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Abbiamo visto che per qualsiasi numero reale

e qualsiasi base scelta $\mathbb{R}\ni q>1$ si può costruire una successione x_n

, convergente a

tale che:

$x_n:=\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+...+\alpha_{p-n}q^{p-n}$

$x_n\leq x < x_n+q^{p-n},\quad\forall n\in\mathbb{N}$
[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Chiamiamo questo particolare tipo di successioni (che hanno cioè queste proprietà scritte sopra) espansioni q-esimali.

In altre parole, abbiamo definito una funzione $f:\mathbb{R}^+\to X$ tra l'insieme $\mathbb{R}^+$ e l'insieme

di tutte le possibili successioni (che non sono per forza delle espansioni) $x_n=\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+...+\alpha_{p-n}q^{p-n}$ con cifre [unparseable or potentially dangerous latex formula].
Da notare che

soddisfa la definizione di funzione in quanto, ad ogni passo della costruzione, l'applicazione del principio di Archimede fornisce una cifra intera che è unica.

Cominciamo col verificare una peculiarità delle espansioni.

Non esiste nessuna espansione che può avere sempre cifra massima [unparseable or potentially dangerous latex formula] da un certo indice in poi.

Se per assurdo così fosse, si avrebbe che $\forall n>k$ :

[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Unendo questo risultato con la già vista proprietà $x_n\leq x < x_n+q^{p-n},\quad\forall n\in\mathbb{N}$ si ottiene:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

che deve valere $\forall n>k$ , il che è assurdo poiché il termine centrale non dipende da

.
$\blacksquare$

Quanto appena dimostrato ci dice equivalentemente che la funzione

non è suriettiva, poiché in

ci sono anche successioni che hanno da un certo indice poi cifra massima. L'insieme delle espansioni è allora un sottoinsieme proprio di

.

A differenti [unparseable or potentially dangerous latex formula] corrispondono differenti espansioni [unparseable or potentially dangerous latex formula].

Dire che [unparseable or potentially dangerous latex formula], è la stessa cosa che [unparseable or potentially dangerous latex formula], per cui le due successioni non possono essere uguali, perché se lo fossero avrebbero stesso limite.
$\blacksquare$

Questo risultato ci dice che

è iniettiva.
In definitiva [unparseable or potentially dangerous latex formula] è biunivoca. Associando ai reali negativi le stesse espansioni dei reali positivi, ma con un segno '-' davanti, e associando a x=0

l'espansione x_n=0

, abbiamo costruito un nuovo modello di $\mathbb{R}$ .

Fatto questo ci chiediamo: perché utilizzare una

piuttosto che un'altra? Ci farebbe comodo avere una base che sia un buon compromesso tra:

1. quanti simboli usare per distinguere tutte le cifre possibili ( $\lceil q \rceil$ );
2. l’ordine [unparseable or potentially dangerous latex formula] di un dato numero $x\in\mathbb{R}^+$ , espresso in base

, ovvero, nel caso di base naturale e di numero intero, quanti numeri sono necessari per scrivere la sua espansione; più in generale rappresenta la quantità di numeri necessaria per rappresentare l'espansione di

in base

, fino alla cifra $\alpha_0$ .

Ad esempio, la base q=2

è ottima per il punto 1, ma pessima per il punto 2. Al contrario la base decimale migliora molto il punto 2, ma peggiora il punto 1.
Quello che una buona base deve fare è allora rendere piccolo il prodotto delle quantità di cui al punto 1 e 2, cioè deve minimizzare:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Ciò che però da un pò fastidio è che questa grandezza dipende anche dal particolare

preso in considerazione.
Per rimuovere tale dipendenza, si osserva quanto segue. Dall’espressione di x_n

e dalla proprietà $x_n\leq x < x_n+q^{p-n},\quad\forall n\in\mathbb{N}$ , si ricava che:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

che per n=p

(vedi punto 2) assume la forma:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

da cui:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

ovvero:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

che diventa pertanto la grandezza candidata alla minimizzazione, In quanto non dipende più da

e descrive il compromesso tra i punti 1 e 2 in termini asintotici, per numeri reali grandi.

Ecco il grafico di $\frac{\lceil q \rceil}{\log q}$ :

Schermata 2020-04-09 alle 17.51.22.png

che, come si vede chiaramente, ha il suo minimo in q=3

.

Basta cercare ovunque su internet per leggere che in realtà la migliore base reale è q=e

(non

) che si otterrebbe se si tentasse di minimizzare $\frac{q }{\log q}$ anziché $\frac{\lceil q \rceil}{\log q}$ , cosa che però a me sembra un pò campata in aria, per tutto quanto dimostrato fin qui.