Giusto per controllare fra soluzione rigorosa, via wolframalpha,
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B+y%27%27%2B1e6*y%27%2B16e9*y%3D0+,+for+y(0)%3D0+,y%27(0)%3D1e4%5D
(ricavando di seguito via integrazione l'energia su R)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1e3+%5B+(e%5E(-20000+(25+%2B+3+sqrt(65))+x)+(-1+%2B+e%5E(120000+sqrt(65)+x)))%2F(12+sqrt(65))%5D%5E2+from+x%3D0+to+x%3D0.001
e soluzione "idraulica", risolta dal sottoscritto, visto che si tratta di un banale calcolo,
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
almeno fino alla quarta cifra significativa, non si vedono differenze.
PS ... e con qualche cifra significativa in più,
https://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5B+integrate++1e3+*%5B+(e%5E(-20000+(25+%2B+3+sqrt(65))+x)+(-1+%2B+e%5E(120000+sqrt(65)+x)))%2F(12+sqrt(65))%5D%5E2+from+x%3D0+to+x%3D0.001%5D
ci rendiamo conto che la differenza è "quasi" trascurabile.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B+y%27%27%2B1e6*y%27%2B16e9*y%3D0+,+for+y(0)%3D0+,y%27(0)%3D1e4%5D
(ricavando di seguito via integrazione l'energia su R)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1e3+%5B+(e%5E(-20000+(25+%2B+3+sqrt(65))+x)+(-1+%2B+e%5E(120000+sqrt(65)+x)))%2F(12+sqrt(65))%5D%5E2+from+x%3D0+to+x%3D0.001
e soluzione "idraulica", risolta dal sottoscritto, visto che si tratta di un banale calcolo,
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
almeno fino alla quarta cifra significativa, non si vedono differenze.
PS ... e con qualche cifra significativa in più,
https://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5B+integrate++1e3+*%5B+(e%5E(-20000+(25+%2B+3+sqrt(65))+x)+(-1+%2B+e%5E(120000+sqrt(65)+x)))%2F(12+sqrt(65))%5D%5E2+from+x%3D0+to+x%3D0.001%5D
ci rendiamo conto che la differenza è "quasi" trascurabile.
[quote="Exodus"]... Non è da buttare, anzi mi sembra una ottima scorciatoia.
Da un punto di vista ingegneristico può andare più che bene, ma da un punto di vista analitico no, non penso che verrebbe accettata in una prova H-demica.
Grazie per le delucidazioni. 
[quote="RenzoDF"]Per quanto riguarda la scorciatoia risolutiva che ti suggerivo, errore mio, non avevo visto che la richiesta si riferiva ad un intervallo temporale limitato.
Non è da buttare, anzi mi sembra una ottima scorciatoia.
Trascurando l'effetto debole dell'induttore, e considerando la costante di tempo
dell'ordine di 
, al tempo di 
si può considerare il circuito a regime,con un errore bassisimo, quindi la prendo come una ottima soluzione
No, visto che hai usato le normali equazioni costitutive per il bipolo induttore e condensatore, devi usare la convenzione degli utilizzatori per entrambi.
Per quanto riguarda la scorciatoia risolutiva che ti suggerivo, errore mio, non avevo visto che la richiesta si riferiva ad un intervallo temporale limitato.
Per quanto riguarda la scorciatoia risolutiva che ti suggerivo, errore mio, non avevo visto che la richiesta si riferiva ad un intervallo temporale limitato.
Al posto del PSE potevo anche fare una lkt alla maglia e veniva più rapidamente.
Perché vi è un errore di segno?
Se faccio la LKT all'unica maglia stabilito il verso di percorrenza della maglia orario, stabilita la convenzione del generatore sui diversi generatori presenti , viene che:
e(0+)+vL(0+)-vC(0-)=0 quindi: vL(0+)=-e(0+)=-10 V
Sostituendo l'induttore con un GIC e il condensatore con un GIT, non dovrei rispettare la convenzione del generatore per entrambi?
Perché vi è un errore di segno?
