac{\left |dl\right |}{r}  \right )


Considerando il piano cartesiano della figura precedente, la distanza r tra punto di calcolo P' e il tubo di flusso di J si scrive come


r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}


Derivando l'espressione finale del rotore otteniamo


rot\left ( \frac{\overline{dl}}{r} \right )=\widehat{k}\left |dl\right |\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\cdot \left ( x^{2}+y^{2} \right )}


Mi pare ovvio che il rapporto \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=sen\alpha , quindi


rot\left ( \frac{dl}{r} \right )=\widehat{k}\left |dl\right |\frac{sen\alpha }{r^{2}}


Analizziamo quest'ultima espressione. Applicando l'operatore di rotore, abbiamo trovato una espressione che fornisce un contributo elementare al campo di induzione perpendicolare al piano (xy) che contiene il punto di calcolo e l'elementino di corrente, inoltre è proporzionale a senα.

Dopo questa breve analisi, possiamo riscrivere l'ultima espressione secondo una formulazione più nota:


\overline{dB}=\frac{\mu I}{4\pi }\frac{\overline{dl }\times\widehat{r}}{r^{2}}


legge elementare di Biot e Savart, la cui forma integrale è


\overline{B}\left ( P' \right )=\frac{\mu I}{4\pi }\oint \frac{\overline{dl}\times \widehat{r}}{r^{2}}

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Commenti e note

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di ,

Bel Lavoro Edmond ! ... per i curiosi aggiungo solo due link storici sull'argomento :)
http://www.ampere.cnrs.fr...
http://gallica.bnf.fr...

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di ,

Iniziai a scriverlo con laplaciani e operatori di nabla... di solito uso questi, ma così penso che sia più leggibile per tutti.

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di ,

Bello! Non temo il potenziale vettore, ma senza i nabla ho fatto una faticaccia a leggerlo :)

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di ,

Speriamo che sia utile: :) oppure.... O_°

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di ,

Un regalo ardito, Edmond, adatto ai fisici matematici di ElectroYou, che non temono il potenziale vettore ;)

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