Le proprietà e le trasformate notevoli derivano direttamente dalle proprietà ed integrali notevoli...
Quindi i due flussi di calcolo dovrebbero essere equivalenti, il vantaggio delle proprietà è che non devi portati dietro tutta la notazione integrale.
Provo a svolgere il tuo esempio per mezzo delle proprietà:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
portiamo fuori la costante esponenziale
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
aggiungiamo e togliamo 1 all'esponenziale interno
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
portiamo fuori la costante di Eulero e mettiamo in evidenza -1 nel gradino
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
applichiamo la proprietà di traslazione temporale (o di spazio ordinario)
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
l'operando della trasformata è un impulso esponenziale specchiato rispetto alle ordinate, quindi notevole...

Ora applicando la definizione, la costante di proporzionalità la scarico all'antitrasformata...
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
il gradino annulla l'integrando per tutte quelle t maggiori di 1, quindi

metto la t in evidenza e trovo un integrale banale
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
integrando e valutando

Potrei aver detto sciocchezze,
