A denominatore serve proprio perché non fa 1.
comunque è una classica media pesata, quindi non vedrei problemi, anche se i pesi non sono una densità di probabilità che cambia? Sempre pesi sono: ogni x ha un proprio peso (P(x)) sommi i prodotti e dividi per la somma dei pesi

Si lo é. Il risultato di quel rapporto tra integrali è proprio . Il problema che mi pongo è più che altro formale. Il modo in cui viene determinato il valor medio è quello tipico di una variabile descritta da una certa distribuzione di densità di probabilità e [unparseable or potentially dangerous latex formula] non lo è! Inoltre l’integrale al denominatore sembra essere la condizione di normalizzazione che non è verificata perché non fa 1.

Ma se wdx è la probabilità d'urto, perché 1/w non è il cammino libero medio?

In tale caso, che significato assumerebbe questo termine?
[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Da come descritta, la P(x) mi sembra una probabilità cumulata, non una densità di probabilità.

Consideriamo una particella che attraversa una bersaglio di spessore finito.
Indichiamo con [unparseable or potentially dangerous latex formula] la probabilità di non avere interazione dopo una distanza
e con la probabilità di avere un'interazione tra ed .
La probabilità di non avere interazione dopo una distanza sarà esprimibile, con il teorema della probabilità composta, come prodotto tra la probabilità di non avere interazioni fino ad e la probabilità di non avere interazione tra ed :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Con opportune riformulazioni della relazione precedente, si perviene all'equazione differenziale
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
la cui soluzione, dopo aver determinato il valore della costante, è
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
La probabilità di interazione nella distanza rappresenta l'evento complementare alla non interazione. Quindi:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
La probabilità di interagire tra ed dopo non aver interagito fino ad vale
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il mio testo di riferimento (Leo-Techniques for nuclear and particle physics experiments) indica questa probabilità con [unparseable or potentially dangerous latex formula].
Perchè c'è quel ?
Il cammino libero medio rappresenta il valor medio della variabile . Il testo lo esprime come
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Come se [unparseable or potentially dangerous latex formula] fosse una distribuzione di densità di probabilità. Questo però non mi torna perchè [unparseable or potentially dangerous latex formula] è adimesionale e non può quindi rappresentare una densità di probabilità. Non saprei dunque [unparseable or potentially dangerous latex formula] che significato possa assumere.