Scherzi a parte, per essere sicuro ho consultato vari testi, e tutti loro danno come definizione quella che ho scritto
Sono la stessa definizione, lascio quindi a te dimostrare perché.
l'uguaglianza non è implicita per la proprietà invariantiva dei rapporti tra numeri interi?
No, non puoi semplificare l'esponente, devi usare la definizione, che è l'unica cosa che hai finché non dimostri altre proprietà.
[quote="Ianero"]
E perché non [unparseable or potentially dangerous latex formula]?
E perché non [unparseable or potentially dangerous latex formula]?
Perché i miei libri di matematica la definiscono in quell'altro modo e io mi fido
Scherzi a parte, per essere sicuro ho consultato vari testi, e tutti loro danno come definizione quella che ho scritto
[quote="Ianero"]
Il fatto che [unparseable or potentially dangerous latex formula] sia uguale a
va dimostrato, tenendo presente solo la definizione non è ovvio.Avendo posto
e 
, l'uguaglianza non è implicita per la proprietà invariantiva dei rapporti tra numeri interi? 
Menomale che rispondi almeno fai sembrare che ciò che scrivo interessi a qualcuno
Per i casi
e 
, ok.
E perché non [unparseable or potentially dangerous latex formula]?
Il fatto che [unparseable or potentially dangerous latex formula] sia uguale a va dimostrato, tenendo presente solo la definizione non è ovvio.
Dopo l'esame allora sarà pura battaglia qui
In bocca al lupo.
Per i casi
e , ok.Una potenza a esponente razionale è definita come![a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x}](/forum/latexrender/pictures/a64dcb59dbd5cdaba9609cca5dea4693.png "a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x}")
E perché non [unparseable or potentially dangerous latex formula]?
Riscrivendo i termini come
Il fatto che [unparseable or potentially dangerous latex formula] sia uguale a
va dimostrato, tenendo presente solo la definizione non è ovvio.vorrei far di più, ma devo preparare un esame e il tempo stringe
Dopo l'esame allora sarà pura battaglia qui
In bocca al lupo.
Rieccomi Procedo con il primo caso del tuo nuovo quesito (vorrei far di più, ma devo preparare un esame e il tempo stringe), ribadendo anzitutto per amor di leggibilità le regole acclarate da cui partiamo:
Prima di iniziare con le dimostrazioni, integriamo il set di assunzioni e definizioni di cui sopra due definizioni necessarie per dare un senso a ciò che trattiamo:
- Una potenza a esponente intero è definita per induzione con la prime tre regole del nostro set iniziale.
- Una potenza a esponente razionale è definita come purché 
.
Andiamo:
La relazione
è banalmente ottenuta per 
applicando iterativamente la prima regola:
L'estensione al caso
è banale: se gli esponenti sono positivi allora essi sono elementi di , quindi vale quanto sopra, altrimenti basta applicare la terza regola per ricondursi a un rapporto di potenze con esponente in , per le quali possiamo dimostrare in modo banale la proprietà 
.
Per quanto riguarda il caso
, riscriviamo la potenza come 
e, ponendo per ovvi motivi, analizziamo i vari casi :
- Se
, ricadiamo nel caso , che abbiamo già trattato.
- In tutti gli altri casi, dobbiamo dimostrare che
. Riscrivendo i termini come ![a^{\frac{x_1y_2}{y_1y_2}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_1y_2}}](/forum/latexrender/pictures/c76580572bca91b99cad6e26469aeafc.png "a^{\frac{x_1y_2}{y_1y_2}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_1y_2}}")
e ![a^{\frac{x_2y_1}{y_2y_1}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_2y_1}}](/forum/latexrender/pictures/775cfc241b470d360a96a0ee25ac8f87.png "a^{\frac{x_2y_1}{y_2y_1}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_2y_1}}")
, possiamo sfruttare la regola del prodotto tra radicali con la stessa base (che si può dimostrare senza far ricorso alle formule che vogliamo discutere, per cui non c'è circolarità) per ottenere ![a^{\frac{x_1y_2}{y_1y_2}}a^{\frac{x_2y_1}{y_2y_1}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_2y_1 + x_1y_2}} = a^{\frac{x_1y_2+x_2y_1}{y_1y_2}}](/forum/latexrender/pictures/4306b0b962c1ce05c293dd045da13c9e.png "a^{\frac{x_1y_2}{y_1y_2}}a^{\frac{x_2y_1}{y_2y_1}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_2y_1 + x_1y_2}} = a^{\frac{x_1y_2+x_2y_1}{y_1y_2}}")
.
Procedo con il primo caso del tuo nuovo quesito (vorrei far di più, ma devo preparare un esame e il tempo stringe), ribadendo anzitutto per amor di leggibilità le regole acclarate da cui partiamo:[unparseable or potentially dangerous latex formula]
![a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}](/forum/latexrender/pictures/3294ebd8fb717c7b425f08f5e57c97bd.png "a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}")
Prima di iniziare con le dimostrazioni, integriamo il set di assunzioni e definizioni di cui sopra due definizioni necessarie per dare un senso a ciò che trattiamo:
- Una potenza a esponente intero è definita per induzione con la prime tre regole del nostro set iniziale.
