Correggo un segno algebrico:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Scusate.

Allora, dopo aver riflettuto molto sulla questione, penso di averla risolta in questo modo. La riepilogo prima per chiarire meglio.
Dunque, l'ipotesi che mi accingo a verificare è questa:
con Vk costante, l'onda triangolare che osserviamo all'uscita dell'integratore rimane costante nei suoi parametri di tempo ed ampiezza.
Quest'onda triangolare, naturalmente, non è "regolare". Ovvero, non lo è necessariamente. In sostanza si tratta di un'onda che alterna segmenti con pendenze generalmente diverse (in modulo).
Ognuna di queste pendenze è caratterizzata da una durata, nel tempo, e da un dislivello, in ampiezza.
Riferendomi sempre all'ultima figura, ad esempio, la scarica che avviene tra t1 e t2, ha le medesime dinamiche di quella che osserviamo tra t3 e t4. E la carica che avviene tra t2 e t3, ha le medesime dinamiche di quella che osserviamo tra t4 e t5. Tutto ciò, ripeto, per Vk costante. Quando Vk varia, allora si modificano anche i parametri dinamici di quest'onda.
Come intendo far vedere, successivamente, la frequenza di oscillazione di quest'onda triangolare dipende è unicamente dipendente dal valore di Vk (e da una costante di proporzionalità).

Diciamo subito che sussiste sempre l'uguaglianza tra gli intervalli di tempo:



Così come, anche il livello di tensione che definisce il valore finale del transitorio di carica è - potremmo dire - un invariante. Esso è sempre uguale a Vr (nel nostro caso -10 V).

Con queste due informazioni mi accingo a calcolare:

a. il livello di tensione che definisce il valore finale del transitorio di scarica; che per Vk=5 V corrisponde a:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

b. l'intervallo di tempo che definisce la durata del transitorio di carica; che, sempre per Vk=5 V corrisponde a (vedi figura):



Indico con t(max) l'istante corrispondente alla cuspide superiore dell'onda triangolare, ovvero l'istante in cui Vint è massima (esempi di t(max), in figura, sono: t2, t4, t6,...).

Ed indico con t(min) l'istante corrispondente alla cuspide inferiore dell'onda triangolare, ovvero l'istante in cui Vint è minima (esempi di t(min), in figura, sono: t1, t3, t5,...).

Considero ora la fase di scarica.

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Risolvendo l'integrale e ricordando che:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Il valore del livello di tensione che definisce la cuspide superiore dell'onda triangolare lo calcoliamo imponendo, per t, il valore t(max).

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Per Vk=5 V e con il resto dei dati dell'esercizio, si trova:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Per definire completamente ed univocamente quest'onda triangolare (sempre per Vk=costante=5V) ho la necessità di calcolare t(min). Per far ciò, considero la fase di carica.

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Ora, per t=t(min), il valore della tensione d'uscita dell'integratore deve eguagliare Vr. In simboli:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Risolvendo l'integrale ed imponendo questa eguaglianza:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

da cui:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Risolvo rispetto a Tsta:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

che con i dati dell'esercizio diviene:



Ora, il fatto che la durata del transitorio di carica eguagli quella del transitorio di scarica è un caso. In generale non è così. Lo è, in questo caso, perchè la carica avviene con una corrente costante di 1 mA. E la scarica con una corrente, altrettanto costante e del medesimo valore (ma di segno opposto).

Proviamo a rifare i calcoli per Vk=7 V.

[unparseable or potentially dangerous latex formula]



Che qualitativamente è quello che mi aspettavo. Infatti la scarica avviene con una corrente di 0.6 mA e quindi, avvenendo a corrente costante, in 100 sottrae alle armature del condensatore una carica inferiore rispetto al caso precedente.
Ed anche la durata dello stato stabile deve avvenire in un tempo inferiore: infatti ora, con Vk=7 V, la pendenza del transitorio di carica è più veloce (7 volt ogni 80 us) ed inoltre deve coprire un dislivello inferiore rispetto al caso precedente (da -6.25 V a - 10 V).

Nell'attesa di una conferma rispetto a quanto scritto (sperando di non aver commesso troppi errori), rifletto su come esprimere il legame generale della frequenza di oscillazione dell'integratore (che poi coincide con quella del segnale all'uscita del comparatore) con la tensione Vk.

Grazie Marco, questa tua sola parola è fonte di grande gioia per me (e le mie fatiche).

Ora, prima di provare a generalizzare esprimendo un legame tra la tensione Vk e la frequenza di oscillazione del segnale di uscita, provando, così, che questo circuito equivale ad un convertitore V-f, vorrei fare un altro ragionamento che mi preme in modo particolare.

Oramai, dopo aver sviscerato abbastanza questo schema, sembra evidente che vi sia un legame, come scrivevo prima, tra la tensione Vk e la frequenza di oscillazione del segnale di uscita.

L'inverso di questa frequenza è la somma di due tempi. Quei due tempi che in figura ho indicato con Tinst e Tsta. Il primo di questi due tempi è costante e, nel caso del circuito in esame, vale 100 us ed è legato ai valori del gruppo RC che governano la durata dello stato instabile del multivibratore monostabile.
Tsta, invece, è variabile e dipende principalmente dal valore di Vk (oltre che dal valore di R1, R2, C1 e Vr).