Se faccio la LKT all'unica maglia stabilito il verso di percorrenza della maglia orario, stabilita la convenzione del generatore sui diversi generatori presenti , viene che:
e(0+)+vL(0+)-vC(0-)=0 quindi: vL(0+)=-e(0+)=-10 V
Sostituendo l'induttore con un GIC e il condensatore con un GIT, non dovrei rispettare la convenzione del generatore per entrambi?
[quote="Exodus"]... con 3 semplici passaggi arrivavi alla stessa conclusione.
Ci sarebbe arrivato ancora prima ricordando che tutta la carica finale del condensatore è stata fornita dal GIT e quindi, per quella dissipata su R, basta una semplice differenza, o meglio ancora (risparmiandosi pure quella), ricordare che l'energia fornita dal GIT è il doppio di quella finale accumulata da C.
BTW Per quanto riguarda i calcoli mi sembra ci sia un errore di segno nella [unparseable or potentially dangerous latex formula], e trovo del tutto inutile la sovrapposizione degli effetti per una maglia forzata da un GIC.
Mannaggia forse è vero.
Si ho studiato Laplace ma , il problema mi chiedeva di risolvere nel dominio del tempo e non nel dominio di Laplace.
Grazie mille per la risposta!
Si ho studiato Laplace ma , il problema mi chiedeva di risolvere nel dominio del tempo e non nel dominio di Laplace.
Grazie mille per la risposta!
Hai riportato il condensatore dal secondario al primario, ma poi hai portato avanti i calcoli con il valore di 
.
Comunque i calcoli sono giusti, direi un pò troppo macchinoso il tutto.
Immagino che ancora non hai studiato le trasformate di Laplace,
altrimenti con 3 semplici passaggi arrivavi alla stessa conclusione.
.Comunque i calcoli sono giusti, direi un pò troppo macchinoso il tutto.
Immagino che ancora non hai studiato le trasformate di Laplace,
altrimenti con 3 semplici passaggi arrivavi alla stessa conclusione.
Buon pomeriggio a tutti, volevo postare l'esecuzione di questo esercizio e volevo vedere se vi trovate con la sequenza di passaggi e nella parte finale .
Questo esercizio mi chiede di determinare l'energia dissipata dalla resistenza nel periodo 0<t<1ms per la rete,inizialmente scarica.
Circuito:
PASSO 1:Determino le condizioni iniziali
Fissato t=0 l'istante iniziale, le condizioni iniziali le ricavo per t<0 ma visto e considerato che la rete è inizialmente scarica, è possibile scrivere:
[unparseable or potentially dangerous latex formula] e [unparseable or potentially dangerous latex formula]
PASSO 2: Determinare l'equazione differenziale omogenea lineare in evoluzione libera
Utilizzo formula del trasporto d'impedenza per trasportare il condensatore C dal secondario al primario, ottenendo :
Il circuito, una volta spente le cause forzanti, è:
Il circuito d'interesse è un RLC serie e l'equazione sarà:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il corrispondente polinomio caratteristico è:
Le soluzioni sono:
La soluzione dell'equazione omogenea sarà: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
PASS0 3: Ricavare la soluzione particolare in evoluzione forzata
Il circuito in evoluzione forzata sarà:
Non circolerà nessuna corrente quindi
La soluzione dell'equazione completa sarà: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
PASSO 4: Determinare le costanti A1 , A2
Bisogna risolvere il seguente problema di cauchy :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Ricaviamo la prima equazione imponendo la proprietà di continuità a t=0 come indicato nel problema di cauchy:
-Prendo la soluzione dell'equazione completa, pongo in t il valore 0+
- [unparseable or potentially dangerous latex formula]
-Pongo il tutto pari a zero, come indicato dalle condizioni iniziali, ovvero: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
-La prima equazione del sistema , è:
Ricaviamo la seconda equazione:
-Effettuiamo la derivata rispetto al tempo della soluzione dell'equazione completa, ottenendo :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
-Per t=0+, otteniamo: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Bisogna ricavare il fattore: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Visto che [unparseable or potentially dangerous latex formula] non è una variabile di stato, per poterla ricavare utilizziamo il metodo della fotografia resistiva che mi permette di ottenere un circuito adinamico a t=0+, ovvero:
- Sostituisco l'induttore con un generatore di corrente di valore [unparseable or potentially dangerous latex formula]
- Sostituisco il condensatore con un generatore di tensione di valore [unparseable or potentially dangerous latex formula]
- e(t)=10*u(t)=10*u(0)=10 V
- Il circuito sarà:
Risolvendo con il principio di sovrapposizione degli effetti, otteniamo 3 circuito elementari:
Dal primo circuito elementare otteniamo: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dal secondo circuito elementare otteniamo: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dal terzo circuito elementare otteniamo:[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Sommando il tutto: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Adesso possiamo scrivere che: [unparseable or potentially dangerous latex formula] ovvero:
Il sistema di equazioni da risolvere per ricavare A1 e A2 , sarà:
Risolvendo, otteniamo che:
Quindi avremo: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
PASSO FINALE:
La corrente dell'induttore è la stessa corrente che passa per il resistore:[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Calcolo potenza assorbita da R come:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Calcolo energia dissipata da R nel periodo 0<t<1ms come:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Questo esercizio mi chiede di determinare l'energia dissipata dalla resistenza nel periodo 0<t<1ms per la rete,inizialmente scarica.
