Teorema interessantissimo, grazie mille IsidoroKZ !!

Si`, dovrebbero essere quelli, ma in realta` no, specie per Ad.

La resistenza di uscita di un operazionale e` data di solito dalla resistenza di uscita dello stadio finale, tipicamente common collector, piu` eventuali resistori in serie fra transistore e piedino dell'operazionale. Mentre i resistori hanno un valore conosciuto, la resistenza vista guardando nell'emettitore non e` molto ben definita e soprattutto varia con la corrente di uscita. Quello che fornisce il data sheet e` un valore tipico, giusto per dare un'idea, ma sicuramente non e` il valore "vero".

L'amplificazione Ad ha un paio di problemi: il suo valore in continua e` molto mal definito, dipende essenzialmente dalla r0 dei dispositivi interni dell'operazionale. Inoltre il valore di Ad dipende dalla frequenza: di solito gli operazionali hanno un polo a pochi hertz, dopo di che il guadagno scende con pendenza di 20dB/decade fino al crossover circa.

Se si usasse un Ad complesso in conti sarebbero piu` lunghi, e se non si fa a studiare la stabilita` il piu` delle volte non e` necessario andare cosi` in dettaglio: si guarda il comportamento con operazionale ideale e quasi sempre va bene.

In questo caso pero` no, quel circuito con un operazionale reale e` instabile. Che ci sia qualcosa che non va lo si vede dal guadagno, che non puo` andare a infinito a frequenza infinita. Comunque se non ti chiedono lo studio della stabilita` hai lo zero al finito e poi il guadagno diverge (manco Babbo Natale ha gli operazionali ideali )

Salve,
[quote="IsidoroKZ"]

Come promesso, ecco l'uso del teorema dell'elemento aggiunto, EET, Extra Element Theorem in inglese, applicato al calcolo di una funzione di trasferimento con UNA SOLA costante di tempo.

Il metodo e` piu` generale, c'e` il teorema degli N elementi aggiunti, N-EET, ma e` abbastanza piu` complicato gia` quando ci sono due elementi reattivi, con tre diventa un incubo.

Con un solo elemento reattivo l'EET diventa molto semplice da applicare e permette di trovare la funzione di trasferimento calcolando separatamente e direttamente la frequenza del polo e quella dello zero.

Per il polo si procede esattamente come prima, si calcola la resistenza equivalente vista dal condensatore e la costante di tempo del polo vale . Nell'articolo citato la resistenza viene chiamata , ma e` la stessa cosa, la d del pedice deriva da Resistenza di Driving point, che vuol dire resistenza fra due morsetti.

Il calcolo dello zero e` analogo, la sua costante di tempo (probabilmente e` meglio non chiamarla costante di tempo!) vale dove e` la resistenza di nulling, la resistenza che si vede ai capi della capacita`quando si lascia attivo il generatore di ingresso e lo si regola in modo tale che l'uscita vada a zero.

Detto cosi` sembra complicato, ma in realta` i conti che derivano sono molto piu` semplici di quelli per il calcolo di .

I passi da seguire per trovare sono questi:

• Si mette un generatore di prova al posto del condensatore (come per
• Si lascia attivo il generatore di ingresso con un valore tale da portare a zero l'uscita
• Si calcola il rapporto tensione/corrente ai capi del generatore di prova
  
• Questa la parte bella: NON serve sapere il valore dell'ingresso che annulla l'uscita, basta sapere che puo` farlo!

Lo schema per trovare e` questo



Bisogna calcolare il rapporto quando e` acceso anche ed ha una ampiezza tale da annullare l'uscita. Come in precedenza per annullare l'uscita NON bisogna cortocircuitarla a ground, deve essere il generatore di ingresso che tiene l'uscita a zero annullando l'effetto di Vx sull'uscita!

L'analisi e` molto rapida: se l'uscita e` a zero, anche l'ingresso differenziale deve essere nullo, qualunque sia il valore di Ad (*). Quindi l'ingresso invertente e` anche lui a 0V, e il generatore Vt vede R6 collegata a 0V e anche R5 collegata a 0V: le due resistenze sono in parallelo e quindi , che e` il risultato gia` trovato da MarcoD (ma secondo me ha barato ). La frequenza dello zero vale quindi .