Ora, Tsta, equivale al tempo che in figura ho indicato di carica (carica e scarica sono poi termini relativi ma, in questo momento, non voglio dilungarmi su questo). Il calcolo esatto di questo tempo lo si ottiene imponendo che il valore di tale rampa

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

eguagli la tensione Vr. In simboli:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

da cui:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Ora, la domanda che mi pongo (e quindi il dubbio che ho) è questa:

ma, a parte la carica iniziale in cui, per ipotesi, il condensatore è scarico, in tutti gli altri casi (di carica, intendo), la tensione ai capi del condensatore (indicata qui con [unparseable or potentially dangerous latex formula]) è sempre la stessa? Oppure vi sono effetti transitori "strani"?
In altre parole, ogni volta che il condensatore si carica, parte sempre dallo stesso valore (con Vk costante, naturalmente)?

Prima di dare una risposta a questa domanda mi fermo un momento - per prendere fiato - e poi proseguo.

corretto

Si, l'ho riletto ma non ho ben capito che cosa volevi sottolineare. Comunque, provo a ragionare più fisicamente che matematicamente. Vediamo se tutto fila.

Allora, all'istante t=0, origine dell'osservazione del fenomeno, la tensione all'uscita dell'integratore è nulla. In sostanza supponiamo che il condensatore C1 sia scarico. Corrispondentemente l'uscita del comparatore è alta.

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Indico con t1 l'istante in cui la tensione all'uscita dell'integratore diviene inferiore a Vr. Quindi per la tensione all'uscita dell'integratore è una rampa decrescente e vale:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

All'istante t1 questa tensione eguaglia la Vr e si ha una commutazione negativa. L'istante in cui ciò avviene vale:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

da cui:



Ora, supponiamo che Vk=5 volt. La costante di tempo vale:



e pertanto



Questo significa che dopo 160 us si ha una commutazione negativa ed il monostabile si porta nello stato instabile che, come sappiamo, dura 100 us. Adesso, all'uscita dell'integratore, abbiamo una rampa con pendenza positiva governata dall'equazione:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

valida per

Dopo 100 us, la durata dello stato instabile, tale tensione vale:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

A questo punto il ciclo si ripete indefinitamente fintantochè Vk rimane costante.

Supponiamo che all'istante t5 Vk si porti a 7 volt. L'equazione della rampa crescente è ora:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

che dopo 100 us diviene:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Il grafico sintetizza meglio quanto appena scritto. Manca quello relativo alla tensione d'uscita che mi riprometto di aggiungere.



Spero sia corretto.

Può darsi, rileggi il post 34.

Per quanto riguarda Vk non mi sembra ci siano problemi in merito al suo campo di variabilità: deve essere positivo ed inferiore a 10 volt. Perchè?
Perchè se fosse negativo si avrebbe una rampa crescente durante lo stato stabile del monostabile (che ha uscita nulla) e fin qui nessun problema. Il problema nasce quando il monostabile va nello stato instabile, la sua uscita si porta a -10 volt e la rampa, all'uscita dell'integratore, non inverte la sua pendenza e porta l'integratore in saturazione.
Se invece fosse maggiore di 10 volt allora si avrebbe una rampa crescente durante lo stato stabile del monostabile. Quando il monostabile va nello stato instabile, la sua uscita si porta a -10 volt e la rampa, all'uscita dell'integratore, non inverte la sua pendenza ma la modifica solo di valore e, ancora una volta, l'integratore si dirige verso la saturazione (più lentamente). Quindi:



Per quel che riguarda Vr non mi pongo il problema (almeno per il momento), dal momento che è un dato fornito dalla traccia.

Se sei d'accordo procedo da qui.

Si, hai ragione. Anch'io penso ci sia qualcosa che non va (stanotte non ci ho dormito, avevo gli incubi!).
Comunque, ci rifletto e in giornata, se riesco, posto qualcosa.

Grazie Marco.

Ammiro l'aspetto formale delle tue formule. Dipende dalla impostazione analitica dei tuoi corsi di analisi matematica.
Faccio fatica a seguirti.


Sostitusci la notazione Vint(0,4x10-3) con Vint min i Vint max, ecc.
Qualcosa non mi torna:
Il tempo TL dovrebbe essere la durata dell'impulso del monostabile che dipende anche dalla capacità del monostabile.

Per la mia ( e forse anche tua) comprensione definisci il campo dei valori o i valori estremi
assunti dalle varie tensioni:
Vk fra 0 e .. è positivo o negativo?
Vr 10 V positivo o nrgativo
Vint
V0
V2

Poi disegna qualitativamente l'andamento di tutte le tensioni , poi alla fine fai i calcoli.

Ok, vado avanti.

Quando il tempo risponde alla relazione:



L'uscita del monostabile assume il valore costante pari a -10 V. L'uscita dell'integratore, in questo intervallo temporale, vale:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

(non sono sicuro che la relazione appena scritta sia giusta).

Qui occorre osservare che se si richiede che la rampa inverta la sua pendenza è necessario che avvenga:



Comunque, a prescindere dal segno algebrico di questa differenza, essendo la stessa costante nel tempo, scrivo:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Ora, nell'ipotesi che la rampa sia crescente, ci sarà un altro istante t in cui Vint diviene superiore a Vr. A partire da tale istante si assiste ad una commutazione positiva con l'uscita, Vo, che si porta a:



Indicando tale istante con TL, durata del livello basso, scrivo:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Se risolvo rispetto a TL ottengo:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Mentre la durata del livello alto, calcolata nel post precedente, vale:



Sommando entrambi i tempi si ottiene:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Mi fermo qui, per il momento.