- Una potenza a esponente razionale è definita come
purché .Andiamo:
La relazione
è banalmente ottenuta per applicando iterativamente la prima regola:L'estensione al caso
è banale: se gli esponenti sono positivi allora essi sono elementi di , quindi vale quanto sopra, altrimenti basta applicare la terza regola per ricondursi a un rapporto di potenze con esponente in , per le quali possiamo dimostrare in modo banale la proprietà .Per quanto riguarda il caso
, riscriviamo la potenza come e, ponendo per ovvi motivi, analizziamo i vari casi :- Se
, ricadiamo nel caso , che abbiamo già trattato.- In tutti gli altri casi, dobbiamo dimostrare che
. Riscrivendo i termini come e , possiamo sfruttare la regola del prodotto tra radicali con la stessa base (che si può dimostrare senza far ricorso alle formule che vogliamo discutere, per cui non c'è circolarità) per ottenere .Acc..birbante, ne hai approfittato perché ho lo screenshot corto..
Quella che viene dopo
Ma si può sapere quale cifra vi serve?
Aggiungo qualche considerazione in più.
Il problema è stato ben trattato, ma se si volesse trascriverlo in maniera formale non sarebbe corretto riportare ad esempio questo:
ed utilizzare questa espressione nei vari passaggi, c'è un limite intrinseco non esplicitato lì dentro.
Quello che si dovrebbe fare formalmente sarebbe ragionare come è stato appena fatto ma sostituendo ovunque l'espressione di sopra con questa:
con
sufficientemente grande, fare tutti i ragionamenti e i calcoli, ottenere le disuguaglianze cercate ed infine 
.
Seconda considerazione: [unparseable or potentially dangerous latex formula] è una cosa vera, ma molto meno forte di [unparseable or potentially dangerous latex formula], perché nell'ultimo caso hai ottenuto che una stima d'errore domina sull'altra e non semplicemente una minorazione.
Per chiunque voglia divertirsi ancora, rilancio...
Dimostrare che, fissato
, la funzione ![a^{[]}: \mathbb{Q}\to \mathbb{R}](/forum/latexrender/pictures/0f897ee79d4d0b0bcd055276a1dfd887.png "a^{[]}: \mathbb{Q}\to \mathbb{R}")
che opera mappando 
verifica queste proprietà:
1.
;
2. [unparseable or potentially dangerous latex formula];
3. [unparseable or potentially dangerous latex formula];
4.
, con 
.
.
Procedere per gradi tenendo in conto le seguenti definizioni:
![a^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{a}](/forum/latexrender/pictures/837698bec187e68e92d2d0a1c56af224.png "a^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{a}")
dove
ed estenderle opportunamente mentre si procede nella dimostrazione passando da , a e poi a 
.
Il problema è stato ben trattato, ma se si volesse trascriverlo in maniera formale non sarebbe corretto riportare ad esempio questo:
ed utilizzare questa espressione nei vari passaggi, c'è un limite intrinseco non esplicitato lì dentro.
Quello che si dovrebbe fare formalmente sarebbe ragionare come è stato appena fatto ma sostituendo ovunque l'espressione di sopra con questa:
con
sufficientemente grande, fare tutti i ragionamenti e i calcoli, ottenere le disuguaglianze cercate ed infine .Seconda considerazione: [unparseable or potentially dangerous latex formula] è una cosa vera, ma molto meno forte di [unparseable or potentially dangerous latex formula], perché nell'ultimo caso hai ottenuto che una stima d'errore domina sull'altra e non semplicemente una minorazione.
Per chiunque voglia divertirsi ancora, rilancio...
Dimostrare che, fissato
, la funzione che opera mappando verifica queste proprietà:1.
;2. [unparseable or potentially dangerous latex formula];
3. [unparseable or potentially dangerous latex formula];
4.
, con ..Procedere per gradi tenendo in conto le seguenti definizioni:
dove
ed estenderle opportunamente mentre si procede nella dimostrazione passando da , a e poi a .Perfetto, ho capito 
Mi è piaciuto molto il tuo quesito
Mi è piaciuto molto il tuo quesito
I risultati sono nella direzione giusta, bravo. Riassumo solo quelli che interessano, utilizzando la tua notazione:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
ma si può fare di meglio, poiché [unparseable or potentially dangerous latex formula] funziona ancora meglio di così.
Infatti, se la scrivi così:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
In particolare [unparseable or potentially dangerous latex formula] per ogni.
Per quanto riguarda il limite, puoi confrontare le varie approssimazioni trovate così:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
o se vuoi con quella che ti ho fatto vedere adesso:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
o tra le nostre due:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
ma si può fare di meglio, poiché [unparseable or potentially dangerous latex formula] funziona ancora meglio di così.
Infatti, se la scrivi così:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
In particolare [unparseable or potentially dangerous latex formula] per ogni
.Per quanto riguarda il limite, puoi confrontare le varie approssimazioni trovate così:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
o se vuoi con quella che ti ho fatto vedere adesso:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
o tra le nostre due:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]