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Latest posts from topic “Orientabilità di superfici” Latest posts from topic “Orientabilità di superfici” on “ElectroYou”. 2020-11-08T10:32:29Z https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=7&t=82448 Re: Orientabilità di superfici https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=7&t=82448#p867825 Ianero 2020-11-14T13:15:20Z 2020-11-14T13:15:20Z

Ho capito, lo scrivo qui sotto invece di cancellare tutto il thread, ormai c'è scritta tanta roba e magari potrebbe essere utile a qualcuno che passerà di qui in futuro.

In breve, la normale come l'avevo definita io andava bene, ma se i due frame dati da due carte diverse erano orientati diversamente, affinché [unparseable or potentially dangerous latex formula] fosse sempre orientato come la base canonica di $\mathbb{R}^n$ , accadeva che la normale 'si girava' per garantire questa cosa. Inserendo l'ipotesi di consistenza delle carte questo caso non può capitare più.

Perdonate la discussione unipersonale O_/

Re: Orientabilità di superfici https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=7&t=82448#p867816 Ianero 2020-11-14T11:15:23Z 2020-11-14T11:15:23Z

Ho tentato la seguente dimostrazione, ma credo ci sia ancora qualcosa che non va perché si può applicare passo dopo passo, mi sembra, anche al nastro di Mobius. Se a qualcuno va di leggerla lo ringrazio.

è una superficie C^1

, per cui per ogni suo punto $x\in S$ esiste lo spazio tangente, TS_x

, di dimensione n-1

. Poiché il complemento ortogonale di TS_x

in $\mathbb{R}^n$ ha dimensione 1, possiamo trovare le due normali a TS_x

, cioè gli unici due vettori a norma unitaria che sono ortogonali a tutti i vettori della base di TS_x

. Tra queste due, se ne può selezionare una con il seguente criterio: la base di $\mathbb{R}^ n$ formata dagli n-1 vettori della base di TS_x

prima trovata e dalla normale, deve essere orientata come la base canonica di $\mathbb{R}^ n$ . Tale normale può essere trovata operativamente come:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

dove [unparseable or potentially dangerous latex formula] sono le colonne della Jacobiana in

di una qualunque carta contenente

nel suo dominio d'azione (sono una base di TS_x

).
Occorre quindi far vedere che [unparseable or potentially dangerous latex formula] è tale che:

1. [unparseable or potentially dangerous latex formula] è orientato come [unparseable or potentially dangerous latex formula];
2. la formula sopra per [unparseable or potentially dangerous latex formula] fornisce sempre lo stesso vettore anche se si utilizza un'altra carta dell'atlante di

(che copre

), ovvero in altre parole un diverso insieme [unparseable or potentially dangerous latex formula];
3. [unparseable or potentially dangerous latex formula] è continua $\forall x\in S$ .

Il primo punto segue da:

$\det\begin{pmatrix} | & | & | & |\\ \mathbf{v}_1 & ... & \mathbf{v}_{n-1} &\mathbf{n} \\ | & | & |&| \end{pmatrix} = C_1^2+...+C_n^2>0$

dove il determinante è stato sviluppato lungo l'ultima colonna (la normale) e i vari C_i

sono i cofattori dello sviluppo di Laplace (che sono proprio le componenti stesse di $\mathbf{n}$ , per come era stata definita).
Poichè le normali possibili di TS_x

sono solo due, anche cambiando carta per definire [unparseable or potentially dangerous latex formula], dal punto 1 si otterrebbe sempre l'unica in grado di orientare [unparseable or potentially dangerous latex formula] come [unparseable or potentially dangerous latex formula], dunque anche il punto 2 è provato.
Infine, la continuità $\forall x \in S$ può essere inferita prendendo una qualunque carta che copra

(grazie al punto 2 e grazie al fatto che la continuità è una proprietà locale) e notando che le singole componenti dei vari [unparseable or potentially dangerous latex formula] sono continue, essendo la carta di classe C^1

, e che $\det$ e $|\cdot |_{\mathbb{R}^n}$ sono anch'esse funzioni continue.

Orientabilità di superfici https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=7&t=82448#p867139 Ianero 2020-11-08T10:32:29Z 2020-11-08T10:32:29Z

Vorrei riuscire a dimostrare che: se una (n-1)-superficie $S\subset\mathbb{R}^n$ di classe C^1

è orientabile $\implies S$ ha un campo continuo di vettori normali ad essa.
Di seguito faccio vedere dove sono arrivato io e dove mi fermo.

è una superficie di classe C^1

, quindi per ogni suo punto $x\in S$ esiste lo spazio ad essa tangente in tale punto, TS_x

. Una base per ognuno di questi spazi può essere trovata prendendo le colonne della Jacobiana in

di una qualunque carta che contenga

nel suo dominio d'azione. Data la base, di conseguenza, si possono trovare le due normali a

, cioè gli unici due vettori a norma unitaria che sono ortogonali a tutti i vettori della base prima trovata. Tra queste due normali se ne può scegliere una utilizzando il seguente criterio: la base di $\mathbb{R}^n$ formata dagli (n-1) vettori della base di TS_x

prima trovata e dalla normale, deve essere orientata come la base canonica di $\mathbb{R}^n$ . Resta a questo punto solo da far vedere che la normale così selezionata, punto per punto su

, varia con continuità. Devo cioè far vedere che:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Una cosa positiva è che, grazie al fatto che ci interessa il valore al limite, possiamo dimenticarci che

sia descritta da più carte e considerare una carta qualsiasi $\phi\in\mathcal{A}$ , fissata, che contenga x_0

nel suo dominio d'azione.
Sento che in qualche modo devo legare il fatto che [unparseable or potentially dangerous latex formula] e [unparseable or potentially dangerous latex formula] sono $\delta$ -vicine (in una qualsiasi norma matriciale) per poter concludere che le normali [unparseable or potentially dangerous latex formula] e [unparseable or potentially dangerous latex formula] sono $\epsilon$ -vicine, ma non riesco a formalizzare questo argomento.

Qualcuno sa aiutarmi, per favore?