Sei stato gentilissimo, grazie.
[quote="Dearis"]
1. Se ho un equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, del tipo:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
La sua soluzione è data da:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dove il primo termine è la soluzione dell'omogenea associata, mentre il secondo è l'integrale particolare.
Ricordate da quale teorema esce fuori? E in maniera specifica come si ricavano entrambi?
1. Se ho un equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, del tipo:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
La sua soluzione è data da:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dove il primo termine è la soluzione dell'omogenea associata, mentre il secondo è l'integrale particolare.
Ricordate da quale teorema esce fuori? E in maniera specifica come si ricavano entrambi?
Non è un teorema, è uno sporco trucco da matematici.
Personalizzo lo sporco trucco alla tua equazione, ma confido che non ci impiegherai molto a dargli valenza generale.
Se ipotizzo che la soluzione sia del tipo che hai presupposto tu:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
con [unparseable or potentially dangerous latex formula] e [unparseable or potentially dangerous latex formula] QUALUNQUE (in pratica sto pensando che la soluzione possa essere la somma di due funzioni e questo è sempre vero, potendo scegliere le mie funzioni come mi pare) allora l'equazione diventa da:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
a
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
che equivale al sistema: (poichè è lineare)
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Questo significa che la prima funzione che ho scelto è l'integrale della omogenea associata, per cui la soluzione della equazione differenziale completa sarà la soluzione della omogenea associata più un'altra funzione, che chiamiamo particolare perché specifica per quella equazione differenziale.
Per ricavare entrambi devi studiarti le tecniche di soluzione delle equazioni differenziali di questo tipo, è un argomento molto vasto che non posso spiegarti qui. Se vuoi ti consiglio qualche libro, per esempio prova a guardare qui.
[quote="Dearis"]2. Se prendo in considerazione l'equazione di d'Alambert per un'onda di tensione:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il suo integrale generale si può scrivere nella forma:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Perché?
Grazie
E' una ipotesi che D'Alambert aveva fatto per le onde osservando le onde sulle corde: se sgrullo una corda legata all'altro capo ad un piolo, osservo un'onda che viaggia verso il piolo, poi nasce un'onda riflessa dal piolo che torna verso di me. La soluzione generale deve essere la presenza di due onde: una generata da me e una riflessa dal piolo.
Ipotizzò quindi una soluzione di quel tipo e la sostituì nella equazione risolvendola. Se vuoi provarci anche tu fai attenzione ad utilizzare correttamente la regola della catena di derivate parziali.
Ciao
Pietro
Buongiorno a tutti,
avrei due domande da farvi relative ad alcune cose di Analisi che purtroppo non ricordo più tanto bene.
Allora:
1. Se ho un equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, del tipo:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
La sua soluzione è data da:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dove il primo termine è la soluzione dell'omogenea associata, mentre il secondo è l'integrale particolare.
Ricordate da quale teorema esce fuori? E in maniera specifica come si ricavano entrambi?
2. Se prendo in considerazione l'equazione di d'Alambert per un'onda di tensione:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il suo integrale generale si può scrivere nella forma:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Perché?
Grazie
avrei due domande da farvi relative ad alcune cose di Analisi che purtroppo non ricordo più tanto bene.
Allora:
1. Se ho un equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, del tipo:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
La sua soluzione è data da:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dove il primo termine è la soluzione dell'omogenea associata, mentre il secondo è l'integrale particolare.
Ricordate da quale teorema esce fuori? E in maniera specifica come si ricavano entrambi?
2. Se prendo in considerazione l'equazione di d'Alambert per un'onda di tensione:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il suo integrale generale si può scrivere nella forma:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Perché?
Grazie