Non sono un matematico e preferisco metodi terra-terra che facendo lavorare un computer al posto mio.
Per il calcolo del volume del parabòloide impilo N dischi cilindfici di spessore da z=0 a z=9 con il quadrato del raggio dipendente da z (rqp=9-z nel piano y=0).

Sommando il volume di ciascun disco ottengo quello del paraboloide e posso fare la stessa cosa perla semisfera.

Per risolvere poi il problema moltiplico per i valor dati ottenendo:

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Isidoro intanto grazie mille perchè mi hai "aperto la mente" su un modo molto più furbo di calcolarli, perchè dopo una valanga di esercizi non si pensa più troppo a cosa si ha davanti e si cerca di utilizzare gli "attrezzi comuni", quando con qualche semplice considerazione geometrica preliminare si può accorciare e semplificare notevolmente il calcolo. D'ora in avanti ci farò molta attenzione.
Oltre al paraboloide ho visto che hai integrato anche la semisfera per strati, come somma di circonferenze con raggio in funzione di z.. FANTASTICO! so che sembra assurdo ma non ci avevo mai pensato, è molto più rapido ed immediato che passare in coordinate sferiche. GRAZIE!!

Ora però mi è venuto un pallino; capito il tuo modo di integrare (ancora una volta, strepitoso, d'ora in avanti con domini scomponibili in circonferenze se possibile cercherò di fare così) in teoria per quanto complicata la mia strada dovrebbe portare allo stesso risultato; per quanto riguarda la semisfera il conto torna, per quanto riguarda il paraboloide invece no. Sto quindi sbagliando a impostare l'integrale, e ci deve essere un errore di ragionamento a questo punto. Riusciresti a dirmi dove sbaglio?
Fondamentalmente tu salti la prima parte in cui io banalmente sto calcolando le aree dei cerchi (strati) che compongono il paraboloide; io avevo ragionato così:

>> Dal passaggio in coordinate polari l'equazione del paraboloide diventa

>> Il raggio delle circonferenze risulta quindi essere (come detto da te)

>>L'integrale trasformato risulta quindi essere: [unparseable or potentially dangerous latex formula], che porta però ad un risultato differente da quello che dovrebbe essere. Cosa sto sbagliando?

Grazie per l'aiuto

Credo che questo integrale lo si possa risolvere sia per fili che per strati, quest'ultima soluzione mi pare migliore.

Il dominio e` quasi come lo hai descritto, una semisfera di sotto e un paraboloide di sopra, che si uniscono a lungo una circonferenza di raggio 3.

L'integrale viene una cosa del genere

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

L'integrale sul dominio e` semplicemente l'area del cerchio con altezza . Al posto di passare in coordinate polari, si fa molto prima a ricordara che l'area del cerchio vale

Per , parte di sotto, si ha una semisfera di equazione (hai dimenticato il quadrato del raggio nell'ultimo messaggio). Il raggio della circonferenza di coordinata z vale quindi e l'area di ogni sezione circolare vale [unparseable or potentially dangerous latex formula]

Discorso del tutto analogo per la parte di sopra: qui il paraboloide sezionato con piani orizzontali da` delle circonferenze di raggio , quindi l'area della sezione circolare vale [unparseable or potentially dangerous latex formula]

A questo punto l'integrale vale

[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula]

il cui risultato fa appunto 15.

Era un problema "difficile" perche' sotto stress dell'esame bisogna ricordarsi di usare anche altri strumenti di calcolo, come risultati noti che si conoscono in precedenza.

Si chiedo scusa: , nell'esercizio l'ho scritta giusta, la ho copiata male qui sul forum per errore

[quote="Frenzi"]<<=semisfera di raggio 3 centrata nell'origine e contenuta nel semispazio z<0 ...>> fin qui ok, nessun problema (l'eq. di questa sfera dovrebbe essere )
<<... limitata dal parabolide di eq. >>

Intanto grazie per le risposte; ho provato ad utilizzare il th. di Guldino calcolando la superficie del solido di rotazione e determinandone il baricentro, ma non riesco a capire bene come "implementarla" nel calcolo dell'integrale triplo; "a sentimento" mi sembra di capire che sia un "terzo modo di integrare": oltre a quello per fili ("per solidi estrusi"), a quello per strati ("per solidi di rivoluzione") mi pare che questo posssa essere un terzo modo "rotante" sempre per solidi di rivoluzione, che a differenza di quello per strati integra prima su una "fetta verticale" e poi integra "sulla rotazione" (chiedo scusa per le mille virgolette, ma è per cercare di parlare terra-terra).
Tuttavia ho avuto qualche difficoltà ad implementarlo nel calcolo e non credo che i risultati che ho ottenuto siano consistenti.

Tuttavia il mio più grande dubbio rimane l'interpretazione del dominio di integrazione, e sono abbastanza convinto che l'errore sia tutto lì. La prima cosa che faccio in questo tipo di esercizi è disegnare il dominio di integrazione (come suggerito da PietroBaima), "traducendo" dalla descrizione a parole. E qui casca l'asino: la definizione dice:
<<=semisfera di raggio 3 centrata nell'origine e contenuta nel semispazio z<0 ...>>
fin qui ok, nessun problema (l'eq. di questa sfera dovrebbe essere )
<<... limitata dal parabolide di eq. >>
Questo paraboloide è un "cappuccio con la punta verso l'alto", che in corrispondenza del piano z=0 coincide con la semisfera (dato che rappresenta una circonferenza di raggio 3), ma in quel punto la semisfera non è ancora definita (in quanto lo è per z<0); per z<0 questo paraboloide non interseca la sfera e non la limita in alcun modo, perchè non si intereseca in nesusn punto; se questa interpretazione fosse giusta l'integrale è facilmente calcolabile mediante coordinate sferiche (come scritto nel post precedente), ma ancora una volta questo porta ad un risultato non corretto. Sinceramente non so che pesci pigliare, ma a questo punto non ha importanza... magari il risultato riportato sulla correzione dell'esame non è corretto, non saprei.
In qualsiasi caso grazie a tutti per l'aiuto.

Hai risolto?
Sei interessato ad un confronto con soluzione alternativa?

Vedi questo (in particolare la regola di Guldino)

prova a disegnarti il dominio.

Il secondo integrale (calcolato sulla semisfera) mi esce ; il risultato complessivo viene quindi:
[unparseable or potentially dangerous latex formula], ma teoricamente la risposta corretta è ; ho ricontrollato più e più volte e non riesco a capire dove sta l'errore nel calcolo (anche a calcolatrice mi dice che gli integrali sui sottoinsiemi danno quei valori), quindi probabilmente ho interpretato male come è fatto il dominio... dove sbaglio?