NB: la tensione differenziale di ingresso Vd e` nulla NON perche' c'e` una massa virtuale o un cortocircuito virtuale o altri non sense del genere. In questo caso la retroazione non c'e`perche' il generatore Vt la elimina; la tensione Vd e` nulla perche' il generatore Vin deve tenere l'uscita a zero e quindi anche Vd deve essere nullo!

Da notare che il conto di e` sempre molto piu` facile di perche' la condizione di nulling sull'uscita si "propaga indietro" verso l'ingresso ed elimina buona parte della rete.

Ci sono circuiti in cui il valore di viene negativo. Questo non vuol dire che il circuito e` instabile, ma indica che lo zero e` nel semipiano di destra nel dominio di Laplace, il circuito non e` a fase minima e se si deve chiudere un anello di retroazione intorno a un circuito con uno zero a destra di solito e` un pain in the neck!
Se invece fosse a risultare negativo, indicherebbe un circuito instabile!

(*) Se l'amplificatore avesse avuto una resistenza serie di uscita lo zero dovuto al nulling sarebbe stato comunque sull'uscita, non sul generatore pilotato. Se l'amplificatore con Rout ha guadagno infinito, non cambia nulla rispetto a prima, mentre se il guadagno Ad e` finito il conto da fare ne deve tenere conto come spiegato sotto. Lo schema di riferimento e` il seguente, la resistenza Rout e` quella dell'operazionale, dentro al simbolo non ci sta



In questo caso bisogna calcolare la tensione Vo sul generatore pilotato, ricordando che la tensione Vout e` nulla, quindi in R6 e Rout circola la stessa corrente, e si ha

Per avere questa tensione di uscita la tensione differenziale di ingresso Vd deve valere e quindi la tensione dell'ingresso invertente vale

La corrente Ix del generatore di prova, che serve per calcolare Rn vale quindi e quando si va a calcolare il rapporto la tensione si semplifica (Miller on R5 anyone?).

I conti con il teorema dell'elemento aggiunto sono molto spesso di tipo numerico, per trovare una frequenza, non una formula, e l'algebra che ne deriva e` molto facile. Ho scritto le espressioni precedendi solo per mostrare i passaggi in un caso "complicato".

Aspetta, che non è finita, c'è ancora il teorema dell'elemento aggiunto!

Grazie mille IsidoroKZ, spiegazione completa e chiarissima !!

Direi che lo schema sia venuto piu` che bene. Oggi ho avuto una giornata incasinata, ma prima di andare a dormire riesco a scrivere qualcosa.

Nel seguito parlo solo di circuiti con una sola costante di tempo, cioe` un condensatore o un induttore. Il circuito non deve essere degenere, ad esempio con un condensatore in parallelo a un generatore di tensione, e l'elemento reattivo deve essere controllabile e osservabile, vale a dire che la tensione su C oppure la corrente su L deve dipendere dall'ingresso e deve poter contribuire all'uscita.

Se sono soddisfatte le ipotesi precedenti, un elemento reattivo da` sempre un polo e uno zero reali, vale a dire nel diagramma nel dominio s, trasformata di Laplace della funzionedi trasferimenti sono messi sull'asse reale, l'asse sigma.

Se si considerano elementi reali, polo e zero sono sempre a frequenza finita, invece con elementi ideali polo e zero possono essere anche a frequenza nulla oppure infinita.

Cio` premesso vediamo di calcolare le costanti di tempo di polo e zero del circuito dato.

Per il polo e` facile: basta calcolare la resistenza equivalente vista dal condensatore (o dall'induttore se ci fosse una L) con gli ingressi del circuito a zero e la frequenza sull'asse immaginario a cui si vede l'effetto del polo singolo vale . La dimostrazione di questa formula non e` complicata, ma la raccontero` un'altra volta.

Nel caso specifico, per analizzare il circuito per trovare la frequenza del polo si puo` supporre che la resistenza di ingresso dell'operazionale (sia differenziale sia comune) sia molto maggiore del valore dei resistori, quindi si possono trascurare le resistenze messe in serie agli ingressi.