Circuito:
PASSO 1:Determino le condizioni iniziali
Fissato t=0 l'istante iniziale, le condizioni iniziali le ricavo per t<0 ma visto e considerato che la rete è inizialmente scarica, è possibile scrivere:
[unparseable or potentially dangerous latex formula] e [unparseable or potentially dangerous latex formula]
PASSO 2: Determinare l'equazione differenziale omogenea lineare in evoluzione libera
Utilizzo formula del trasporto d'impedenza per trasportare il condensatore C dal secondario al primario, ottenendo :
Il circuito, una volta spente le cause forzanti, è:
Il circuito d'interesse è un RLC serie e l'equazione sarà:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il corrispondente polinomio caratteristico è:
Le soluzioni sono:
La soluzione dell'equazione omogenea sarà: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
PASS0 3: Ricavare la soluzione particolare in evoluzione forzata
Il circuito in evoluzione forzata sarà:
Non circolerà nessuna corrente quindi
La soluzione dell'equazione completa sarà: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
PASSO 4: Determinare le costanti A1 , A2
Bisogna risolvere il seguente problema di cauchy :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Ricaviamo la prima equazione imponendo la proprietà di continuità a t=0 come indicato nel problema di cauchy:
-Prendo la soluzione dell'equazione completa, pongo in t il valore 0+
- [unparseable or potentially dangerous latex formula]
-Pongo il tutto pari a zero, come indicato dalle condizioni iniziali, ovvero: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
-La prima equazione del sistema , è:
Ricaviamo la seconda equazione:
-Effettuiamo la derivata rispetto al tempo della soluzione dell'equazione completa, ottenendo :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
-Per t=0+, otteniamo: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Bisogna ricavare il fattore: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Visto che [unparseable or potentially dangerous latex formula] non è una variabile di stato, per poterla ricavare utilizziamo il metodo della fotografia resistiva che mi permette di ottenere un circuito adinamico a t=0+, ovvero:
- Sostituisco l'induttore con un generatore di corrente di valore [unparseable or potentially dangerous latex formula]
- Sostituisco il condensatore con un generatore di tensione di valore [unparseable or potentially dangerous latex formula]
- e(t)=10*u(t)=10*u(0)=10 V
- Il circuito sarà:
Risolvendo con il principio di sovrapposizione degli effetti, otteniamo 3 circuito elementari:
Dal primo circuito elementare otteniamo: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dal secondo circuito elementare otteniamo: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dal terzo circuito elementare otteniamo:[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Sommando il tutto: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Adesso possiamo scrivere che: [unparseable or potentially dangerous latex formula] ovvero:
Il sistema di equazioni da risolvere per ricavare A1 e A2 , sarà:
Risolvendo, otteniamo che:
Quindi avremo: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
PASSO FINALE:
La corrente dell'induttore è la stessa corrente che passa per il resistore:[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Calcolo potenza assorbita da R come:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Calcolo energia dissipata da R nel periodo 0<t<1ms come:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]