Spero di riuscire anche io a darti una mano TardoFreak, ci provo.
Una interpretazione molto grafica dell'indipendenza lineare di vettori (un vettore può essere qualsiasi cosa -poiché uno spazio vettoriale può essere un insieme di elementi di ogni genere- ma adesso vediamoli solo come vettori nello spazio euclideo di dimensione 1,2,3, ...).

Questo è lo spazio euclideo di dimensione 1, una retta:



e adesso prendiamo un vettore di questo spazio:



Scalando questo vettore con un opportuno coefficiente reale, ottieni tutti i vettori possibili linearmente dipendenti a , ecco un esempio:





Inoltre come si vede, scalando "riempi" tutta la retta, ovvero riesci a ottenere ogni possibile vettore sulla retta, in altre parole hai anche trovato una base di quello spazio.

Andiamo avanti.
Scalando posso ottenere questo vettore nella figura sotto ?



La risposta è no, come puoi immaginare, perché scalando continuerai a fare avanti e indietro solo sulla retta, ma non al di fuori di essa.
Ecco che allora e sono diventati linearmente indipendenti (non puoi ottenerne uno semplicemente scalando l'altro).
Bene, ora combiniamoli.
Scalandoli in ogni possibile maniera e successivamente sommandoli cosa riusciamo a riempire? Un piano.
Infatti:





o ancora:





oppure:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]



e così via in generale:



Inoltre, poiché riesci a riempire tutto il piano, hai anche trovato una base dello spazio euclideo di dimensione 2 (la base è formata da e , e ogni vettore del piano sarà linearmente dipendente da questi due).

Ora puoi estendere ancora:



Scalando e sommando in tutti i modi possibili e riuscirai mai a ottenere ? La risposta è ovviamente no, ecco che allora questi 3 sono tra loro adesso linearmente indipendenti.
Combinandoli in questo modo:



cosa riesci a "riempire"? Hai trovato quindi una base di quale spazio? E quale sarà ora un vettore che non potrai esprimere come combinazione lineare di questi 3? Ovvero quale sarà un vettore linearmente indipendente da questi 3?

Spero di esserti stato utile in qualche modo, un saluto.

Dopo che leggo questi post mi dico: "mi sa che ho fatto bene a non cedere alla tentazione di fare matematica"
Intendiamoci, i post sono affascinanti e non me ne perdo uno, ma della maggior parte ci capisco lo zerovirgolapercento.
Epperò sono belli lo stesso, per me è come andare a una mostra di Caravaggio e capire che pur non essendo io minimamente capace di fare neanche uno schizzetto elementare, apprezzo la bellezza dei quadri.
Dénghiu.

.. e dal profondo abisso siderale si sentì la voce tonante di DirtyDeeds che diceva a TardoFreak: "Ho visto cose che voi umani ...."

In realtà è proprio lo stesso esempio, si passa da una segnatura all'altra tramite un semplice riordinamento delle basi ortonormali.

L'esempio è classico perché corrisponde alla metrica di Lorentz, cioè la metrica della relatività ristretta, e ogni fisico ha la sua segnatura preferita, +++-, -+++, +---, ---+. Ciò che si conserva è il numero di + e -.

Il fatto che ogni metrica si possa "diagonalizzare" in quel modo deriva da una generalizzazione del metodo di Gram-Schimdt.

[quote="DirtyDeeds"]Non salta fuori da nessuna parte, dal punto di vista matematico, è solo un esempio di prodotto interno non positivo definito. Ne potevo scrivere altri, ho solo usato quello perché famoso

Bene, ho dato un'occhiata in giro per la rete e ho intravisto quello che dite voi, ossia le metriche diverse per spazi vettoriali non euclidei, che io, non essendo un fisico, non avevo considerato, e che portano a situazioni dove ortogonalità e indipendenza lineare non coincidono.
Se ne può dedurre che in uno spazio euclideo due vettori linearmente indipendenti sono anche ortogonali e viceversa?
No: se sono ortogonali, sono anche linearmente indipendenti, ma se sono linearmente indipendenti non è detto che siano anche ortogonali. Come accade ad esempio in R3 per i vettori v(1,1,-1) e t(1, 1, 1), che sono linearmente indipendenti ma non ortogonali, perché il loro prodotto scalare non è zero.

Non salta fuori da nessuna parte, dal punto di vista matematico, è solo un esempio di prodotto interno non positivo definito. Ne potevo scrivere altri, ho solo usato quello perché famoso

Comunque si può dimostrare che qualunque prodotto interno su R^n può essere rappresentato, in un'opportuna base, come una somma di quel tipo, dove i primi m termini sono positivi e gli altri n-m negativi. Nello spazio euclideo sono tutti positivi.

Deriva dalla metrica dello spazio che non è euclideo.
Li sta tutto il succo del discorso, perché la metrica definisce implicitamente la distanza, l'ortogonalitá ecc..

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

DirtyDeeds mi puoi spiegare da dove salta fuori quel segno "-" nella quarta dimensione?

[quote="clavicordo"]come fanno due vettori a essere nulli e contemporaneamente diversi da zero?