Il generatore Vin e` a zero perche' per trovare le impedenze lo si deve spegnere, mentre il generatore di corrente, essendo un geneatore continuo viene spento comunque e sempre quando si lavora sulle funzioni di trasferimento, e lo si sostituisce con un circuito aperto.

Il circuito su cui lavorare, per trovare la frequenza del polo e` questo a sinistra in cui ho aperto il generatore di corrente e cortocircuitato le resistenze in serie all'ingresso perche', non essendo percorse da corrente non danno caduta di tensione.

Il circuito che si ottiene, in cui ho evidenziato il generatore pilotato dentro all'operazionale, e` indicato a destra.



La ragione per cui ho messo in evidenza in generatore pilotato di tensione e` che un operazionale ideale dovrebbe avere guadagno infinito, che sfortunatamente non e` un numero che si possa mettere nei conti. Bisogna partire da una amplificazione Ad finita e poi fare il limite.

Per trovare la resistenza vista dal condensatore, figura qui sotto a sinistra, dopo aver tolto il condensatore si puo` andare a mettere un generatore di prova e vedere che cosa capita. In questo caso conviene mettere un generatore di tensione Vx e vedere la corrente Ix che esce dal generatore, come si vede nel circuito a destra, sempre dopo aver annullato tutti gli ingressi, qui c'e` solo Vin. Per vedere una carrellata di metodi di calcolo di una impedenza, vedere questo articolo



Da notare che quando si mette il generatore di prova si interrompe la retroazione, non e` piu` vero che la tensione differenziale di ingresso e` nulla. Per questa ragione ho dovuto supporre l'impedenza differenziale di ingresso molto maggiore delle resistenze della rete.

La corrente da calcolare e` data da Il valore di e` facile, basta applicare la legge di Ohm ad R5 ed R3 che sono in serie . Si osservi che qui il nodo di ingresso invertente dell'operazionale NON e` allo stesso potenziale del nodo non invertente, perche' NON c'e` retroazione in quanto il generatore di tensione impedisce all'uscita di avere un qualunque effetto sull'ingresso.

La corrente viene calcolata con la legge di Ohm su R6, tenendo presente pero` il valore di Vout. . Il valore della tensione , con il suo segno, e` dato dalla partizione di su R3 ed R5 che sono in serie, quindi La corrente vale quindi
[unparseable or potentially dangerous latex formula]

La resistenza equivalente vista dal condensatore e` quindi data dal rapporto . A questo punto non conviene fare i conti con tanta algebra perche' si vede che se l'operazionale e` ideale, cioe` il valore di tende a infinito e quindi la resistenza equivalente vista da C e` nulla.

Bisogna ricordare, en passant, che facendo tutte le sostituzioni, il valore di si semplifica e non entra nell'espressione finale. Se per caso si trova una impedenza o una funzione di trasferimento con ancora presente in valore di Vx o simili, l'espressione e` sicuramente sbagliata, spesso anche dimensionalmente sbagliata.

La resistenza equivalente vista da C tende a zero, vuol dire che la costante di tempo associata a C tende a zero pure lei, e la frequenza del polo tende a infinito.

E adesso vediamo lo zero. Ci sono alcuni modi di calcolare gli zeri, ad esempio conoscendo guadagni e frequenza del polo (ma qui il polo e` all'infinito ) si puo` trovare la frequenza dello zero, vedere qui, oppure in modo piu` sistematico e algebrico qui.

Visto che chiedevi un metodo rapido e a vista, provo a spiegarlo, ma, come gia` detto, bisogna fare attenzione nell'applicarlo pero` i conti da fare sono molto semplici.
Per trovare la frequenza dello zero si usa la definizione di zero di trasmissione: quella frequenza (complessa) che fa si` che l'uscita sia nulla.

Quando dico frequenza complessa, anche chiamata frequenza generalizzata, intendo il valore di frequenza nel dominio della trasformata di Laplace. Essendo un circuito con una sola costante di tempo, le singolarita` (zero e polo) della rete hanno sempre valori di reali.

In pratica mettiamo di nuovo in gioco il segnale di ingresso e cerchiamo quella frequenza (complessa) che fa si` che sia nulla. Bisogna avere ben chiaro in testa che NON si deve collegare l'uscita a ground, deve proprio essere il segnale che non "riesce a passare". Riprendiamo il circuito con il generatore e l'uscita annullata.



Per trovare la frequenza dello zero, si fa in questo modo: si suppone che la tensione di uscita sia nulla, senza passare per il condensatore si calcola la corrente attraverso il condensatore e si cerca il valore di frequenza che fa si` che la corrente nel condensatore sia proprio quella voluta per mandare a zero l'uscita.

Bisogna tenere presente che in questa situazione l'operazionale e` retroazionato, la tensione differenziale di ingresso e` nulla (e qui il valore della resistenza differenziale di ingresso non e` per niente importante perche' tanto non c'e` tensione ai suoi capi) e quindi si possono calcolare le correnti semplicemente come . Visto che c'e` la retroazione si puo` considerare l'operazionale ideale, tanto la sua amplificazione Ad infinita non entra nei calcoli.

La corrente che scorre in R5 fa nascere una tensione pari a Ora usiamo la condizione che la tensione di uscita deve essere nulla, ricordando che stiamo cercando una frequenza (complessa), non la tensione di uscita. Se la tensione di uscita e` nulla, la tensione ai capi di R6 e` uguale alla tensione ai capi di R5 e quindi la corrente in R6 vale e quindi la corrente vale [unparseable or potentially dangerous latex formula]

Da notare che l'ho fatta terribilmente lunga, il calcolo di poteva essere fatto in 20 secondi (ad esagerare), osservando che R5 ed R6 sono in parallelo, che conosco la corrente di un ramo e voglio calcolare la corrente complessiva .

Davvero R5 ed R6 sono in parallelo? Si`, hanno un estremo in comune e gli altri due sono allo stesso potenziale, in questo caso 0V. Da osservare che questo capita SOLO alla frequenza dello zero, ma e` proprio questo che stiamo cercando.

Se si scrive la formula del partitore di corrente solita si ha e invertendola si ottiene subito [unparseable or potentially dangerous latex formula] come prima senza tutta quella sbrodolatura di conti.

Finora pero` la frequenza non e` entratra in gioco, abbiamo solo usato la legge di Ohm sulle resistenze, che sono "insensibili" alla frequenza.

Abbiamo trovato la tensione sul condensatore e la corrente che lo attraversa [unparseable or potentially dangerous latex formula]. L'ammettenza del condensatore deve essere quindi [unparseable or potentially dangerous latex formula] vale a dire [unparseable or potentially dangerous latex formula] da cui con arditi passaggi matematici si trova la posizione dello zero nel piano complesso s, quindi la sua frequenza complessa, che vale (occhio che il segno negativo e` importante!)

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

il segno meno vuol dire zero a destra sinistra, nel semipiano sinistro di Laplace (*)(evvviva! con tre v perche' e` proprio un ottimo risultato, gli zeri positivi, a destra nei sistemi retroazionati sono dei dolori indicibili). La "frequenza" che si associa di solito allo zero, in pratica dove sull'asse immaginario si vede l'effetto dello zero, e` al solito [unparseable or potentially dangerous latex formula]

Spero non ci siano troppi strafalcioni, domani comunque li correggero`.

(*) Appunto! Uno strafalcione almeno c'era, grazie MarcoD che me l'ha fatto notare

IsidoroKZ, posto qui lo schema fatto con fidocad. Mi scuso nel caso non dovesse essere venuto benissimo, non lo uso spesso

[quote="ElectroFranco"]
Per vedere a occhio la costante di tempo (si chiama così anche nel caso degli zeri ??) come hai fatto? Hai valutato la resistenza equivalente vista dalla C ?

Hai valutato la resistenza equivalente vista dalla C ?

affermativo.
Non ne ero sicurissimo, ma con un solo elemento reattivo c'è un solo polo o zero,
il calcolo della Req è corretto.