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1^ Puntata

Visto che

scleruccio e' forse gia' partito per le Seichelles, completo la soluzione con un bel

"Start From Scratch", come diciamo qui a SB

, ovvero dal ridisegnare lo schema con FidoCadJ, dove per praticita' indico solo i valori numerici dei parametri

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e, vista la richiesta del testo, anche della sua immediata semplificazione "a destra", scegliendo la corrente i del ramo LC come "elemento risolutivo" fondamentale.

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a questo punto cominciamo con il calcolo delle condizioni a regime per t<5ms, con interruttore chiuso l'unica parte della rete da studiare e' quella di sinistra,

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visto che la risonanza serie di L e C cortocircuita la resistenza inferiore, potremo scrivere la corrente i e la tensione su C come

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

e quindi

$\begin{align} & i(\tau )=10\sin (\omega \tau +\frac{\pi }{60})=10\sin (5+\frac{\pi }{60})\approx -9.4276\,\text{A} \\ & v_{C}(\tau )=50\sin (\omega t+\frac{\pi }{60}-\frac{\pi }{2})=50\sin (5+\frac{\pi }{60}-\frac{\pi }{2})\approx -\text{16}\text{.673}\,\text{V} \\ \end{align}$

Per t>5ms con interruttore chiuso avremo invece

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e potremo scivere l'equazione differenziale usano la KVL alla maglia di sinistra, ricordando che se vogliamo usare un nuovo riferimento per il tempo, ripartendo da zero alla chiusura avremo una e(t) sfasata di 5ms

$v_{C}(t)+v_{L}(t)+R(i(t)+1)=e(t+\tau )\quad$

$\frac{1}{C}\int{i(t)\,\text{dt}}+L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+R(i(t)+1)=e(t+\tau )$

ed infine

$L\frac{\text{d}^{2}i(t)}{\text{d}t^{2}}+R\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+\frac{i(t)}{C}=\frac{\text{d}\left[ e(t+\tau ) \right]}{\text{d}t}$

che sara' la base di tutti i futuri sviluppi

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2^ Puntata

L'equazione caratteristica

$\lambda ^{2}+\frac{R}{L}\lambda +\frac{1}{LC}=0$

risolta, portera' a

$\lambda ^{2}+2\times 10^{3}\lambda +10^{6}=0\quad \to \quad \lambda _{1}=\lambda _{2}=1000$

e quindi cercheremo una soluzione generale nella forma

$i(t)=i_{G}(t)+i_{P}(t)=(k_{1}+k_{2}t)e^{-1000t}+k_{3}\sin (\omega t+k_{4})$

la soluzione particolare sara' quella a regime e quindi

$i_{P}(t)=10\sin \left( 1000t+5+\frac{\pi }{60} \right)$

e quindi

$\left\{ \begin{align} & k_{3}=10 \\ & k_{4}=5+\frac{\pi }{60} \\ \end{align} \right.$

Le condizioni iniziali

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

permetteranno di determinare le rimanenti due costanti

$\left\{ \begin{align} & i(0+)=k_{1}+i_{P}(0) \\ & \left. \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right|_{t=0+}=k_{2}+10^{4}\cos \left( 5+\frac{\pi }{60} \right) \\ \end{align} \right.\quad \left\{ \begin{align} & k_{1}=0 \\ & k_{2}=-2000 \\ \end{align} \right.$
ed infine

$i(t)=-2000te^{-1000t}+10\sin \left( 1000t+5+\frac{\pi }{60} \right)$
e infine per la d.d.p. ai capi dell'interruttore

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

che miracolosamente si semplifica in

$v_{AB}(t)=-20+2\times 10^{4}te^{-1000t}$

chissa' perche' ;-)

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3^ puntata

Proviamo ora a risolvere con Laplace, incominciando dallo schema completo dei generatori associati alle condizioni iniziali

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e scriviamo la solita KVL "a sinistra"

[unparseable or potentially dangerous latex formula]
che diventa

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

che, anche se con un giro piu' lungo, porta allo stesso risultato (ovviamente) ... ma vi risparmio i calcoli
:mrgreen:

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4^ Puntata

A questo punto ci chiediamo :-k

... ma che siano veramente necessari tutti questi calcoli :-M

... per un circuito a prima vista cosi' "innofensivo" ? ... la risposta e' no :!:

Gia' la soluzione per via differenziale doveva farci "sospettare" qualcosa, ovvero che forse c'era una scorciatoia, e perfino "banale" (io posso usarlo :-)

).

La sovrapposizione degli effetti ci avrebbe portato subito a vedere che la soluzione era in realta' molto piu' semplice, bastava notare che la chiusura dell'interruttore non veniva ad influenzare il regime permanente sinusoidale grazie alla risonansa del ramo LC, e di conseguenza la tensione ai capi dell'interruttore risulta dipendente unicamente dal generatore di corrente ed e' indipendente da quello di tensione.

Si doveva cioe' semplificare gia' inizialmente come

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e procedere con

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

con condizioni iniziali nulle per la componente continua

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

$\left\{ \begin{align} & i(0+)=k_{1}=0 \\ & \left. \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right|_{t=0+}=k_{2}=-2000 \\ \end{align} \right.\quad$

ed infine

$\begin{align} & i(t)=-2000te^{-1000t} \\ & v_{AB}(t)=-RJ-R(i(t)+J) \\ & v_{AB}(t)=-10+2\times 10^{4}te^{-1000t}-10 \\ & v_{AB}(t)=-20+2\times 10^{4}te^{-1000t} \\ \end{align}$

:ok: